平成28年度微積分解法演習 11

平成 28 年度微積分解法演習 11
（ H28.
担当佐藤邦）
（次回の講義開始時に回収します。
解以外の途中の計算等も余白に書くこと。）
問１
⃝
1
次の積分の値を求めよ。
∫ 1
(
)
√
(
)√
2
x + 1 x + 2 dx
t = x + 2 とおくと t = x + 2 , 2tdt = dx
0
⃝
2
学籍番号
氏名
∫
=
√
√
3
(
)
t2 − 1 t · 2tdt
2
√
√
[1
( 9√3 3√3 4√2 2√2 )
3 (
)
1 3 3
24 3 − 4 2
5
4
2
= 2 √
−
−
+
t − t dt = 2 t − t √ = 2
=
5
3
5
3
5
3
15
2
2
(
)
√
√
24 3 − 4 2
部分積分を利用しても計算できます
⃝
1
15
∫ π
∫ π
∫ π
3
3
3 (
(
)
)
cos3 2x dx
=
cos 2x 1 − sin2 2x dx =
cos 2x − cos 2x sin2 2x dx
0
∫
[1
√
]√
0
0
] π3
1 1
1
2π 1 3 2π 1
1
=
sin 2x − · sin3 2x = sin
− sin
− sin 0 + sin3 0
2
3 2
2
3
6
3
2
6
0
√
√
√
√
√
√
1
3 1 3 3
3
3
3 3
3
3
·
− ·
=
−
=
=
⃝
2
2 2
6
8
4
16
16
16
∫ π
∫ π
∫ π
4
4 1{
4 1{
}
}
cos 2x cos 4x dx
=
⃝
cos 6x + cos(−2x) dt =
cos 6x + cos 2x dt
3
π
π
π
2
2
6
6
6
] π4
1[1
1
1(1
3π 1
π 1
1
π)
=
sin 6x + sin 2x π =
sin
+ sin − sin π − sin
2 6
2
2 6
2
2
2 6
2
3
6
√
√
√
√
4−3 3
3)
3)
1( 1 1 1
1
1(2
4−3 3
⃝
3
=
− + − ·0− ·
=
−
=
24
2
6 2 6
2 2
2 6
4
24
(
)
∫ e
∫
′
(
)
e
(
)2
)2
1 3 (
⃝
x2 log x dx
部分積分を２回
=
x
log x dx
4
3
1
1
∫
∫
[1 (
)2 ] e 1 e 3
e3
2 e 2
1
3
=
x log x
−0−
−
x 2 log x dx =
x log x dx
3
3 1
x
3
3 1
1
∫
∫
]e
e3 2 [ 1 3
2 e 31
e3 2 e3
2 e 2
e3
2 [ 1 3 ]e
=
−
x log x + 2
x
dx =
− 2 + 2
x dx = 2 + 2 x
3
3 3
3 1
x
3
3
3 1
3
3 3
1
1
e3 2e3
2
5e3 − 2
= 2+ 3 − 3 =
3
3
3
33
⃝
4
5e3 − 2
27
(i)
11
2
問２
(i)
(ii)
定積分を利用して次の極限値を求めよ。
n
n (
)1 ∫ 1 (
∑
∑
)
3k + 4n
k
lim
=
lim
3
+
4
=
3x
+
4
dx
n→∞
n→∞
n2
n
n
0
k=1
k=1
[
]1
3
3 2
11
=
x + 4x =
+4−0=
2
2
2
0
∫ 1
n
∑
kπ 1
k(
k)1
lim
k cos
= lim
cos π
=
x cos π x dx
2
n→∞
n→∞
n
n
n
n
n
0
k=1
k=1
[
)′
]1
]1
[
∫ 1 (
∫
1
1 1
1
1
1
1
=
x
sin π x dx = x sin π x −
sin π x dx =
sin π − 0 −
− cos πx
π
π
π 0
π
π
π
0
0
0
)
1(
2
= 0 + 2 cos π − cos 0 = − 2
2
π
π
(ii)
− 2
π
n
∑
問３
次の広義積分の値を求めよ。
∫ 3−ϵ
∫ 3−ϵ
(
)− 1
1
1
√
√
dx
= lim
dx = lim
3 − x 2 dx
ϵ→0 1
ϵ→0 1
3−x
3−x
1
[
]
(
√ )
√
(
) 21 3−ϵ
√
= lim − 2 3 − x
= lim − 2 ϵ + 2 2 = 2 2
∫
⃝
A
3
ϵ→0
1
ϵ→0
∫
√
1
dx
値
2 2
ϵ→0 1
3−x
}
∫ ∞
∫ N
∫ N {
1
1
1 1
1
(
) dx
(
) dx = lim
= lim
−
dx
N →∞ 1
N →∞ 1
2 x x+2
x x+2
x x+2
1
(
)]N
(
)
)
1[
1(
= lim
log x − log x + 2 1 = lim
log N − log N + 2 − log 1 + log 3
N →∞ 2
N →∞ 2
(
(
(
)
)
)
N
1
1
1
1
1
log 3
log
log
log
= lim
+ log 3 = lim
+ log 3 =
+ log 3 =
1
N →∞ 2
N →∞ 2
N +2
2
1+∞
2
1+ N
⃝
A 広義積分の式
⃝
B
3−ϵ
lim
∫
⃝
B 広義積分の式
lim
N →∞
1
N
√
1
) dx
x x+2
(
値
log 3
2
(1)
9
2
問４
次の各部分の面積を求めよ。
(1) 曲線 y = x2 − 3x と x 軸とで囲まれた部分。 [I - (i)]
∫ 3(
)
[ x3 3 ]3
2
2
x − 3x = 0 → x = 0, 3 → S = −
x − 3x dx = −
− x2
3
2
0
0
)
(
18 − 27
9
27
−0 =−
=
= − 9−
2
2
2
(2)
曲線 y = f (x) = 2x2 − 5x + 3 と y = g(x) = −x2 + 13x − 21 とで囲まれた部分。 [I - (ii)]
f (x) − g(x) = 2x2 − 5x + 3 − (−x2 + 13x − 21) = 3x2 − 18x + 24
= 3(x − 2)(x − 4) = 0 → x = 2, 4
∫ 4(
)
[
]4
(
)
S=
g(x) − f (x) dx = −
3x2 − 18x + 24 dx = − x3 − 9x2 + 24x
2
2
2
(
)
= − 64 − 144 + 96 − 8 + 36 − 48 = 4
∫
4
(2)
4
)
(
π
π <
<
x
曲線 y = f (x) = cos x と y = g(x) = sin x
= 2 とで囲まれた部分。 [I - (ii)]
4 =
(π
)
π
<
f (x) − g(x) = cos x − sin x <
x<
→
=0
=
=
4
2
∫ π (
∫ π
)
[
] π2
誤
2 (
2
(
))
sin x − cos x dx = − cos x − sin x π
S=
− f (x) − g(x) dx =
(3)
π
4
π
4
√
√
π
π
π
π
2
2 √
= − cos − sin + cos + sin = 0 − 1 +
+
= 2−1
2
2
4
4
2
2
正
4
( π
)
π
円 r = 6 cos θ
−2 <
=θ<
= 2 が囲む部分。 [I - (iii)] p.117
∫ π
∫ π
∫ π
2 1 + cos 2θ
1 2 2
1 2
2
S=
r dθ =
36 cos θ dθ = 18
dθ
2 − π2
2 − π2
2
− π2
[ θ sin 2θ ] π2
( π sin π π sin(−π) )
= 18 +
=
18
+
+ −
= 9π
2
4 − π2
4
4
4
4
(
)
(
)2
注) r = 6 cos θ → r2 = x2 + y 2 = 6 r cos θ = 6x → x − 3 + y 2 = 32
(3)
√
2−1
(4)
9π
(4)

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