平行偏波 (TMy モード) 斜入射の反射・透過解析 科 v1.9 Jun.2014 Region(1) η1 −k1 cos θi y Ei k1 Hi Ei cos θi − E cos θ r r k1 y=0 k1 cos θ r Er k1 k1 sin θ r k1 Hr θi θ r x z θt k2 sin θt Ht −k2 cos θt k2 Et Et cos θt k2 Region(2) η 2 図 1 2 層媒質境界面 y = 0 における入射・反射・透過の解析モ デル。入射電界の振幅を Ei , 反射電界の振幅を Er , 透過電界の 振幅を Et とする。入射角度・反射角度・屈折角度はそれぞれ θi , θr , θt であり，各領域の波動インピーダンスは η1 , η2 である。 図 1 に示す解析モデルにおいて，y = 0 面で電磁界接線成分連続性 の境界条件を適用するために，まず入射波のうち境界に対する接線 成分を導出する。領域 1 の入射電界振幅 Ei の x 成分は Ei cos θi と なる。波数 k1 は図 1 左上のように分解して考えると，x 方向の波数 k1x = k1 sin θi , y 方向の波数 k1y = −k1 cos θi となるから*1 電界 x 成分は式 (1) となる。一方，入射磁界振幅 Hi = Ei /η1 はもともと境 界に対する接線成分になっているので，波数 k1 だけ成分分解して表 示すると式 (2) となる。 Exi (x, y) = Ei cos θi e−jk1 (x sin θi −y cos θi ) (1) Ei −jk1 (x sin θi −y cos θi ) Hzi (x, y) = e (2) η1 2. 反射波の接線成分 同じようにして領域 1 の反射波のうち，境界に対する接線成分を導出 する。反射電界振幅 Er の x 成分は −Er cos θr である。また，波数 k1 は図 1 右上のように分解して考えると，x 方向の波数 k1x = k1 sin θr , y 方向の波数 k1y = k1 cos θr となるから式 (3) となる。一方，磁界 振幅 Hr = Er /η1 はもともと境界に対する接線成分になっているの で，波数 k1 だけ成分分解して表示すると式 (4) となる。 Exr (x, y) = −Er cos θr e−jk1 (x sin θr +y cos θr ) (3) Er −jk1 (x sin θr +y cos θr ) r Hz (x, y) = e (4) η1 5. ブリュースター角 さて，反射係数の式 (18) で Γ = 0 とおけば無反射条件を導出できる。 η1 cos θi = η2 cos θt (20) 式 (20) において右辺の cos θt を sin θt で表現し，式 (12) のスネルの 法則を代入して θt を消去すると √ √ k1 2 η1 cos θi = η2 1 − sin2 θt = η2 1 − 2 sin2 θi (21) k2 となる。両辺を 2 乗して整理すると次式 )(22) となる。 ( k1 2 2 2 2 2 η1 (1 − sin θi ) = η2 1 − 2 sin θi (22) k2 一般に，誘電体の透磁率は µr = 1 として扱えるので，上式は ε2 sin2 θi = (23) ε2 + ε1 となる。これより無反射となる ( ) θi の条件は 3. 透過波の接線成分 最後に領域 2 の透過波のうち，境界に対する接線成分を導出する。透 過電界振幅 Et の x 成分は Et cos θt となる。また，波数 k2 は図 1 左 下のように分解して考えると，x 方向の波数 k2x = k2 sin θt , y 方向 の波数 k2y = −k2 cos θt となるから*2 式 (5) となる。一方，磁界振幅 Ht はもともと境界に対する接線成分になっているので，波数 k2 だけ 成分分解して表示すると式 (6) となる。 Ext (x, y) = Et cos θt e−jk2 (x sin θt −y cos θt ) (5) Et −jk2 (x sin θt −y cos θt ) t Hz (x, y) = e (6) η2 θi = sin 以上で電磁界の接線成分がすべて求まった。 −1 √ 1 1 + ε1 /ε2 √ = tan −1 ε2 ε1 (24) であることが分かる。この角度をブリュースター角と呼ぶ*5 4. 境界条件の適用 式 (1) 式 (3) の和と式 (5) に y = 0 面で電界接線成分の連続性を適用 し，式 (2) 式 (4) の和と式 (6) に y = 0 面で磁界接線成分の連続性を *3 適用すると Exi (x, 0) + Exr (x, 0) = Ext (x, 0) 番 氏名: Hzi (x, 0) + Hzr (x, 0) = Hzt (x, 0) (8) が得られる。まず式 (7) より Ei cos θi e−jk1 x sin θi − Er cos θr e−jk1 x sin θr = Et cos θt e−jk2 x sin θt (9) 式 (9) が任意の x に対して常に成立するためには，位相項が一致して いることが必要である。即ち次式 (10) が得られる。 k1 sin θi = k1 sin θr = k2 sin θt (10) これを位相整合条件と呼ぶ。式 (10) は次の 2 つの条件を含んでいる。 θi = θr (11) k1 sin θi = k2 sin θt (12) 式 (11) は入射角度 θi と反射角度 θr が常に等しいことを示しており， 式 (12) は入射角度 θi と屈折角度 θt の関係を示している。式 (11) を 反射に関するスネルの法則，式 (12) を屈折に関するスネルの法則と 呼ぶ*3 。式 (10) を式 (9) に代入すると Ei cos θi − Er cos θr = Et cos θt (13) が 得 ら れ る 。式 (13) の 両 辺 を Ei で 割 り ，反 射 係 数*4 を Γ = −Er /Ei ， 透過係数を T = Et /Ei とおくと cos θi + Γ cos θr = T cos θt (14) が得られる。同じようにして磁界接線成分の連続性を示す式 (8) より 次式 (15) が得られる。 Er −jk1 x sin θr Et −jk2 x sin θt Ei −jk1 x sin θi e + e = e (15) η1 η1 η2 式 (15) が任意の x に対して常に成立するためには式 (10) と同じ位相 整合条件が必要であり，これを考慮すると式 (15) は Ei Er Et + = (16) η1 η1 η2 となる。式 (16) の両辺を Ei で割り，反射係数を Γ = −Er /Ei , 透過 係数を T = Et /Ei とおくと 1 1 1 − Γ= T (17) η1 η1 η2 が得られる。最終的に式 (14) と式 (17) を連立させることにより，斜 入射の反射係数 Γ と透過係数 T は次のように求まる。 −η1 cos θi + η2 cos θt Γ= (18) η1 cos θi + η2 cos θt 2η2 cos θi T = (19) η1 cos θi + η2 cos θt 1. 入射波の接線成分 k1 sin θi 年 *4 (7) y 方向の波数 k1y は本来の座標系と逆向きになるので − が付くことに注 意。さらに x 方向の位相項は e−jk1x x = e−j(k1 sin θi )x であり y 方向の位 相項は e−jk1y y = e−j(−k1 cos θi )y であるから，両者をまとめた位相項は e−jk1x x e−jk1y y = e−jk1 (x sin θi −y cos θi ) となる。 *2 y 方向の波数 k2y は本来の座標系と逆向きになるので − が付くことに注意。 *5 *1 Snell, Willebrord van Roijen, オランダの数学者でライデン大学教授。 1621 年にスネルの法則を発見した。偏見で見ると相手は拗ねる。 i と E r の符号が逆になるように定義しているた 図 1 において，接線成分 Ex x め，反射係数 Γ には − が付くことに注意。これを避けるには，予め図 1 にお いて磁界反射波 Hr だけ ⊙ から ⊗ に反転して定義しておくとよい。 Brewster, Sir David, スコットランドの物理学者。1815 年にブリュース ターの法則を発見。この角度で入射された電磁波は，すべて透過して反射波 を生じない。これは，本来あるはずの反射波の方向が透過波の電界振動方向 (ダイポールは直角方向には放射しない) とちょうど一致するためである。即 ち，本来あるはずの反射波の方向と透過波の方向は直角である。 1 Region(1) η1 Region(1) η1 y Ei k1 Hi θt θi θ r y=0 x z Hr k1 θi θ r y=0 k1 Hi Hr k1 y Ei θt Et Ht x z Et Ht k2 Region(2) η 2 k2 Region(2) η 2 図 2 2 層媒質境界面 y = 0 における入射・反射・透過の解析モ 図5 デル。入射電界の振幅を Ei , 反射電界の振幅を Er , 透過電界の デル。入射電界の振幅を Ei , 反射電界の振幅を Er , 透過電界の 振幅を Et とする。入射角度・反射角度・屈折角度はそれぞれ θi , 振幅を Et とする。入射角度・反射角度・屈折角度はそれぞれ θi , θr , θt であり，各領域の波動インピーダンスは η1 , η2 である。 θr , θt であり，各領域の波動インピーダンスは η1 , η2 である。 2 層媒質境界面 y = 0 における入射・反射・透過の解析モ 㻝 㻝 ε r = 81 㻜㻚㻤 㻜㻚㻢 㻜㻚㻤 㼨䂳㼨 ε r = 10 㼨䂳㼨 ε r = 81 㻜㻚㻢 ε r = 10 㻜㻚㻠 㻜㻚㻠 εr = 2 㻜㻚㻞 㻜㻚㻞 εr = 2 㻜 㻜 㻜 㻝㻡 㻟㻜 㻠㻡 㻢㻜 䃗㼕㻌㼇㼐㼑㼓㼞㼑㼑㼉 㻣㻡 㻜 㻥㻜 㻝㻡 㻟㻜 㻠㻡 㻢㻜 䃗㼕㻌㼇㼐㼑㼓㼞㼑㼑㼉 㻣㻡 㻥㻜 図 6 2 層媒質境界面 y = 0 における反射係数の絶対値。点線は 反射係数が − であり，実線は反射係数が + でることを示す。領域 1 の比誘電率を εr = 1 とし，領域 2 の比誘電率を εr = 2, 10, 81 とした場合を示す。(空気から誘電体への入射) 2 の比誘電率を εr = 1 とし，領域 1 の比誘電率を εr = 2, 10, 81 とした場合を示す。(誘電体から空気への入射) 㻥㻜 㻥㻜 㻣㻡 㻣㻡 εr = 1 㻢㻜 䃗㼠㻌㼇㼐㼑㼓㼞㼑㼑㼉 䃗㼠㻌㼇㼐㼑㼓㼞㼑㼑㼉 図 3 2 層媒質境界面 y = 0 における反射係数の絶対値。点線は 反射係数が − であり，実線は反射係数が + でることを示す。領域 εr = 2 㻠㻡 㻟㻜 ε r = 10 㻝㻡 ε r = 81 ε r = 10 εr = 2 㻢㻜 εr = 1 㻠㻡 㻟㻜 㻝㻡 ε r = 81 㻜 㻜 㻜 㻝㻡 㻟㻜 㻠㻡 㻢㻜 䃗㼕㻌㼇㼐㼑㼓㼞㼑㼑㼉 㻣㻡 㻜 㻥㻜 㻝㻡 㻟㻜 㻠㻡 㻢㻜 䃗㼕㻌㼇㼐㼑㼓㼞㼑㼑㼉 㻣㻡 㻥㻜 2 層媒質境界面 y = 0 における屈折角の変化。領域 1 の比 図 7 2 層媒質境界面 y = 0 における屈折角の変化。領域 1 の比 誘電率を εr = 1 とし，領域 2 の比誘電率を εr = 1, 2, 10, 81 と 誘電率を εr = 1 とし，領域 2 の比誘電率を εr = 1, 2, 10, 81 と した場合を示す。ε1 < ε2 では，常に θi > θt である。(空気から した場合を示す。ε1 > ε2 では，常に θi < θt で θt = 90◦ を臨界 誘電体への入射) 角 (critical angle) と呼ぶ。(誘電体から空気への入射) 図4 2
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