1/26 出題のレポート課題

「ネットワーク基礎論 1」補足資料
H. Nagaoka, Jan. 26, 2014
レポート課題
１月２４日の講義において、以下の三つの式を導いた。
log p(θ,λ)
˜ (x, i) = τ · δ(i) − ϕ(τ ) + C(x) + θ(i) · F (x) − ψ(θ(i))
θ(i) · F (x) = θ(r) · F (x) +
r−1
∑
{θ(i′ ) − θ(r)} · F (x) δi′ (i)
(1)
(2)
i′ =1
ψ(θ(i)) =
r−1
∑
{ψ(θ(i′ )) − ψ(θ(r))} δi′ (i) + ψ(θ(r))
(3)
i′ =1
ただし、θ˜ := (θ(1), · · · , θ(r)) とおいた。これらの式におけるドット「·」は
τ · δ(i) =
r−1
∑
′
θ(i) · F (x) =
τ i δi′ (i),
i′ =1
k
∑
θj (i)Fj (x)
j=1
などを意味することに注意した上で、式 (2) と式 (3) を式 (1) に代入し
て整理すると
log p(θ,λ)
˜ (x, i) = C(x)
+
r−1
∑
i′
α δi′ (i) +
i′ =1
k
∑
j
β Fj (x) +
k
r−1 ∑
∑
′
γ i j δi′ (i)Fj (x)
i′ =1 j=1
j=1
− ϕ(τ ) − ψ(θ(r))
(4)
という形に書ける。ただし
′
′
αi := τ i +
j
（ア）
j
β := θ (r)
′
γ i j :=
（イ）
とおいた。式 (4) より、同時分布 p(θ,λ)
˜ (x, i) の全体は指数型分布族を成
′
′
′
すことが分かる。自然パラメータ αi , β j , γ i j のうち、αi は r − 1 個、 β j
′
は（ウ）個、γ i j は（エ）個あるので、それらを合計すると、パラ
˜ = r − 1 + rk となる。
メータの次元（指数型分布族の自由度）は k
【問題】（ア）∼（エ）に入れるべき数式を記せ。（答えだけでよい。）

Download Report