n次元での極座標変換

n 次元での極座標変換
n 次元極座標変換 (n ≥ 3) も，3 次元極座標と同様の考え方で導入できる．n 次元の場合は，n − 1
次元の極座標表示が定義できているとして，そこから n 次元の極座標表示を与える，と考える．よ
り正確には，n − 1 次元の極座標変換 (x1 , . . . , xn−1 ) = Φn−1 (r, θ1 , . . . , θn−2 ) が与えられているとし
( n−1 )1/2
∑
て (ここでの r は Rn−1 での原点からの距離，すなわち r =
x2i
を表す)，n 次元極座標変換
i=1
Φn (r, θ1 , . . . , θn−1 ) を以下のように定義する．
まず，x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn に対して，r :=
(
n
∑
)1/2
x2i
とおく．さらに，θn−1 := arcsin
i=1
(x )
n
r
と
おく (θn−1 ∈ [−π/2, π/2] に注意)．このとき，xn = r sin θn−1 ．さらに，
( n−1
∑
)1/2
x2i
=
√
r2 − r2 sin2 θn−1 = r cos θn−1 .
i=1
従って，(x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn−1 は，Φn−1 を用いて
(x1 , . . . , xn−1 ) = Φn−1 (r cos θn−1 , θ1 , . . . , θn−2 )
と表すことができる．このとき，
Φn (r, θ1 , . . . , θn−2 , θn−1 ) := (Φn−1 (r cos θn−1 , θ1 , . . . , θn−2 ), r sin θn−1 )
として，n 次元曲座標変換 Φn が定まる．
実際，2 次元の極座標変換 Φ2 (r, θ1 ) = (r cos θ1 , r sin θ1 ) を，上で得た式で n = 3 として代入すると，
Φ3 (r, θ1 , θ2 ) = (Φ2 (r cos θ2 , θ1 ), r sin θ2 ) = (r cos θ1 cos θ2 , r sin θ1 cos θ2 , r sin θ2 )
となり，確かに 3 次元極座標が得られている．前述の作り方から，n 次元極座標変換において，r ≥ 0,
θ1 ∈ [0, 2π], θ2 , . . . , θn−1 ∈ [−π/2, π/2] となることを注意しておく (r, θ1 の範囲は 2 次元極座標で定
まっており，前述の n 次元極座標の構成において θn−1 ∈ [−π/2, π/2] としていることによる)．なお，
このようなパラメータの与え方だと，Φn は 1 対 1 の写像にはならない．しかし，2 次元極座標変換の
ときと同様に，適切な n 次元体積 0 の集合を定義域から除けば 1 対 1 の変換となる．
Φn について，もう少し具体的な表記も求めておこう．Φn (r, θ1 , . . . , θn−1 ) = (x1 , . . . , xn ) とした
とき，
(
)
n−1
∏
x1 = r cos θ1 cos θ2 · · · cos θn−1 = r
cos θk ,
(
xj = r sin θj−1 cos θj · · · cos θn−1
k=1
= r sin θj−1
n−1
∏
)
(j = 2, . . . , n − 1),
cos θk
k=j
xn = r sin θn−1
n
∏
∏ ∑
となることが，帰納法で示せる ( は
に対応する積の記号で， ai で，a1 から an までを全て掛
i=1
けたものを表す)．
1
∵ n = 3 のとき正しいことは，前述の 3 次元極座標の表示からも明らか．n = m で正しいとして，
n = m + 1 のとき示す．Φm+1 (r, θ1 , . . . , θm ) = (x1 , . . . , xm+1 ) とおくと，
(x1 , . . . , xm+1 ) = (Φm (r cos θm , θ1 , . . . , θm−1 ), r sin θm )
だから，帰納法の仮定から，
x1 = r cos θm
m−1
∏
cos θk = r
k=1
xj = r cos θm sin θj−1
m
∏
cos θk ,
k=1
m−1
∏
cos θk = r sin θj−1
k=j
m
∏
cos θk
(j = 2, . . . , m − 1),
k=j
xm = r cos θm sin θm−1 = r sin θm−1
m−1
∏
cos θk ,
k=m−1
xm+1 = r sin θm
となる．よって n = m + 1 でも成り立つ．
次に，変数変換公式で n 次元極座標変換が使えるように，Jacobian を計算する．まず，
Ψ1 (y1 , y2 , . . . , yn−1 , yn ) = (y1 cos yn , y2 , . . . , yn−1 , y1 sin yn ),
Ψ2 (z1 , z2 , . . . , zn−1 , zn ) = (Φn−1 (z1 , . . . , zn−1 ), zn )
とおくと，Φn = Ψ2 ◦ Ψ1 となることが分かる．実際，計算してみると，以下のようになる：
Ψ2 ◦ Ψ1 (r, θ1 , . . . , θn−1 ) = Ψ2 (r cos θn−1 , θ1 , . . . , θn−2 , r sin θn−1 )
= (Φn−1 (r cos θn−1 , θ1 , . . . , θn−2 ), r sin θn−1 )
= Φn (r, θ1 , . . . , θn−1 )
ここで，変換 f の Jacobi 行列を Df と表すことにすると，合成変換に関する微分の公式から
DΦn (r, θ1 , . . . , θn−1 ) = DΨ2 (Ψ1 (r, θ1 , . . . , θn−1 )) · DΨ1 (r, θ1 , . . . , θn−1 )
となる (右辺の · は行列の掛け算)．よって，両辺の行列式を取ると，
JΦn (r, θ1 , . . . , θn−1 ) = JΨ2 (Ψ1 (r, θ1 , . . . , θn−1 ))JΨ1 (r, θ1 , . . . , θn−1 )
を得る．JΦn を知るために，JΨ2 と JΨ1 を計算する．まず，

cos θn−1 0 · · ·

0
1


.
...

..
DΨ1 (r, θ1 , . . . , θn−1 ) = 

0
0

sin θn−1 0 · · ·

0 −r sin θn−1

0
0


..

.


1
0

0 r cos θn−1
なので，JΨ1 (r, θ1 , . . . , θn−1 ) = r cos2 θn−1 − (−r sin2 θn−1 ) = r となる．また，
(
)
DΦn−1 (z1 , . . . , zn−1 ) 0
DΨ2 (z1 , . . . , zn ) =
0
1
2
なので，
JΨ2 (Ψ1 (r, θ1 , . . . , θn−1 )) = JΦn−1 (r cos θn−1 , θ2 , . . . , θn−2 )
となる．よって，
JΦn (r, θ1 , . . . , θn−1 ) = rJΦn−1 (r cos θn−1 , θ2 , . . . , θn−1 )
を得る．この漸化式から帰納的に
JΦn (r, θ1 , . . . , θn−1 ) = rn−1 cosn−2 θn−1 cosn−3 θn−2 · · · cos θ2 = rn−1
n−1
∏
cosk−1 θk
k=2
を得る．実際，JΦ2 (r, θ1 ) = r なので，JΦ3 (r, θ1 , θ2 ) = r2 cos θ2 ．また，JΦn (r, θ1 , . . . , θn−1 ) が上記の
形で与えられたとすると，
JΦn+1 (r, θ1 , . . . , θn−1 , θn ) = rJΦn (r cos θn , θ1 , . . . , θn−1 )
= r · (r cos θn )
n−1
n−1
∏
cosk−1 θk
k=2
= rn
n
∏
cosk−1 θk
k=2
となり，JΦn+1 (r, θ1 , . . . , θn ) も同様の式をみたす．なお，r ≥ 0 および θ2 , . . . , θn−1 ∈ [−π/2, π/2] で
あるから，JΦn (r, θ1 , . . . , θn−1 ) ≥ 0 かつ
JΦn (r, θ1 , . . . , θn−1 ) = 0 ⇔ r = 0, または，ある k ∈ {1, . . . , n − 1} で |θk | =
π
2
となることも分かる．変数変換公式では Jacobian の絶対値を取るが，ここでは JΦn ≥ 0 なので，絶
対値ともとの値は一致する．また，JΦn (r, θ1 , . . . , θn−1 ) = 0 となるような (t, θ1 , . . . , θn−1 ) の集合は，
n 次元体積 0 になることも分かる．
3

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