No.6 問題略解 0 1 0 1 1 1 1 3 1 1 @ 1 A, √ @4A, √ @−2A. A6-2. 曲面 (f (u) cos v, f (u) sin v, g(u)) の曲率は,計算す A6-1. 42 14 −1 5 1 g (f g − f g ) (f 2 + g 2 )g + f (f g − f g ) ると,K = ,H = になる.特に,f 2 + g 2 = 1 のとき 3 f (f 2 + g 2 )2 2(f 2 + g 2 ) 2 f √ 1 − e−2u e−u g f f − √ は,K = − f , H = 2f − 2g が成り立つ.(1) K = −1 (2) H = −u 2e 2 1 − e−2u e = c2 E, Fe = c2 F , G e = c2 G, L e = cL, M f = cM , N e = CN より, e(u, v) = cp(u, v) とすると,E A6-3. p e = K/c2 , H e = H/c K 0 1 0 1 − sin u cos v − sin v g f A6-4. A6-2 と同様にして,H = − = 0.A6-5. (1) e1 = @ − sin u sin v A, e2 = @ cos v A, 2f 2g cos u 0 0 1 − cos u cos v e3 = @ − cos u sin v A. (2) θ1 = adu, θ2 = a cos udv. (3) ω11 = ω22 = ω33 = 0, ω12 = −ω21 = − sin u „ « 1 1/a 0 − sin u dv, ω13 = −ω31 = du, ω32 = −ω23 = − cos u dv. (4) B = . (5) 主曲率 κ = 0 1/a a 1 1 0 1 0 0 − cos u cos v − sin v − sin u cos v 1 1 (重根),K = 2 , H = . B6-6. (1) e1 = @ − sin u sin v A, e2 = @ cos v A, e3 = @ − cos u sin v A. a a − sin u 0 cos u 1 2 (2) θ = du, θ = (3 + cos u)dv. (3)„ω11 = ω22 = ω33 = 0, « ω12 = −ω21 = − sin u dv, ω13 = −ω31 = du. cos u 1 0 . (5) 主曲率 κ = 1, ω32 = −ω23 = − cos u dv. (4) B = . K = 0 cos u/(3 + cos u) 3 + cos u cos u 3 + 2 cos u ,H= . 3 + cos u 2(3 + cos u) √1 3 0 No.7 問題略解 B7-1. (1) 略.(2) (a) (1 + 2xy)dx + (x2 + 5y 4 )dy. (b) {y sin(xy) − x cos(xy)}dx ∧ dy. (c) 0. (3) 略. B7-2. (1) α1 ∧α1 = 0, α1 ∧α2 = {(xy+z 2 )(2xy−2xz−y 2 )−(yz−x2 )y 2 +(z 2 −xy)(2x2 +z 2 )}dx∧dy∧dz (2) dα0 = (y 2 + 2xz)dx + (2xy − z 2 )dy + (−2yz + x2 )dz, dα1 = −3x (x + y) dy ∧ dz, „ dx ∧ dz − « „ dx ∧ dy −«(y + 2z) 1 3 2 3 2 2 x + xz dy + xy − y dz (他にも取り方がある) (3) β = 3 3 A7-3. 0 1 0 1 0 1 0 1 cos u − sin u 0 sin u (1) p = @ sin u A により,pu = @ cos u A = e1 , pv = @0A = e2 , e3 = e1 × e2 = @cos uA . v 0 1 0 (2) dp = pu du + pv dv = e1 du + e2 dv により,θ1 = du, θ2 = dv. (3) まず ω11 = ω22 = ω33 = 0 である. 0 1 − cos u 次に de1 = @ − sin u A du = −du e3 により,ω12 = −ω21 = 0, ω13 = −ω31 = −du. 0 最後に,de2 = 0 により,ω23 = −ω32 = 0. (4) p (s) = pu u = pv v = u e1 + v e2 により,ξ 1 = u , ξ 2 = v . (5) ( dξ1 ds dξ2 ds ω1 + ξ 2 ds2 = 0 ⇔ ω2 + ξ 1 ds1 = 0 ( u =0 v =0 であり,解は ( u = as + b v = cs + d (a, b, c, d は定数). s は弧長パラメータなので,|p (s)| = 1 により,a2 + b2 = 1. (採点の際には,これがなくても正解 としてよい.) (6) 図は省略.上記の解で,a, c = 0 ならば,小林昭七先生の教科書 p111 図 5-5 のようなつるまき線. a = 0 かつ c = 0 なら,直円柱を水平に切ってできる円,a = 0 かつ c = 0 ならば母線,つまり z 軸と平行な直線. B7-4. (1) (??) を変数分離すると, v sin u =2 u v cos u ⇔ ⇔ ⇔ d(v ) sin u =2 du v cos u log |v | = −2 log | cos u| + C1 C2 . v = cos2 u u(0) = 0, v (0) = 0 を代入すると,C2 = 0 である. よって v = 0 より,v = C3 となるが,v(0) = 0 であるので,v(s) = 0 である. (2) これを (??) に代入すると,u = 0 なので,u = C4 s + C5 . 初期条件 u(0) = 0, u (0) = 1 により, u(s) = s である. (3) 図は省略.原点を中心とする半径 1 の球面の図と,この球面と xz-平面の交わりの円が描かれてい ればよい.
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