2014年05月14日

2014 年 5 月 14 日（水曜 3 限）1/7
５．リンダール・メカニズムと公共財の自発的供給
5.1 リンダール・メカニズムとフリーライダー問題
本章では、公共財としては競合性が小さく排除可能性の大きい財（たとえばフェンスに囲
まれた運動場）を考える。また、4 章で導かれた公共財の供給関数や需要関数などを用いて
議論を進める。まず、公共財の供給量 G と公共財の価格 p が（ G  0 ならば）満たすべき
条件
MC (G )  p
(4-16)
と、(4-16)を満たす G が一意的に決まる場合は、 G について解いた公共財の供給関数
G  G s ( p)
(4-17)
も用いる。また、個人 i の効用関数は 4.1 節と同様に、
u i  X i  vi (G )
(4-3)
であるとすれば、個人 i の限界便益関数 MBi  MBi (G ) は MBi (G )  vi (G ) と表すことがで
きる（(4-7)を参照）。そして、個人 i の公共財に対する需要量 G と個人 i の租税価格 p i が
（ G  0 ならば）満たすべき条件
MBi (G )  pi
(4-21)
と、(4-21)を満たす G が一意的に決まる場合は、G について解いた個人 i の公共財に対する
需要関数
G  Gid ( p i )
(4-22)
も用いて議論を進める（ i  1, 2 ）。
＜リンダール・メカニズム＞
効率的な公共財の水準を達成するためのメカニズムとしてどのようなものがあるだろうか。
本節では、リンダール（Lindahl）が市場メカニズムから類推して考えたメカニズムについ
て検討する。なお、単純化のため、2 人の個人と 1 つの企業からなる経済を考える。
【想定 5-1】政府は個人 i に租税価格 p i をアナウンスし、企業には公共財の価格 p をアナウ
ンスする。
d
【想定 5-2】個人 i は MBi (G )  pi を満たす全ての公共財の需要量（一意的なら Gi ( p i ) ）
を政府に申告し、企業は MC (G )  p を満たす全ての公共財の供給量（一意的な
s
ら G ( p ) ）を政府に申告（あるいは表明）する。
【想定 5-3】政府（≒「せり人」）は、(i)財政収支が均衡し（ p1  p 2  p ）、(ii)各個人の公
共財の需要量と公共財の供給量になっている公共財の水準 G が存在する（需要量
と供給量が全て一意的ならば、 G1 ( p1 )  G 2 ( p 2 )  G ( p ) となる）ように、
（ p1 ,
d
d
s
p 2 , p ）を決定する。
以上の想定のもとで定まる( G , p1 , p 2 , p )を( G L , p1L , p 2L , p L )と表し、「リンダール均衡」
と呼ぶことにする。そのとき、( G L , p1L , p 2L , p L )は
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p1L  p 2L  p L
MC (G L )  p L
MBi (G L )  piL
(5-1)
(5-2)
(5-3)
の条件から求められることになる（ i  1, 2 ）。そして、(5-1)、(5-2)、(5-3)より、
MB1 (G L )  MB2 (G L )  MC (G L )
(5-4)
が成立する。したがって、サミュエルソン条件(4-10)と(5-4)より、リンダール均衡における
公共財の水準 G L は効率的な水準である。なお以下では、(5-4)を満たす G L が一意的に定ま
る場合に議論を限定する。そのとき、リンダール均衡における公共財の水準 G L が効率的な
公共財の水準 G * と一致する（ G L  G * ）。
（問題 5-1）リンダール均衡（ G L , p1 , p 2 , p ）を図示しなさい。
L
L
L
p1 , p 2 , p
G
以下では、生産可能性曲線が直線の X  Y  p s G であるとする。そのとき、公共財の供給
s
曲線は水平 p  p （一定）なので、公共財の価格 p は常に p s である。したがって、企業
の利潤   X  p s G は、供給量の組 (G , X ) が生産可能性曲線上にあることを考慮すれば、
常に次の関係が成立する（「4.3 補論 1」を参照）。
  X  p s G  (Y  p s G)  p s G  Y
(5-5)
（問題 5-2） G1 ( p1 )  G 2 ( p 2 ) であるとすれば（ p1  p 2  p s ）、 p1 と p 2 のどちらを増加
d
d
させることでリンダール均衡を実現できるかを検討しなさい。
p1
G
p2
G
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＜フリーライダー問題＞
「フリーライダー（ただ乗り人、free rider）」とは「公共財（からの便益を受けているのに
そ）の生産費用の負担を避けようとする人」のことである。そして、
「フリーライダー問題」
とは「フリーライダーの存在により公共財の水準が非効率（過小）になること」である。
リンダール・メカニズムにおいて「フリーライダー問題」が発生する可能性について検討
してみよう。これまでは、個人 i は「真の」需要曲線 pi  MBi (G ) に基づき、公共財の需
要量を政府に申告（あるいは表明）すると想定してきた（ i  1, 2 ）。それに対して、ここで
は個人 2 は「真の需要曲線 p 2  MB2 (G ) 」に基づいて公共財の需要量を政府に申告してい
るが、個人 1 が自分の「真の需要曲線 p1  MB1 (G ) 」と異なる「偽りの需要曲線 p1  0 」
に基づいて公共財の需要量を政府に申告することで、個人 1 の効用を高めることができる
ケースが存在することを、次の図を用いて説明しよう。なお、
（5-5）より企業の利潤は Y な
ので、個人 i の株式保有割合を wi とすれば個人 1 の所得は w1Y である。そして、個人 1 が
偽った需要量を表明するときのリンダール均衡における公共財の水準を Gˆ L 、個人 i の租税
価格を pˆ iL と置くことにする（ i  1, 2 ）。
X1
X 1  w1Y
w1Y
X 1  w1Y  p1L G
X 1L
X 1  vi (G )  u1L
u1L : X 1L  vi (G L )
p1L
p1 , p 2 , p
GL
G
p  ps
ps
p1L
GL
G
（問題 5-3）上の図に、
「フリーライダー問題」が発生する場合の需要曲線 pi  MBi (G ) を
描き加えなさい（ i  1, 2 ）。また、そのときの Gˆ L と pˆ iL を図示しなさい（ i  1, 2 ）。
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5.2 公共財の自発的供給とフリーライダー問題
＜公共財の自発的供給（voluntary provision）＞
ここまでの議論では、個人が公共財の生産量を選択することはできないという前提で議論
してきた。それに対して、この節では公共財が自発的に生産（供給）されるときに、公共
財の供給水準がどのように決定されるかについて検討しよう。なお、自ら生産できる公共
財の身近な例としては道路や公園の清掃が考えられる。
（問題 5-4）自発的に公共財を供給する主体が個人ではなく国であるとして、公共財の自発
的供給の議論が適応できる例を挙げなさい。
個人 i の公共財の生産量を g i 、公共財の経済全体での生産量を G とする（ i  1, 2 ）。そして、
「各個人の公共財の生産量の和」が「経済全体での公共財の生産量」であるとする。つま
り、
G  g1  g 2
(5-6)
を仮定する。
個人 i の公共財の生産可能性曲線は直線であるとする。すなわち、
X i  p s g i  Yi
(5-7)
s
と仮定する。ここに、 p は私的財と公共財の限界変形率（公共財の限界費用）である。そ
して、たとえば定数 Yi が個人 i の利用可能な時間であるとすれば、1 単位の時間を用いて私
的財であれば 1 単位の生産ができるとともに、公共財であれば 1 / p s 単位の生産ができるこ
とになる。
各個人は他の個人の公共財の生産量が与えられたもとで、
「自らの効用を最大化するように
自らの公共財の生産量（すなわち供給量）」を決定すると想定する。たとえば個人 1 は、 g 2
が与えられたもとで、(4-21)と(5-6)より、
MB1 ( g1  g 2 )  p s
(5-8)
を満たすように、公共財の生産量（供給量） g 1 を決定することになる。
(5-8)より、個人 1 の供給量 g 1 は g 2 に応じて決まることになり、その関係を「個人 1 の反
応関数」と呼ぶ。すなわち、個人 1 の反応関数は
g1  max(g10  g 2 , 0)
(5-9)
0
である。ここに、 g i は相手の公共財の生産量がゼロのときの個人 i の公共財の供給量であ
り、
MBi ( g i0 )  p s
より求められる（ i  1, 2 ）。なお、 g10  g 20 を仮定する。
(5-10)
（問題 5-5）(5-9)で個人 1 の反応関数が求められることを、横軸に G 、縦軸 MB1 をとった
図を用いて説明しなさい。
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同様にして、個人 2 の反応関数は
g 2  max(g 20  g1 , 0)
(5-11)
と求められる。
個人 1 と個人 2 の戦略的な行動の結果として、
Nash 均衡が実現すると想定する。すなわち、
Nash 均衡（における供給量の組み合わせ）を ( g1N , g 2N ) と表すことにすれば、 g 2N が与えら
れたもとでの個人 1 の供給量が g1N であるとともに、 g1N が与えられたもとでの個人 2 の供
給量が g 2N である。つまり、
g1N  max(g10  g 2N , 0)
g 2N  max(g 20  g1N , 0)
より ( g1N , g 2N ) は求められる。
(5-12)
(5-13)
＜フリーライダー問題＞
(5-12)と(5-13)より（ g10  g 20 の仮定を考慮すれば）、Nash 均衡は
( g1N , g 2N )  (0, g 20 )
(5-14)
と求められる。
（問題 5-6）個人 1 と個人 2 の反応曲線を、横軸に g 1 、縦軸 g 2 をとった図に描きなさい。
そして、Nash 均衡が(5-14)で求められることを、図を用いて説明しなさい。
(5-14)より、Nash 均衡において、個人 1 は公共財を全く供給しておらず、個人 2 の公共財
供給にただ乗り（フリーライド）していることになる。
Nash 均衡における公共財の供給量が効率的であるかどうかを検討しよう。まず、効率的な
s
公共財の水準 G * は、公共財の限界費用（限界変形率）が p なので、サミュエルソン条件
(4-10)より、
MB1 (G * )  MB2 (G * )  p s
(5-15)
の条件から求められる。
(5-10)、(5-14)、(5-15)より、公共財の自発的供給のもとでの供給量は、効率性の観点から
過小供給であることが導かれる。すなわち、
g1N  g 2N  g 20  G *
(5-16)
である。なお、(5-16)で等号が成立するのは、 MB1 ( g )  0 のときである。
0
2
（問題 5-7）(5-16)が成立することを、横軸に G 、縦軸 MB1 、 MB2 、 MB をとった図に、
集計限界便益関数 MB  MB1 (G )  MB2 (G ) などを描いて説明しなさい。
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5.3 補論**：自発的所得再分配の過小性と効率的な所得再分配
他の個人の消費が自らの効用水準に影響を与える場合に、自発的所得再分配（voluntary
redistribution）あるいは寄付金（donation）が過小になることを示すとともに、所得再分
配で効率的な資源配分を実現できることを示そう。
そのために、3 人の個人がおり、その効用関数が
u i  ci  vi (min(c1 , c 2 , c3 ))
(5-17)
であるとする。ここに、 ci は個人 i の消費量であり、 vi (  )  0 かつ vi(  )  0 を仮定する。
そのとき、 min(c1 , c2 , c3 ) に関する限界便益関数を MBi  MBi ( ) と表すことができる。な
お、 MBi (  )  vi (  ) である。このように min(c1 , c 2 , c3 ) が個人 i の効用に直接影響を与える
理由としては、個人が利他的（altruistic）であるケースや消費水準の著しく低い個人の存
在が社会の治安状態に影響するケースなどが考えられる。
個人 i の所得を mi と置いて、個人 3 の所得のみがゼロであるとする。つまり、
min(m1 , m2 )  m3  0
(5-18)
を仮定する。そして、簡単化のため、所得再分配は個人 1 と個人 2 から個人 3 に対するも
のだけであるとして、個人 i から他の個人 3 への所得再分配（寄付金）を d i とおく（ i  1, 2 ）。
このとき、個人の予算制約式は
c i  d i  mi
(5-19)
c3  d1  d 2
(5-20)
となる（ i  1, 2 ）。さらに、簡単化のために、
ci  c3
(5-21)
のケースに議論を限定する（ i  1, 2 ）1。そのとき、
min(c1 , c 2 , c3 )  c3
(5-22)
なので、(5-17)、(5-19)、(5-20)、(5-22)より、効用を
ui  mi  d i  vi (d1  d 2 )
u 3  d1  d 2  v3 ( d1  d 2 )
と表すことができる（ i  1, 2 ）2。
1
2
(5-23)
(5-24)
たとえば、 vi (  )  1 を仮定すれば、個人 1 と個人 2 が個人 3 に自分より多くの消費が可能に
なるまで寄付をしようとはしないので、(5-21)の条件は常に満たされることになる。
(5-23)のケースを altruistic のケースと呼ぶのに対して、効用関数が u i  mi  d i  vi (d i )
と個人 3 の消費水準ではなく、自分の寄付金のみに依存する場合は、warm heart（温まる心）
のケースと呼ばれることがある。
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個人 1 と個人 2 が所得再分配 d1 と d 2 を自発的に選択している状況を想定しよう。そして、
d i0 を
MBi (d i0 )  1
と定義する（(5-10)を参照）。たとえば、 d
(5-25)
0
1 は、個人
2 が全く所得再分配をしていないとき
に、個人 1 だけで行う所得再分配の最適水準である。そして、 d10  d 20 を仮定する。そのと
き、Nash 均衡 (d1N , d 2N ) は、
(d1N , d 2N )  (0, d 20 )
(5-26)
と求めることができる（(5-14)参照）。
それに対して、
（パレート）効率的な所得再分配を ( d1* , d 2* ) 、効率的な個人 3 の消費水準を c3*
と置けば、
c3*  d1*  d 2*
(5-27)
であり、 c3* は、
MB1 (c3* )  MB2 (c3* )  1
(5-28)
を満たすことになる（(5-15)を参照）
。そして、
d1N  d 2N  d 20  c3*
(5-29)
が成立する（(5-16)を参照）。なお、 ( d1* , d 2* ) は(5-27)を満たす範囲で不定である。
効率的な ( d1* , d 2* ) のもとでの個人 i の効用水準を u i* と置けば、
u i*  mi  d i*  vi (c3* )
(5-30)
u 3*  c3*  v3 (c3* )
(5-31)
N
である（ i  1, 2 ）。それに対して、Nash 均衡における個人 i の効用水準を ui と置けば、
u iN  mi  d iN  vi (d 20 )
(5-32)
N
0
0
u 3  d 2  v3 ( d 2 )
(5-33)
である。そして、(5-29)より、 ( d1* , d 2* ) を
d i*  vi (c3* )  vi (d 20 )  d iN
(5-34)
を満たすように選択でき、そのとき(5-30)と(5-32)より、
u i*  u iN
(5-35)
が成立する（ i  1, 2 ）。また、(5-31)と(5-33)より、 u 3*  u 3N が成り立つ。
以上より、(5-27)と(5-34)を満たすように政府が（強制的に）個人 1 と個人 2 から個人 3 へ
の所得再分配を実施することで、自発的な所得再分配のもとでの資源配分より効率性を改
善できることになる。
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