微分積分学および演習Ⅱ 演習問題

微分積分学および演習Ⅱ 演習問題 8
2014 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
※レポートを提出したい人は、以下の注意点を守って提出して下さい。
(ⅰ) 必ず分かるところに学籍番号、学科、氏名を書いて下さい。
(ⅱ) A4 の紙を用いて、複数枚になる場合はホチキスや針無しステープラーで綴じて下さい。
(ⅲ) 提出期限は 12/11 (木), 12/12 (金) の講義時とします。
問題 8-1.
2 変数関数 f (x, y) = ey cos x−sin 2y = ey cos x e− sin 2y について以下の設問に答えなさい。
(1) 偏導関数 fx (x, y) 及び fy (x, y) を求めなさい。
(π
π √ )
(2) 関数 z = f (x, y) のグラフ上の点
, − , e に於ける接平面の方程式を求めなさい。
2
12
(3) 関数 f (x, y) のマクローリン展開を 3 次の項まで求めなさい。
(4) 領域 D = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ π, −π ≤ y ≤ π } に於ける f (x, y) の極値を全て求めなさい。極
値をとるときの (x, y) の値も求めること。
問題 8-2. a, b をそれぞれ 1 とは異なる正の実数とする。2 変数関数 z = f (x, y) 及び有界閉領域 D を
2
{
}
x
y2
4
4
f (x, y) = x − y ,
D = (x, y) 2 + 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0
a
b
で定めるとき、以下の設問に答えなさい。但しウォリスの公式 Wallis’ formula
∫
∫
t= π
2
cos
2n
t= π
2
t dt =
t=0
(2n − 1)!! π
·
(2n)!!
2
2n − 1 2n − 3 2n − 5
3 1 π
=
·
·
· ··· · · ·
2n
2n − 2 2n − 4
4 2 2
sin2n t dt =
t=0
は断りなく用いても良いものとする。
(1) 領域 D を xy 平面に図示しなさい。


∂x ∂x
 ∂r ∂θ 

(2) 座標変換 x = ar cos θ, y = br sin θ に関するヤコビ行列 Jacf = 
 ∂y ∂y  及びヤコビ行
∂r ∂θ
∂z
∂z
及び
を求めなさい。
列式 Jf = det(Jacf ) を計算しなさい。また、導関数
∂θ
∫ ∂r
(3) 座標変換 x = ar cos θ, y = br sin θ を用いて重積分
f (x, y) dxdy を計算しなさい。
D
∫
(4)∗ 重積分
f (x, y) dxdy を (座標変換を用いずに) 直接計算しなさい。
D
√
[(4) のヒント]
1−
1 2
u の形の関数の積分は、u = • sin t とおいて置換積分するのが定石です。
•2
1
【略解】
問題 8-1. f (x, y) = ey cos x−sin 2y
(1) fx (x, y) = −y sin xey cos x−sin 2y , fy (x, y) = (cos x − 2 cos 2y)ey cos x−sin 2y
(
)
(
)
√
1
1
1 √
1
1
(2) fx
π, − π =
π e, fy
π, − π = − 3e より求める接平面の法線ベクトル n
2
12
12
2
12
は




1 √
0
− π e

 
 12

√
× 1 


n=
=

3e
1 √ 


√
− 3e
π e
1
12
1
0


と計算出来る。したがって、求める接平面の (ベクトル) 方程式は

 
1
1 √
x
−
π
− π e
( 2 )
 
 12

1
 √
·
= 0.

3e  y − − π 

12 
√
1
z− e

√
√
展開して整理すると、求める接平面の方程式は 2πx − 24 3y − 24 e
−1
√
z = π 2 + 2 3π − 24
となる。
(3) 定数項は f (0, 0) = e0 = 1 である。高階偏微分係数を計算すると
fx (x, y) = −y sin xey cos x−sin 2y
fy (x, y) = (cos x − 2 cos 2y)ey cos x−sin 2y
/o /o /o / fx (0, 0) = 0
/o /o /o / fy (0, 0) = −1
fxy (x, y) = {1+y(cos x − 2 cos 2y)}
fxx (x, y) = (−y cos x+y 2 sin2 x)
· (− sin x)ey cos x−sin 2y
·e
y cos x−sin 2y
/o /o /o / fxx (0, 0) = 0
/o /o /o / fxy (0, 0) = 0
fyy (x, y) = {4 sin 2y + (cos x − 2 cos 2y) }
2
· ey cos x−sin 2y
/o /o /o / fyy (0, 0) = 1
fxxx (x, y) = (1 + 3y cos x − y 2 sin2 x)
fxxy (x, y) = {(−y cos x + y 2 sin2 x)(cos x − 2 cos 2y)
· (y sin x)ey cos x−sin 2y
− cos x + 2y sin2 x} · ey cos x−sin 2y
/o /o /o / fxxx (0, 0) = 0
/o /o /o / fxxy (0, 0) = −1
fxyy (x, y) = {2(cos x − 2 cos 2y + 2y sin 2y)
fyyy (x, y) = {12 sin 2y(cos x − 2 cos 2y)
+ y(cos x − 2 cos 2y) }
+ 8 cos 2y + (cos x − 2 cos 2y)3 }
2
· (− sin x)ey cos x−sin 2y
/o /o /o / fxyy (0, 0) = 0
/o /o /o / fyyy (0, 0) = 7
2
· ey cos x−sin 2y
であるから、
f (x, y) = f (0, 0) + {fx (0, 0)x + fy (0, 0)y}
1
+ {fxx (0, 0)x2 + 2fxy (0, 0)xy + fyy (0, 0)y 2 }
2!
1
+ {fxxx (0, 0)x3 + 3fxxy (0, 0)x2 y + 3fxyy (0, 0)xy 2 + fyyy (0, 0)y 3 } + . . . . . .
3!
1
1
7
= 1 − y + y 2 − x2 y + y 3 + . . . . . . .
2
2
6
[別解] cos x と sin y のマクローリン展開の公式より (2y を一塊に考えて)
)
(
) (
1
(2y)3
y cos x − sin (2y) = y 1 − x2 + . . . − (2y) −
+ ...
2!
3!
4
1
= −y − x2 y + y 3 + . . . . . ..
2
3
これを et = 1 + t +
1
1 2
t + t3 + . . . . . . に代入して
2!
3!
ey cos x−sin 2y = e−y− 2 x y+ 3 y +......
(
)
(
)2
1
1 2
4 3
1 2
4 3
= 1 + −y − x y + y + . . . . . . +
−y − x y + y + . . . . . .
2
3
2
2
3
(
)3
1
1
4
+
−y − x2 y + y 3 + . . . . . .
+ ......
6
2
3
1
2
4
3
1
1
7
= 1 − y + y 2 − x2 y + y 3 + . . . . . .
2
2
6
(4) 先ずは臨界点を求める。fx (x, y) = 0, fy (x, y) = 0 を連立すると
{
−y sin xey cos x−sin 2y = 0
(cos x − 2 cos 2y)ey cos x−sin 2y = 0
となるが、ey cos x−sin 2y はあらゆる (x, y) に対して 0 とならないので、結局臨界点を求める
には連立方程式
−y)sin(x = cos
(
) (
) x(− 2 cos 2y
) = 0 の解を求めれば良い。したがって臨界点は
1
0, π ,
6
1
0, − π ,
6
1
π, π ,
3
1
π, − π
3
の計 4 個*1 。
続いて各臨界点に対してヘッセ行列式
(
fxx (x, y)
hf (x, y) = det
fyx (x, y)
)
fxy (x, y)
fyy (x, y)
= [(−y cos x + y 2 sin2 x) · {4 sin 2y + (cos x − 2 cos 2y)2 }
− {1 + y(cos x − 2 cos 2y)}2 (− sin x)2 ]e2(y cos x−cos 2y)
*1
ここで第 1 式で y = 0 となっているとすると、第 2 式から cos x = 2 となるが、cos x は常に 1 以下なので矛盾。し
たがって y = 0 となるような臨界点は存在しない。
3
を計算すると以下のようになる*2 。
(
)
√
√
(
)
1
3 − 1 π+√3
hf 0, − π = −
πe 3
< 0,
6
3
√
(
)
1
2 3 2 π+√3
hf π, − π =
πe 3
> 0,
3
3
3 1 π−√3
hf
=−
πe 3
< 0,
3
√
(
)
1
2 3 − 2 π−√3
hf π, π =
πe 3
> 0,
3
3
1
0, π
6
したがって
(
)
(
)
1
1
π, π と π, − π の 2 つが臨界点となる。
3
3
最後に
(
)
)
(
1
1 − 1 π− √3
1 1 √3
1
2 > 0,
fxx π, ± π = πe 3
fxx π, − π = − πe 3 π+ 2 < 0
3
3
3
3
)
)
(
(
√
1
1
3
1
となることから、関数 f は点 π, π で極小値 e− 3 π− 2 を、点 π, − π で極大値
3
3
√
3
1
π+
2
e3
をとることが分かる。
【解説】
二変数関数の微分法に関する総合問題。折角なので歯応えのある問題にしようと頑張って
作ってみたのですが、ちょっと歯応えがありすぎたでしょうか (^^; 完全正解者はいませんでした。
計算が少しばかり (とても?) 大変な問題ですが、それぞれの問題はこれまで『多変数関数の微分法』
で学習した内容の総集編となっておりますので、その解き方はしっかりと復習しておいてください。
(1) は偏微分の計算問題。この問題が出来なかった人はよく反省して、偏微分の計算練習を積み重
ねましょう。(2) は接平面を求める問題。比較的よく出来てはいましたが、接ベクトルがきちんと求

0








1
と
 にしていた
− π
められていない人 (例えば接ベクトルを 

 (

)
( 12
)



1
1
1
1
fx
π, − π
fy
π, − π
12
2
12
(
)2
1
1
り、偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) に
π, π を代入せずに計算していたり) が散見されまし
2 12

1
π
2
0


た。気をつけましょう。接ベクトルさえきちんと計算出来れば、あとは『線形代数学Ⅰ』で学んだ平
面の方程式の求め方に沿って立式するだけです。(3) はマクローリン展開の問題。この問題も、良く
知られている 1 変数関数のマクローリン展開の公式を用いれば比較的簡単に答えが求められますが
([別解] の方の解き方です)、そうしている人は殆どいませんでした。f (x, y) の 3 階導関数の計算は
非常に大変ですので、直接計算をした人の中には計算ミスで倒れた人が続出しましたが、そんな中で
もきちんと正解まで辿りついた人も数人いらっしゃいました。お見事です。(4) は極値問題。この問
題に関しては手つかずの方も多かったようです。せめて臨界点くらいはきちんと求めて欲しかったの
ですが……。極大値、極小値まできちんと求められた方も 1 人だけいらっしゃいました。その調子で
頑張ってください。
*2
一見すると非常に複雑だが、臨界点に於いては y sin x = cos x − cos 2y = 0 なのだから、hf の式のうちの大部分は
消えてしまうことに注意しよう。
4
問題 8-2.
(1) 求める領域は下図の境界を含む斜線部。
y
b
D
O
a
x
x2
y2
+
=1
a2
b2
(2) それぞれ計算してみると


(
∂x ∂x
a cos θ
 ∂r ∂θ 
Jacf =  ∂y ∂y  =
b sin θ
∂r ∂θ
)
−ar sin θ
, Jf = det(Jacf ) = abr(cos2 θ + sin2 θ) = abr
br cos θ
となる。また、
(
∂z ∂z
∂r ∂θ
)
∂x 
( (
)
)
∂z ∂z  ∂r ∂θ 
∂z ∂z
=
=
Jacf


∂x ∂y
∂x ∂y
∂y ∂y
∂r ∂θ
(
)
( 3
)
a
θ
θ
cos
−ar
sin
= 4x − 4y 3
b sin θ
br cos θ
(
)
( 3 3
)
a
cos
θ
−ar
sin
θ
= 4a r cos3 θ − 4b3 r3 sin3 θ
b sin θ
br cos θ
(
)
 ∂x
= (4a4 r3 cos4 θ − 4b4 r3 sin4 θ
− 4a4 r4 cos3 θ sin θ − 4b4 r4 sin3 θ cos θ)
より、
∂z
= 4r3 (a4 cos4 θ − b4 sin4 θ),
∂r
∂z
= −4r4 sin θ cos θ(a4 cos3 θ + b4 sin2 θ)
∂θ
となる。
5
{
(3) rθ 平面に於いて対応する積分領域は E =
∫
}
1
(r, θ) 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π であるから、
2
∫
(x − y ) dxdy =
4
{(ar cos θ)4 − (br sin θ)4 } · |Jf | drdθ
4
D
E
∫ θ= 12 π
=
abr5 (a4 cos4 θ − b4 sin4 θ) drdθ
θ=0
ab
=
6
∫
θ= 12 π
(a4 cos4 θ − b4 sin4 θ) dθ
θ=0
{
}
ab
1
4 3 1 π
4 3 1 π
· a · · · −b · · ·
πab(a4 − b4 ) .
=
=
6
4 2 2
4 2 2
32
※ 楕円
x2
y2
+
= 1 のパラメータ表示が
a2
b2
{
x = a cos θ
y = b sin θ
で与えられたことを思いだそう。
(4) 反復積分の形に書き直してみると
∫
∫
y=b
∫
x=a
(x4 − y 4 ) dxdy =
D
y=0
x=0
(x4 − y 4 ) dydx
√
]x=a 1− 12 y2
b
1 5
4
=
x − xy
dy
5
y=0
x=0
)
√
5
∫ y=b ( 5 √
a
1 2
1
=
1 − 2 y − ay 4 1 − 2 y 2 dy.
5
b
b
y=0
∫
y=b [
√
1− b12 y 2
ここで y = b sin t とおくと、dy = b cos t であり、y が 0 から b まで動くときに t は 0 から
1
π まで動くので、置換積分法により
2
)
∫
∫ t= 12 π ( 5
a
4
4
5
4
(x − y ) dxdy =
cos t − a(b sin t) cos t · b cos t dt
5
D
t=0
)
∫ t= 12 π ( 4
a
4
6
4
2
= ab
cos t − b sin t cos t dt
5
t=0
)
∫ t= 12 π ( 4
a
4
2
6
4
= ab
cos t − b sin t(1 − sin t) dt
5
t=0
)
∫ t= 12 π ( 4
a
6
4
6
4
4
= ab
cos t + b sin t − b sin t dt
5
t=0
)
( 4
a 5 3 1 π
4 5 3 1 π
4 3 1 π
· · · · +b · · · · −b · · ·
= ab
5 6 4 2 2
6 4 2 2
4 2 2
=
【解説】
1
ab(a4 − b4 ) .
32
二変数関数の積分法の総合問題。ここでは楕円のパラメータ表示を用いた変数変換を
扱ってみました。(1) は出来て欲しい問題。不正解者は二次曲線の標準形について良く復習しよう。
6
(2) も簡単な問題の筈ですが、何故かヤコビ行列式が 2abr になっている人が少なからずいました。
計算の際には細心の注意を払いましょう。(3) は重積分の変数変換の問題。先ず r, θ の範囲が分から
なかった人は、(1) の図を見ながらもう一度よく考えてみよう。変数変換さえ無事に終わったら (ヤ
コビ行列式を掛けるのを忘れないこと!!!)、あとは反復積分を計算するだけですが、cos4 θ, sin4 θ の積
分はウォリスの公式を用いると便利です。重積分の問題に限らず、三角関数の羃乗 cosn θ, sinn θ の
積分は結構頻出しますので、ウォリスの公式は是非正しく使いこなせるようになりましょう!! (4) は、
同じ重積分を変数変換を用いずに計算する問題。このように、1 変数関数の技巧的な置換積分を駆
使すれば、重積分の変数変換を使わなくても重積分 (反復積分) が計算出来る場合もありますが、矢
張り面倒くさくなることが非常に多いです。重積分の変数変換はしっかりと身につけるようにしま
しょう。
7

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