確率収束について（2） - 一橋大学商学部・大学院商学研究科

2014 年度「ファイナンス保険数理特論」
補足５
— 確率収束について（２） —
2014 年 6 月 30 日，高岡浩一郎∗
【このファイルは２頁分です．
】
はじめに
)
Ω, F, P を考え，Ω の（高々）可算個の分割 { Ai }i∈N を考える．つまり，
∀i ∈ N, Ai ∈ F であり，
( ∪
)
(
)
P Ai ∩ Aj = 0 if i ̸= j,
P
Ai = 1
確率空間
(
i∈N
このとき，任意の実確率変数列 { Xn }n∈N および実確率変数 Y に対して，{ Xn } が Y へ確率収
束するための必要十分条件は，∀i ∈ N に対して { Xn IAi }n∈N が Y IAi へ確率収束すること，つ
まり
∀c > 0,
(
)
lim P |Xn − Y | > c = 0
n→∞
⇐⇒ ∀c > 0, ∀i ∈ N,
(
)
lim P Xn IAi − Y IAi > c = 0
n→∞
が成り立つことを以下に示します．
=⇒ の証明
(
)
P Xn IAi − Y IAi > c
({
=
P
≤
(
)
P |Xn − Y | > c
| Xn − Y | > c
}
∩ Ai
)
→ 0
∗ 一橋大学大学院商学研究科．E-mail:
[email protected]
1
⇐= の証明
以下，c > 0 を固定する．i ∈ N および n ∈ N に対して
(
)
fn (i) := P Xn IAi − Y IAi > c
と定義する．仮定より
∀i ∈ N,
lim fn (i) = 0
n→∞
であり，また
∀n ∈ N, ∀i ∈ N,
かつ
fn (i) = P
∑
({
| Xn − Y | > c
}
∩ Ai
)
≤ P(Ai )
P(Ai ) = P(Ω) = 1 < +∞
i∈N
)
N, 2N , ♯ 【ただし ♯ は，N の部分集合の濃度（要素
の個数）を表す測度】上の関数列 { fn }n∈N に適用すると
より，Lebesgue の優収束定理を測度空間
(
lim
n→∞
が成り立つ．さらに
∑
∑
fn (i) = 0
i∈N
(
)
fn (i) = P |Xn − Y | > c
i∈N
なので，題意が成立する．
2

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