問28. 解答

028_面白い数学小問題
問 28．下の図の五輪マークの a∼i の 9 ヶ所に 1∼9 までの数を 1 個ずつ入れ，5 個の輪内
の数の和がすべて等しくなるようにせよ．
a
e
b
i
f
d
h
g
c
s 条件より
 a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45

 a+b =b+c+d = d +e+ f = f + g +h = h+i
 ①
 ②
①，②の不定方程式を解けばよいことになる．
(②式) = k とおくと
a+b = k

 b+c+d = k

 d +e+ f = k
 f +g+h=k

h+i = k

辺々を加えて ( a + b + c + d + e + f + g + h + i ) + (b + d + f + h) = 5k
b+d + f +h
①より
45 + (b + d + f + h) = 5k ⇔ k = 9 +
5
ここで，
1 + 2 + 3 + 4(b + d + f + h ( 6 + 7 + 8 + 9
すなわち
10 ( b + d + f + h ( 30
よって，k が自然数となるためには， b + d + f + h が 5 の倍数でなければならないから
b + d + f + h = 10 , 15 , 20 , 25 , 30
したがって
k

 11   12  13  14  15 

 =   ,   ,   ,   ,    ③
 b + d + f + h  10   15   20   25   30 
また，
(a + b) + c + (d + e + f ) + g + (h + i ) = 45
⇔ k + c + k + g + k = 45 ⇔ 3k = 45 − (c + g )
⇔ k = 15 −
c+g
3
3( c + g (17 より，k が自然数となるためには
c + g = 3 , 6 , 9 , 12 , 15
−1−
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したがって
 k  14  13  12   11  10 

 =   ,   ,   ,   ,    ④
 c + g   3   6   9  12   15 
③，④を同時に満たす k の値から
k

  11  12   13   14 

        
 b + d + f + h  = 10  ,  15  ,  20  ,  25 

 12   9   6   3 
c+g

        
c + g の値に注目して場合分けを考える． c > g としても一般性は失われないから
k = 11 のとき， c + g = 12 より， (c , g ) = (9 , 3) , (8 , 4) , (7 , 5)
k = 12 のとき， c + g = 9 より， (c , g ) = (8 , 1) , (7 , 2) , (6 , 3) , (5 , 4)
k = 13 のとき， c + g = 6 より， (c , g ) = (5 , 1) , (4 , 2)
k = 14 のとき， c + g = 3 より， (c , g ) = (2 , 1)
ⅰ
k = 11 , (c , g ) = (9 , 3) のとき
b + 9 + d = 11 ⇔ b + d = 2
b + d )3 より，これを満たす b，d は存在しない．
k = 11 , (c , g ) = (8 , 4) のとき
b + 8 + d = 11 ⇔ b + d = 3
∴ (b , d ) = (2 , 1) , (1 , 2)
(ｱ) (b , d ) = (2 , 1) のとき， a + 2 = 11 ⇔ a = 9
 e + f = 10

 f +h=7
 h + i = 11

ⅱ
これを満たす e，f，h，i は存在しない．
(ｲ) (b , d ) = (1 , 2) のとき， a + 1 = 11 ⇔
a
b 9 d e f 3 h
i
a
b 8 d e f 4 h
i
9 2 8 1 e f 4 h
i
a = 10 （不適）
k = 11 , (c , g ) = (7 , 5) のとき
b + 7 + d = 11 ⇔ b + d = 4
∴ (b , d ) = (3 , 1) , (1 , 3)
(ｳ) (b , d ) = (3 , 1) のとき， a + 3 = 11 ⇔ a = 8
 e + f = 10

 f +h=6
 h + i = 11

ⅲ
a
b 7 d e f 5 h
i
8 3 7 1 e f 5 h
i
これから， (e , f , h , i ) = (6 , 4 , 2 , 9) の 1 組が求められる．
8 3 7 1 6 4 5 2 9
(ｴ)
(b , d ) = (1 , 3) のとき， a + 1 = 11 ⇔ a = 10 （不適）
−2−
028_面白い数学小問題
k = 12 , (c , g ) = (8 , 1) のとき
b + 8 + d = 12 ⇔ b + d = 4
∴ (b , d ) = (3 , 1) , (1 , 3)
これは， g = 1 であるから適さない．
ⅳ
k = 12 , (c , g ) = (7 , 2) のとき
b + 7 + d = 12 ⇔ b + d = 5
∴ (b , d ) = (4 , 1) , (1 , 4)
(ｵ) (b , d ) = (4 , 1) のとき， a + 4 = 12 ⇔ a = 8
 e + f = 11

 f + h = 10
 h + i = 12

ⅴ
これを満たす e，f，h，i は存在しない．
(ｶ) (b , d ) = (1 , 4) のとき， a + 1 = 12 ⇔
a
b 8 d e f 1 h
i
a
b 7 d e f 2 h
i
8
4 7 1 e f 2 h
i
a
b 6 d e f 3 h
i
7
5 6 1 e f 3 h
i
8
4 6 2 e f 3 h
i
a = 11 （不適）
k = 12 , (c , g ) = (6 , 3) のとき
b + 6 + d = 12 ⇔ b + d = 6
∴ (b , d ) = (5 , 1) , (4 , 2) , (2 , 4) , (1 , 5)
(ｷ) (b , d ) = (5 , 1) のとき， a + 5 = 12 ⇔ a = 7
 e + f = 11

 f +h=9
 h + i = 12

ⅵ
これを満たす e，f，h，i は存在しない．
(ｸ) (b , d ) = (4 , 2) のとき， a + 4 = 12 ⇔
 e + f = 10

 f +h=9
 h + i = 12

a =8
これを満たす e，f，h，i は存在しない．
(ｹ) (b , d ) = (2 , 4) のとき， a + 2 = 12 ⇔
(ｺ)
a = 10 （不適）
(b , d ) = (1 , 5) のとき， a + 1 = 12 ⇔ a = 11 （不適）
k = 12 , (c , g ) = (5 , 4) のとき
a b 5 d e f 4 h
b + 5 + d = 12 ⇔ b + d = 7
∴ (b , d ) = (6 , 1) , (1 , 6)
(ｻ) (b , d ) = (6 , 1) のとき， a + 6 = 12 ⇔ a = 6 （不適）
(ｼ) (b , d ) = (1 , 6) のとき， a + 1 = 12 ⇔ a = 11 （不適）
ⅶ
−3−
i
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k = 13 , (c , g ) = (5 , 1) のとき
b + 5 + d = 13 ⇔ b + d = 8
∴ (b , d ) = (6 , 2) , (2 , 6)
(ｽ) (b , d ) = (6 , 2) のとき， a + 6 = 13 ⇔ a = 7
 e + f = 11

 f + h = 12
 h + i = 13

ⅷ
a
b 5 d e f 1 h
i
7
6 5 2 e f 1 h
i
これから， (e , f , h , i ) = (8 , 3 , 9 , 4) , (3 , 8 , 4 , 9) の 2 組が求められる．
7 6 5 2 8 3 1 9
(ｾ)
7 6 5 2 3 8 1 4 9
4
(b , d ) = (2 , 6) のとき， a + 2 = 13 ⇔ a = 11 （不適）
k = 13 , (c , g ) = (4 , 2) のとき
b + 4 + d = 13 ⇔ b + d = 9
∴ (b , d ) = (8 , 1) , (6 , 3) , (3 , 6) , (1 , 8)
(ｿ) (b , d ) = (8 , 1) のとき， a + 8 = 13 ⇔ a = 5
 e + f = 12

 f + h = 11
 h + i = 13

ⅸ
これを満たす e，f，h，i は存在しない．
(ﾀ) (b , d ) = (6 , 3) のとき， a + 6 = 13 ⇔
a
b 4 d e f 2 h
i
5
8 4 1 e f 2 h
i
a=7
 e + f = 10

7 6 4 3 e f 2 h
 f + h = 11
 h + i = 13

これを満たす e，f，h，i は存在しない．
(ﾁ) (b , d ) = (3 , 6) のとき， a + 3 = 13 ⇔ a = 10 （不適）
(ﾂ) (b , d ) = (1 , 8) のとき， a + 1 = 13 ⇔ a = 12 （不適）
k = 14 ， (c , g ) = (2 , 1) のとき
a b 2 d e f 1 h
b + 2 + d = 14 ⇔ b + d = 12
∴ (b , d ) = (9 , 3) , (8 , 4) , (7 , 5) , (5 , 7) , (4 , 8) , (3 , 9)
(ﾃ) (b , d ) = (9 , 3) のとき， a + 9 = 14 ⇔ a = 5
ⅹ
 e + f = 11

 f + h = 13
 h + i = 14

5
9 2 3 e f 1 h
これから， (e , f , h , i ) = (4 , 7 , 6 , 8) の 1 組が求められる．
5
9 2 3 47 1 6
−4−
8
i
i
i
028_面白い数学小問題
(ﾄ)
(b , d ) = (8 , 4) のとき， a + 8 = 14 ⇔ a = 6
 e + f = 10

 f + h = 13
 h + i = 14

6
8 2 4 e f 1 h
i
これを満たす e，f，h，i は存在しない．
(ﾅ) (b , d ) = (7 , 5) のとき， a + 7 = 14 ⇔
(ﾆ)
a = 7 （不適）
(b , d ) = (5 , 7) のとき， a + 5 = 14 ⇔ a = 9
 e+ f =7

9 5 2 7 e f 1 h
 f + h = 13
 h + i = 14

これを満たす e，f，h，i は存在しない．
(ﾇ) (b , d ) = (4 , 8) のとき， a + 4 = 14 ⇔
(ﾈ)
a = 10 （不適）
(b , d ) = (3 , 9) のとき， a + 3 = 14 ⇔ a = 11 （不適）
以上，ⅰ∼ⅹより，条件を満たす解は以下の 4 通りのみである．
6
8
4
1
3
2
2
5
9
4
3
9
1
2
−5−
4
8
1
5
4
3
9
5
8
7
2
6
5
7
6
3
7
9
8
6
7
1
i

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