BCPST 1B Somme double rectangulaire. Dans le cas où aij = αiβj

BCPST
2014/2015
1B
Sommes doubles (outil 4).
.
Somme double rectangulaire
On note
X
aij la somme de tous les nombres aij lorsque i va de 1 à n et j de 1 à m.
16i6n
16j6m
(Somme de nombres rangés dans un tableau rectangulaire )
a1,1
a1,2
···
a1,j
···
a1,m
a2,1
a2,2
···
a2,j
···
a2,m
..
.
..
.
ai,1
ai,2
..
.
..
.
an,1
an,2
X
aij =
X
aij =
16i6n
16j6m
Dans le cas où
n
m X
X
···
···
ai,j
···
n
X
ai,m

..
.
···
an,j
m
X

m
n X
X
aij =
..
.
..
.
i=1
16i6n
16j6m
On note aussi :
..
.

aij  =
j=1
an,m
m
n
X
X
j=1
!
aij
i=1
aij
i=1 j=1
j=1 i=1
aij = αi βj
X
16i6n
16j6m
αi βj =
n
X



m
X
αi 
βj  =
i=1
j=1
n
X
!
αi
m
X

i=1

βj  =
j=1
i=1
Propriétés :
X
(aij + bij ) =
16i6n
16j6m
X
aij +
16i6n
16j6m
X
16i6n
16j6m
Pour λ un entier ne dépendant pas de i ou j ,
X
(λaij ) = λ
16i6n
16j6m
X
16i6n
16j6m
1
aij
n
X
bij
αi
m
X
j=1
βj
.
Somme double triangulaire
On note
aij la somme de tous les aij lorsque i va de 1 à n et j de 1 à n avec la contrainte i 6 j
X
16i6j6n
(Somme de nombres rangés sur ou au dessus de la diagonale dans un tableau carré )
a1,1
a1,2
···
a1,j
···
a1,n
0
a2,2
···
a2,j
···
a2,n
..
.
..
.
0
..
···
0
..
.
..
.
0
aij =
i=1
16i6j6n
On note aussi :
aij =
Dans le cas où
aij =
j
n X
X
···
..
.
..
..
.
.
···
0
ai,n
0
an,n


!
j
n
n
X
X
X

aij  =
aij
j=i
j=1
i=1
(Formule de Fubini ).
aij
j=1 i=1
i=1 j=i
16i6j6n
n
X
..
.
ai,i
···
0
n X
n
X
0
0
X
X
..
.
.
aij = αi βj
X
(αi βj ) =
n
X



n
n
X
X
αi 
βj  =
βj
i=1
16i6j6n
j=i
j=1
j
X
i=1
Propriétés :
X
(aij + bij ) =
16i6j6n
X
aij +
16i6j6n
X
16i6j6n
Pour λ un entier ne dépendant pas de i ou j ,
X
(λaij ) = λ
16i6j6n
X
16i6j6n
2
aij
bij
!!
αi
On note
aij la somme de tous les aij lorsque i va de 1 à n et j de 1 à n avec la contrainte i < j
X
16i<j6n
(Somme de nombres rangés strictement au dessus de la diagonale dans un tableau carré )
0
a1,2
···
a1,j
···
a1,n
0
0
···
a2,j
···
a2,n
..
.
..
.
0
..
···
0
..
.
..
.
0
..
.
.
0
X
..
.
···
n−1
X
aij =
..

n
X


aij  =
j=i+1
ai,n
..
.
.
···
0
i=1
16i<j6n
···
0
0
0
..
.
0
j−1
n
X
X
j=2
0
!
aij
i=1
(Formule de Fubini ).
Ou encore avec les conventions sur les sommes :
X
aij =
16i<j6n
On note aussi :
X
aij =
16i<j6n
n
n
X
X
i=1 j=i+1
aij =
n
X

n
X

i=1
j=i+1
j−1
n X
X
aij
j=1 i=1
Exemples :
Simplier les sommes suivantes :
1. S =
n X
m
X
(2i + j)
i=1 j=1
2. S1 =
X
16i6j6n
3. S2 =
X
i
j
|i − j|
16i;j6n
4. S3 =
n
X
i2i
i=1
5. S4 =
X
max(i, j)
16i;j6n
6. S5 =
X
16i;j6n
i
i+j
3

aij  =
j−1
n
X
X
j=1
i=1
!
aij

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