No.6 問題略解
0 1
0 1
1
1
1
3
1
1
@ 1 A, √ @4A, √ @−2A. A6-2. 曲面 (f (u) cos v, f (u) sin v, g(u)) の曲率は，計算す
A6-1.
42
14
−1
5
1
g (f g − f g )
(f 2 + g 2 )g + f (f g − f g )
ると，K =
,H =
になる．特に，f 2 + g 2 = 1 のとき
3
f (f 2 + g 2 )2
2(f 2 + g 2 ) 2 f
√
1 − e−2u
e−u
g
f
f
− √
は，K = − f , H = 2f − 2g が成り立つ．(1) K = −1 (2) H =
−u
2e
2 1 − e−2u
e = c2 E, Fe = c2 F , G
e = c2 G, L
e = cL, M
f = cM , N
e = CN より，
e(u, v) = cp(u, v) とすると，E
A6-3. p
e = K/c2 , H
e = H/c
K
0
1
0
1
− sin u cos v
− sin v
g
f
A6-4. A6-2 と同様にして，H =
−
= 0．A6-5. (1) e1 = @ − sin u sin v A, e2 = @ cos v A,
2f
2g
cos u
0
0
1
− cos u cos v
e3 = @ − cos u sin v A.
(2) θ1 = adu, θ2 = a cos udv.
(3) ω11 = ω22 = ω33 = 0, ω12 = −ω21 =
− sin u
„
«
1
1/a
0
− sin u dv, ω13 = −ω31 = du, ω32 = −ω23 = − cos u dv.
(4) B =
.
(5) 主曲率 κ =
0
1/a
a
1
1
0
1
0
0
− cos u cos v
− sin v
− sin u cos v
1
1
（重根），K = 2 , H = . B6-6. (1) e1 = @ − sin u sin v A, e2 = @ cos v A, e3 = @ − cos u sin v A.
a
a
− sin u
0
cos u
1
2
(2) θ = du, θ = (3 + cos u)dv.
(3)„ω11 = ω22 = ω33 = 0, «
ω12 = −ω21 = − sin u dv, ω13 = −ω31 = du.
cos u
1
0
.
(5) 主曲率 κ = 1,
ω32 = −ω23 = − cos u dv.
(4) B =
. K =
0 cos u/(3 + cos u)
3 + cos u
cos u
3 + 2 cos u
,H=
.
3 + cos u
2(3 + cos u)
√1
3
0
No.7 問題略解
B7-1. (1) 略．(2) (a) (1 + 2xy)dx + (x2 + 5y 4 )dy. (b) {y sin(xy) − x cos(xy)}dx ∧ dy. (c) 0. (3) 略．
B7-2. (1) α1 ∧α1 = 0, α1 ∧α2 = {(xy+z 2 )(2xy−2xz−y 2 )−(yz−x2 )y 2 +(z 2 −xy)(2x2 +z 2 )}dx∧dy∧dz
(2) dα0 = (y 2 + 2xz)dx + (2xy − z 2 )dy + (−2yz + x2 )dz,
dα1 = −3x
(x + y) dy ∧ dz,
„ dx ∧ dz − «
„ dx ∧ dy −«(y + 2z)
1 3
2 3
2
2
x + xz
dy + xy − y
dz （他にも取り方がある）
(3) β =
3
3
A7-3.
0
1
0
1
0 1
0
1
cos u
− sin u
0
sin u
(1) p = @ sin u A により，pu = @ cos u A = e1 , pv = @0A = e2 , e3 = e1 × e2 = @cos uA .
v
0
1
0
(2) dp = pu du + pv dv = e1 du + e2 dv により，θ1 = du, θ2 = dv.
(3) まず ω11 = ω22 = ω33 = 0 である．
0
1
− cos u
次に de1 = @ − sin u A du = −du e3 により，ω12 = −ω21 = 0, ω13 = −ω31 = −du.
0
最後に，de2 = 0 により，ω23 = −ω32 = 0.
(4) p (s) = pu u = pv v = u e1 + v e2 により，ξ 1 = u , ξ 2 = v .
(5)
(
dξ1
ds
dξ2
ds
ω1
+ ξ 2 ds2 = 0
⇔
ω2
+ ξ 1 ds1 = 0
(
u =0
v =0
であり，解は
(
u = as + b
v = cs + d
(a, b, c, d は定数).
s は弧長パラメータなので，|p (s)| = 1 により，a2 + b2 = 1. (採点の際には，これがなくても正解
としてよい．)
(6) 図は省略．上記の解で，a, c = 0 ならば，小林昭七先生の教科書 p111 図 5-5 のようなつるまき線．
a = 0 かつ c = 0 なら，直円柱を水平に切ってできる円，a = 0 かつ c = 0 ならば母線，つまり z
軸と平行な直線．
B7-4.
(1) (??) を変数分離すると，
v
sin u
=2
u
v
cos u
⇔
⇔
⇔
d(v )
sin u
=2
du
v
cos u
log |v | = −2 log | cos u| + C1
C2
.
v =
cos2 u
u(0) = 0, v (0) = 0 を代入すると，C2 = 0 である．
よって v = 0 より，v = C3 となるが，v(0) = 0 であるので，v(s) = 0 である．
(2) これを (??) に代入すると，u = 0 なので，u = C4 s + C5 . 初期条件 u(0) = 0, u (0) = 1 により，
u(s) = s である．
(3) 図は省略．原点を中心とする半径 1 の球面の図と，この球面と xz-平面の交わりの円が描かれてい
ればよい．
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