466_関数方程式
関数方程式
演習問題
解答
演習問題
http://www.geocities.jp/ikemath
解答
３年


すべての実数 x の値において微分可能な関数 f ( x) は次の 2 条件を満たすものとする．
すべての実数 x，y に対して f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 8 xy
(A)
f (0) = ア
(2)
lim
(3)
f ′(1) = ウ , f ′(−1) = − エ
y →0

 f ( x)dx = オ
0
s(1) f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 8 xy  ① とおく．
①において， x = y = 0 とおくと f (0) = f (0) + f (0) ⇔
(4)
1
(東京理科大)
1
f (0) = 0
f (0 + y ) − f (0)
f ( y)
であるから， f ′(0) = 3 より
= lim
y →0
y →0
y
y
f (1 + y ) − f (1)
f (1) + f ( y ) + 8 y − f (1)
(3) f ′(1) = lim
= lim
y →0
y →0
y
y
f ( y) + 8 y
 f ( y)

= lim
= lim 
+ 8 = 3 + 8 = 11 …ウ
y →0
y →0
y
 y

f (−1 + y ) − f (−1)
f (−1) + f ( y ) − 8 y − f (−1)
f ′(−1) = lim
= lim
y →0
y →0
y
y
f ( y) − 8 y
 f ( y)

= lim
= lim 
− 8 = 3 − 8 = − 5 …エ
y →0
y
→
0
y
 y

f ( x + y ) − f ( x)
f ( x) + f ( y ) + 8 xy − f ( x)
(4) f ′( x ) = lim
= lim
y →0
y
→
0
y
y
f ( y ) + 8 xy
 f ( y)

= lim
= lim 
+ 8x  = 8x + 3
y →0
y →0
y
 y

f ′(0) = lim
…ア
lim
y →0
f ( y)
=3
y
よって
1
1
1
1
0
イ
3
ウ
11
エ
5
(ⅱ)
■
したがって
f ( x + h) − f ( x )
f ( x ) + f (h) − f ( x)
f ( h)
= lim
= lim
h →0
h →0
h→0
h
h
h
f (0 + h) − f (0)
= lim
= f ′(0) = a
h →0
h
ゆえに， f ( x) = ax + C （C は定数）とおけて， f (0) = 0 より C = 0
よって
f ( x) = ax
f ′( x) = lim
…オ
解答欄
ア
または
f (0) = 0 より，①において y = 0 とおくと
f ( x) = pf ( x) + qf (0) = pf ( x) ⇔ (1 − p) f ( x) = 0
上式がすべての実数 x に対して成り立つためには
1 − p = 0 すなわち p = 1
■
(イ) (ア)と同様に，①において x = 0 とおくことによって， q = 1 となる．
これから， f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) が成り立つ．
1

 f ( x)dx = 
 (4 x + 3 x)dx =  4 x3 + 3 x 2  = 17
 3
0
0
2  0
6
1
2
q=0
(2)(ア)
1
1
(ⅰ)
は定数関数となる．
よって，(ⅰ)，(ⅱ)より， f ( x) は定数関数である．
1
1
f ( x + y ) = pf ( x) + qf ( y )  ① とおく．
(ア) ①において， x = y = 0 とすると
f (0) = pf (0) + qf (0) ⇔ f (0)( p + q) = f (0)
f (0)' 0 より，両辺を f (0) で割ると p + q = 1
■
(イ) (ア)の結果から p = 1 − q
したがって，①において y = 0 とおくと
f ( x) = (1 − q ) f ( x) + qf (0) ⇔ q { f ( x) − f (0)} = 0
f ( x) = f (0)
(ⅰ) q = 0 のとき， p = 1 であるから f ( x + y ) = f ( x)
x = 0 とおくと f ( y ) = f (0) （定数）
上式がすべての実数 y について成り立つことから， f ( x) は定数関数となる．
(ⅱ) f ( x) = f (0) （定数）のとき，これがすべての実数 x について成り立つことから， f ( x)
1
1
…イ
(富山大･医)
s(1)
ゆえに
 (8 x + 3)dx = 4 x 2 + 3 x + C （C は積分定数）
f ( x) = 

f (0) = 0 より， C = 0
ゆえに
f ( x) = 4 x 2 + 3 x
したがって
微分可能な関数 f ( x) と 2 つの定数 p，q が次の条件を満たすとする．
f (0)' 0 とする．
(ア) p + q = 1 であることを示せ．
(イ) f ( x) は定数関数であることを示せ．
(2) f (0) = 0 で f ( x) が定数関数でないとする．
(ア) p = 1 であることを示せ．
(イ) a = f ′(0) とするとき， f ( x) を a を用いて表せ．
1
(2)
氏名
(1)
f ( y)
= イ
y
1
番
「すべての実数 x，y に対して， f ( x + y ) = pf ( x) + qf ( y ) が成り立つ」
f ′(0) = 3
ここで， f ′(a ) は関数 f ( x) の x = a における微分係数である．
(B)
(1)
組
オ
17
6
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
演習問題
解答
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f ( x) はすべての実数 x において微分可能な関数で，関係式 f (2 x) = (e x + 1) f ( x) を満たして
いるとする．
(1)
(2)
(3)
(4)
s
(1)
f ( x)
=
ex −1
( )
f x
2
x
2
が成り立つことを示せ．
微分係数の定義を用いて f ′(0) = lim
h →0
f ( h)
を示せ．
eh − 1
f ( x) = (e x − 1) f ′(0) が成り立つことを示せ．
(早稲田大)
f (2 x) = (e x + 1) f ( x)  ① とおく．
■
x を代入すると
2
x
f ( x) = (e 2 + 1) f x
2
よって， x ' 0 のとき
( )
x
( )
( )
f x
(e 2 + 1) f x
(e 2 + 1) f x
f ( x)
2
2
2
=
= x
= x
x
x
x
e −1
e −1
(e 2 + 1)(e 2 − 1) e 2 − 1
(3)
微分係数の定義から
f (h) − f (0)
f ( h)
f ( h) e h − 1
= lim
= lim h
⋅
h →0
h →0
h →0 e − 1
h
h
h
x
x
ここで， g ( x) = e とおくと， g ′( x) = e より
g ′(0) = 1
f ′(0) = lim
一方，
g ′(0) = lim
h →0
h
g (h) − g (0)
= lim e −1
h →0
h
h
したがって
h
lim e −1 = 1
h →0
h
よって， f ′(0) = lim
h →0
e −1
x
4
e −1
e
x
2n
 ②
−1
x = h とおくと
2n
f ( x)
f ( h)
= h
x
e −1 e −1
②式は， n → ∞ としても成り立つことから， n → ∞ のとき h → 0 より
f ( x)
f ( h)
= lim h
= f ′(0)
x
e − 1 h →0 e − 1
x
したがって， x ' 0 のとき， f ( x) = (e − 1) f ′(0) が成り立つ．
0
また，上式は x = 0 のときも f (0) = (e − 1) f ′(0) = 0 となり，成り立つ．
x
①において，x に
( )
x
2
n
よって，すべての実数 x に対して， f ( x) = (e − 1) f ′(0) が成り立つ．
①において， x = 0 とすると
x
( ) = f ( 4x ) =  = f ( 2x )
f x
2
ここで，
e −1
f (0) = 2 f (0)
よって， f (0) = 0 である．
(2)
(2)の結果から
f ( x)
=
ex −1
f (0) = 0 を示せ．
x ' 0 に対して
(4)
f ( h)
が成り立つ．
eh − 1
■
■
■