466_関数方程式 関数方程式 演習問題 解答 演習問題 http://www.geocities.jp/ikemath 解答 3年 すべての実数 x の値において微分可能な関数 f ( x) は次の 2 条件を満たすものとする. すべての実数 x,y に対して f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 8 xy (A) f (0) = ア (2) lim (3) f ′(1) = ウ , f ′(−1) = − エ y →0 f ( x)dx = オ 0 s(1) f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 8 xy ① とおく. ①において, x = y = 0 とおくと f (0) = f (0) + f (0) ⇔ (4) 1 (東京理科大) 1 f (0) = 0 f (0 + y ) − f (0) f ( y) であるから, f ′(0) = 3 より = lim y →0 y →0 y y f (1 + y ) − f (1) f (1) + f ( y ) + 8 y − f (1) (3) f ′(1) = lim = lim y →0 y →0 y y f ( y) + 8 y f ( y) = lim = lim + 8 = 3 + 8 = 11 …ウ y →0 y →0 y y f (−1 + y ) − f (−1) f (−1) + f ( y ) − 8 y − f (−1) f ′(−1) = lim = lim y →0 y →0 y y f ( y) − 8 y f ( y) = lim = lim − 8 = 3 − 8 = − 5 …エ y →0 y → 0 y y f ( x + y ) − f ( x) f ( x) + f ( y ) + 8 xy − f ( x) (4) f ′( x ) = lim = lim y →0 y → 0 y y f ( y ) + 8 xy f ( y) = lim = lim + 8x = 8x + 3 y →0 y →0 y y f ′(0) = lim …ア lim y →0 f ( y) =3 y よって 1 1 1 1 0 イ 3 ウ 11 エ 5 (ⅱ) ■ したがって f ( x + h) − f ( x ) f ( x ) + f (h) − f ( x) f ( h) = lim = lim h →0 h →0 h→0 h h h f (0 + h) − f (0) = lim = f ′(0) = a h →0 h ゆえに, f ( x) = ax + C (C は定数)とおけて, f (0) = 0 より C = 0 よって f ( x) = ax f ′( x) = lim …オ 解答欄 ア または f (0) = 0 より,①において y = 0 とおくと f ( x) = pf ( x) + qf (0) = pf ( x) ⇔ (1 − p) f ( x) = 0 上式がすべての実数 x に対して成り立つためには 1 − p = 0 すなわち p = 1 ■ (イ) (ア)と同様に,①において x = 0 とおくことによって, q = 1 となる. これから, f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) が成り立つ. 1 f ( x)dx = (4 x + 3 x)dx = 4 x3 + 3 x 2 = 17 3 0 0 2 0 6 1 2 q=0 (2)(ア) 1 1 (ⅰ) は定数関数となる. よって,(ⅰ),(ⅱ)より, f ( x) は定数関数である. 1 1 f ( x + y ) = pf ( x) + qf ( y ) ① とおく. (ア) ①において, x = y = 0 とすると f (0) = pf (0) + qf (0) ⇔ f (0)( p + q) = f (0) f (0)' 0 より,両辺を f (0) で割ると p + q = 1 ■ (イ) (ア)の結果から p = 1 − q したがって,①において y = 0 とおくと f ( x) = (1 − q ) f ( x) + qf (0) ⇔ q { f ( x) − f (0)} = 0 f ( x) = f (0) (ⅰ) q = 0 のとき, p = 1 であるから f ( x + y ) = f ( x) x = 0 とおくと f ( y ) = f (0) (定数) 上式がすべての実数 y について成り立つことから, f ( x) は定数関数となる. (ⅱ) f ( x) = f (0) (定数)のとき,これがすべての実数 x について成り立つことから, f ( x) 1 1 …イ (富山大・医) s(1) ゆえに (8 x + 3)dx = 4 x 2 + 3 x + C (C は積分定数) f ( x) = f (0) = 0 より, C = 0 ゆえに f ( x) = 4 x 2 + 3 x したがって 微分可能な関数 f ( x) と 2 つの定数 p,q が次の条件を満たすとする. f (0)' 0 とする. (ア) p + q = 1 であることを示せ. (イ) f ( x) は定数関数であることを示せ. (2) f (0) = 0 で f ( x) が定数関数でないとする. (ア) p = 1 であることを示せ. (イ) a = f ′(0) とするとき, f ( x) を a を用いて表せ. 1 (2) 氏名 (1) f ( y) = イ y 1 番 「すべての実数 x,y に対して, f ( x + y ) = pf ( x) + qf ( y ) が成り立つ」 f ′(0) = 3 ここで, f ′(a ) は関数 f ( x) の x = a における微分係数である. (B) (1) 組 オ 17 6 466_関数方程式 演習問題 解答 http://www.geocities.jp/ikemath f ( x) はすべての実数 x において微分可能な関数で,関係式 f (2 x) = (e x + 1) f ( x) を満たして いるとする. (1) (2) (3) (4) s (1) f ( x) = ex −1 ( ) f x 2 x 2 が成り立つことを示せ. 微分係数の定義を用いて f ′(0) = lim h →0 f ( h) を示せ. eh − 1 f ( x) = (e x − 1) f ′(0) が成り立つことを示せ. (早稲田大) f (2 x) = (e x + 1) f ( x) ① とおく. ■ x を代入すると 2 x f ( x) = (e 2 + 1) f x 2 よって, x ' 0 のとき ( ) x ( ) ( ) f x (e 2 + 1) f x (e 2 + 1) f x f ( x) 2 2 2 = = x = x x x x e −1 e −1 (e 2 + 1)(e 2 − 1) e 2 − 1 (3) 微分係数の定義から f (h) − f (0) f ( h) f ( h) e h − 1 = lim = lim h ⋅ h →0 h →0 h →0 e − 1 h h h x x ここで, g ( x) = e とおくと, g ′( x) = e より g ′(0) = 1 f ′(0) = lim 一方, g ′(0) = lim h →0 h g (h) − g (0) = lim e −1 h →0 h h したがって h lim e −1 = 1 h →0 h よって, f ′(0) = lim h →0 e −1 x 4 e −1 e x 2n ② −1 x = h とおくと 2n f ( x) f ( h) = h x e −1 e −1 ②式は, n → ∞ としても成り立つことから, n → ∞ のとき h → 0 より f ( x) f ( h) = lim h = f ′(0) x e − 1 h →0 e − 1 x したがって, x ' 0 のとき, f ( x) = (e − 1) f ′(0) が成り立つ. 0 また,上式は x = 0 のときも f (0) = (e − 1) f ′(0) = 0 となり,成り立つ. x ①において,x に ( ) x 2 n よって,すべての実数 x に対して, f ( x) = (e − 1) f ′(0) が成り立つ. ①において, x = 0 とすると x ( ) = f ( 4x ) = = f ( 2x ) f x 2 ここで, e −1 f (0) = 2 f (0) よって, f (0) = 0 である. (2) (2)の結果から f ( x) = ex −1 f (0) = 0 を示せ. x ' 0 に対して (4) f ( h) が成り立つ. eh − 1 ■ ■ ■
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