í êMï°éÆ2

通信方式
これを瞬時周波数 w i と呼ぶことにする。これは、位相角の時間変化率（角速度である）。
t
q (t) =
-•
wi d t ．
（3-29）
E39 位相角−瞬時周波数の関係と、位置−速度との関係の類似性について確認せよ。
3.3.2 角度変調の基本式
位相変調（PM：Phase Modulation）
周波数変調（FM：Frequency Modulation）
瞬時周波数w iを信号に比例させる。
位相角 q (t) を信号に比例させる。
w i = w c + k f f (t) ，（3-30a）
q (t) = w c t + j 0 + kp f (t) ，（3-30b）
ここで、w c：搬送角周波数（中心周波数）、 kf ：
ここで、j0：初期位相（ゼロとしてよい）
、kp：定
数。よって、瞬時周波数w i は、
定数である。従って、位相角q (t) は、
t
q (t) =
-•
w i ∫ d q (t)
dt
wi d t
t
= w c t + j 0 + kf
-•
f (t) d t ，（3-31a）微分
= w c + k p d f (t) ，
dt
（3-31b）
となる。
（3-26）式を用いて FM 波（被変調波）
となる。（3-26）式を用いて PM 波（被変調波）
fFM (t) を表すと、次のようになる。
fPM (t) を表すと、次のようになる。
積分
fPM(t) = A cos wct+kp f(t) ，
t
fFM (t) = A cos w ct + k f
，
（3-32a）
f (t) d t
-•
ここで j0＝０とした。さらに、複素数で考える
ために、複素 PM を次のように表す。
ここで j0＝０とした。さらに、複素数で考え
るために、複素 FM 波を次のように表す。
t
fFM(t) = A e
j (wct + kf
（3-32b）
f (t) dt )
-•
，
fPM(t) = A ej (wct + kp f (t) dt ) ，
（3-33a）
（3-33b）
3.3.3．狭帯域 FM
FM 方式において、 kf f (t) を周波数偏移（frequency deviation）と呼ぶ。中心周波数 w c に対して kf f (t)
が小さい FM 信号（kf f (t) /w c ≪ １）を、狭帯域 FM 信号と呼ぶ。式を見易くするために、
t
g(t) ∫ kf
f (t) d t ，
（3-34）
-•
とおく。 kf f (t) /w c ≪１であるから、Tayler 展開すると、
（3-33a）式は次のようになる。
fFM(t) ~ A 1+j◊g (t)
e jw t ，
（3-35）
従って、
23
通信方式
fFM (t) = Re fFM (t) = A cosw c t - A g(t) sinw c t ，（3-36）
この式を、AM 波の（3-10）式と比較してみる。
fAM(t) = A cos wct + f (t) cos wct ，
（3-10）
すなわち、狭帯域 FM 波は、搬送波および sin を使った g (t) の DSB-SC 波との足し合わせであること
が分かる。また、狭帯域ＦＭ波のスペクトラムFFM(w) は以下のように書ける。
FFM(w) = p A d (w - w c))+d (w + w c)) + j 1 A G (w - w c) - G (w + w c)) ．（3-37）
2
ここで、G (w ) = kf F (w )であるから、G (w)の「帯
jw
-p
2
域」は、F (w )の帯域に等しい。
cos w ct
B-Mixer
積分器
E40 f (t) = cos wmt としたとき、
（3-36）式は、以
S
NB-FM
f (t)
下のようになることを確かめよ。
fFM (t) = A cos wct
（a）狭帯域FM波の発生法
+ A kf cos w c + w m t - A kf cos w c - w m t
2w m
2w m
-p
2
（3-38）
B-Mixer
cos w ct
また、ここで右辺第 1 ∼ 3 項は、それぞれ、搬送
波、上側波帯、下側波帯に対応することを確認
せよ。
S
NB-PM
f (t)
E41 正弦波 A cos w ct は、振幅 A で角速度 w c で
反時計回りに回転しているベクトルの実軸への
射影と考えることができる。AM 波（(3-10)式）、
および狭帯域 FM 波（(3-38)式）を、同様の考
え方でベクトル表示せよ。
図31　平衡変調器を用いた狭帯域角度変調信号の
発生法
w
i
Dw
3.3.4 広帯域ＦＭ波とその帯域
w
C
kf f (t) /w c ≪ １が成り立たなくなると、FM 波の正
確なスペクトラム、
あるいは占有帯域幅を厳密に求
めることは、ほとんど不可能になる。ここでは、以
下の２つの近似的アプローチについて取り扱う。
t
w
i
疑似FM信号
! 擬似 FM 信号による近似
元の信号 f(t) がwm ( =2p fm) に帯域制限されてい
w
るとすると、標本化定理の適用が可能となる。
FM 方式では、瞬時周波数を信号に比例して連続
的に変えるのであるが、疑似 FM 信号とは、各標
本化間隔では、標本値 fk に対応した瞬時周波数
w i = w c + k f fk を発生する。
ここで、
C
1 = p
2 fm wm
t
図32　瞬時周波数、最大周波数偏位と、
「疑似FM信号」。
24
通信方式
1 = p
2 fm wm
F(　)
w
2wm
2 Dw
2wm
wi
t
w
wc
図 33 （a）疑似 FM 信号の波形と、
（b）1 標本区間のスペクトルとその変化。
D w = kf f(t)
MAX
，（3-39）
を最大周波数偏移（maximum frequency deviation）と呼ぶ。図 33（a）に疑似 FM 信号の波形を示
す。1標本区間に注目すると、これはその標本区間の瞬時周波数 wi を搬送波として、幅 p/wm のゲー
ト関数で AM 変調されたものであるので、そのスペクトルは中心周波数が wi のサンプリング関数
となる。サンプリング関数の中心のスペクトル広がりは 2wm × 2 であり、それが中心周波数 wc の周
りで最大周波数偏移の 2 倍の範囲で偏移する。したがって、帯域Ｗはおおよそ以下のようにして見
積もることができる。
W ~ 2 D w + 4 w m ~ 2 D w （3-40）
E40 標本化関数のスペクトラムで、中心から 4 w m 以内のスペクトラム密度を積分すると、全体の何
パーセントになるか？
" 単一周波数の信号の場合の検討
信号を、
f(t) = a cos wmt ，
（3-41）
とする。そうすると、複素 FM 波（(33 3 a ) 式）は、
fFM (t) = A ej (wct +mf sin wmt) ，
（3-42）
と書ける。ここで、mf は FM における変
調指数と呼ばれる。
mf = D w ．
wm
（3-43）
図34　第1種ベッセル関数
（3-42）式の指数部第２項は、T = 2p の
wm
周期関数である。従って、これはフーリエ級数に展開することができる。
fFM (t) = A ejwct
F n = wm
2p
T
2
•
Â
n= -•
（3-44）
F n ej nw m t ，
ej mf sin wmt • e-jnwmt dt = Jn (mf)．
（3-45）
-T
2
Jn (mf) は、図 34 に示した第１種 Bessel 関数（n は次数）である。よって、
ここで、
25
通信方式
図35　単一周波数で変調したFM波の（大きさの）
スペクトルと変調指数との関係。
fFM (t) = A J0 (mf) cos wct + A J1(mf) cos(w c+ w m)t - cos(w c- w m)t
+ A J2(mf) cos(wc+2wm)t + cos(wc-2wm)t
+ ・・・・・・・・
（3-46）
E41 （3-46）式をスペクトラムで表せ。
E42 m f << 1のとき、狭帯域 FM 波（3-38）式と一致することを確認せよ。
さて、E41の結果を基に、FM波の帯域幅を検討してみよう。Jn (mf) は、m f >> 1のとき、次数 n > mf
の項は無視できるほど小さいので、側帯波の数は、
（3-46）式から明らかなように、両側にそれぞれ
mf 個ずつ考えればよい。また、側帯波の間隔はw m である。従って、帯域幅は以下のように見積も
ることができる。
（3-47）
W ~ 2 n w m = 2 mf w m = 2 D w ．
3.3.5 FM 波の側波帯電力
（3-46）式は、
•
fFM (t) = AÂ Jn (mf ) cos(wc+n wm)t ，
-•
（3-46’）
であり、この信号の平均電力（二乗平均値）は次のようになる。
fFM(t) = A
2
2
2
•
J2n(mf) = A
Â
2
n= -•
2
．
（3-48）
ここで、n=0 は搬送波成分で、AM 方式の場合と同様に情報は含まれていない（3.2.4(iv)参照）。従っ
て、情報の伝送効率ηは、
26
通信方式
h=
(A2/2) 1-J02 (mf)
2
，
（3-49）
A /2
J0 (mf) = 0 となるように、変調指数 mfを選べばよ
で与えられる。ηを最大値（＝ 100％）にするには、
いことがわかる。
E43 図 34 のベッセル関数のグラフから、mf ＝ 2.405、5.52、･････のときη =100％になることを
確かめよ。
3.3.6 非線形変調と FM 波の複雑さ
AM 方式では、2つの異なる周波数の信号で変調したスペクトルは、個々の信号で独立に変調した場合
のスペクトルの単純な和になる。すなわち、周波数移動において「線形性」が成り立つ。それでは、FM
方式の場合はどうであろうか？
3.3.4 " で行った取り扱いを、単一周波数から、２つの周波数成分をもっているものに拡張してみる。
f (t) = a1 cos wm1 t + a2 cos wm2 t ．
（3-50）
このとき、瞬時周波数w 1 は次のようになる。
w 1 = w c + k f f(t)
= w c + kf (a1 cos w m1 t + a2 cos w m2 t)．
（3-51）
従って、
t
w i dt
q (t) =
-•
= w c t + m f1 sin w m 1 t + m f2 sin w m 2 t ，（3-52）
ここで、mf1 = a1kf 、 mf2 = a2kf である。従って、複素 FM 波は（3-42）式と同様に次のようになる。
wm1
wm2
fFM (t) = A • ej(wct + mf1• sin wm1t + mf2• sin wm2t ) ．
（3-53）
指数部第２項、第３項がそれぞれ周期関数であるので、
（3-44）式のように、それぞれ Bessel 関数を係
数にもつフーリエ級数に展開できる。
•
fFM (t) = A • ejwt Â F n • ejnw m1t
-•
•
Â F k • ejkwm2t
-•
fFM (t) = Re fFM (t)
•
=A Â
•
Â Fn Fk cos ( w c + nw m1 + kw m2 )t
-• -•
．（3-54）
E44 （3-54）式は、単一周波数で変調した場合のスペクトルの単なる和ではなく、２つの信号の周波
数が混合（例えば、和周波数w m 1 + w m 2 、あるいは差周波数w m 1 - w m 2 ）された成分も含んだ形になって
いることを確認せよ。（周波数の混合→非線形変調）
E45 ＡＭ方式では、スペクトルに重ねの理が成り立つことを確かめよ。
27
通信方式
3.3.7 ＦＭ信号の発生
! FM 波間接発生方式
変調指数の小さな、言い換えれば狭帯域 FM 波は、図 31 に示したように、平衡変調器を用いて発生
できる。狭帯域 FM は波をベースに、周波数逓倍をくり返すことによって、変調指数を大きくして
いく方法を、アームストロングの間接 FM 方式と呼ぶ。図 36 に、この方法を模式的に示す。
E46 周波数逓倍することによって、変調指数が大きくなることを確認せよ。
図36　アームストロングの間接FM方式。
" FM 波直接発生方式
入力信号に対して、直接 FM 信号を発生するための回路
は、図 37 に示した LC 同調発振器の、C または L が電圧ま
たは電流に対して変化させる。可変容量ダイオードを C と
して用い留のが一般的である。また、FET を用いて可変リ
アクタンス回路を構成したり、マルチバイブレータの発振
図37　LC同調発振器
周波数を入力電圧により変化させる回路も用いられる。こ
れらは、電圧制御形発振器（VCO）として直接 FM 波を発生する。
3.3.8 FM 信号の復調
FM 方式の基本（式(3-30a)）に立ち返れば、信号を
復元するには瞬時周波数を検出し、それに比例した
出力を出す回路があればよい。この働きをする検波
器を、周波数弁別器（frequency discriminator）と呼
ぶ。
理想的な周波数弁別器は次の特性を備えている。
eo ∼ wi ，
（3-55）
最も単純な回路は、図 38 に示したように、伝達特性
図38　傾斜検波器
が周波数に右上がりになった回路（傾斜検波器）で
ある。これは一種の微分回路である。従って、FM 波の時間微分を考えると、
t
fFM = A cos [ w ct + kf
f(t) dt ]
-•
t
dfFM = - A [ w +k f(t) ]
• sin [ w c t + kf
c
f
dt
f(t) dt ] ，
-•
28
（3-56）
通信方式
（3-56）式は、大電力搬送波を含む AM 波
の形になっている。その包絡線は、DC
分（A w c）と信号に比例した成分 kf f (t)
から成っている。従って、これを包絡線
検波すれば、復調が完了する。
さて、単純な CR による微分回路では、
図38に示したように、高帯域では周波数
弁別の線形性はよくない。これを改善す
るためには、図 39 に示すような、お互い
に若干離調した同調回路を相補的に組み
合わせるとよい。代表的な回路に、フォ
スターシーリーの回路がある。
図39　高帯域周波数弁別回路と
フォスターシーリの復調回路
3．4 アナログ変調と雑音
3.4.1 帯域通過雑音
変調信号は伝送の途中に各種雑音の影響を受ける。一般に、雑音にはあらゆる周波数成分が含まれて
いる。既にみたように、AM 波は DSB の場合、搬送周波数 wc を中心として信号の最大周波数成分の
2 倍 2wm の帯域、SSB においては wc の上下いずれかの wm 帯域を使って伝送される。一方、FM 波は
wc を中心として最大周波数偏移の約 2 倍（ 2Dw ）が伝送帯域となる。すなわち、変調後の信号のスペ
クトルはある帯域内に限られているといってよい。
従って、受信機では、その入口において変調信号
の帯域幅に一致する帯域通過フィルタをおき、不
要な成分は取り除く。雑音も変調信号の帯域の外
側の成分は取り除かれるので、
「帯域通過雑音」と
なる。そこで DSB を想定し、帯域通過雑音 n (t)
[ wc - wm , wc + wm ]の性質について考えてみる。
2 cos w c t
cos w c t
[ 0, w m ]
nc(t )
n (t )
n (t )
S
[ 0, w m ]
まず、帯域通過雑音は、
（3-57）式のように、振幅
の揺らいだ２つの直交した搬送正弦波の和の形で
表すことができる。
n (t) = nc (t) cos w ct + ns (t) sin w ct ,
（3-57）
ここで、nc (t)およびns (t) は図40で示したように、伝送帯域
29
ns (t )
2 sin w c t
sin w c t
図40　帯域通過雑音とベースバンド
揺らぎ成分への分解。

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