応用解析学（電子2年）第8講前回復習

応用解析学（電子２年）
第８講
• 一般化スターリングの公式
• ベータ関数
• 線形２階偏微分方程式（熱伝導方程式）
• 中間レポート（前半模擬テスト）出題→第 11 講で解答を採点＆回収
前回復習
∞
１＞ Γ(x + 1) =
0
e−t tx dt = − e−t tx
∞
t=0
∞
+
e−t xtx−1 dt = xΓ(x)
0
２＞ n が非負整数の場合， Γ(n + 1) = n! を数学的帰納法で証明せよ．
∞
– これは，
「n = 0 の時は成り立つ」．なぜなら，Γ(1) =
e−t dt = 1．
0
– 「n = k−1 の時に成り立つことを仮定すると，n = k の時にも成り立つ」．
なぜなら，任意の正数 x で，Γ(x + 1) = xΓ(x) なので，Γ(k) = (k − 1)!
を仮定すると，Γ(k + 1) = kΓ(k) = k(k − 1)! = k!．
2
３＞ f (x) = e−x の自己畳み込み (f ∗ f )(x) =
def
∞
def
f (x − y)f (y)dy を計算して直
∞
√
f (x)dx = π ．
接的な表現にせよ．さらに，それを (−∞, ∞) で積分せよ．
−∞
−∞
∞
(f ∗ f )(x) =
−∞
2
2
e−(x−y) e−y dy =
∞
2
− x2
= e
−∞
√
−( 2y− √x )2
e
2
∞
x2
−∞
x2
2
e− 2 e−( 2 −2xy+2y ) dy
2
− x2
dy = e
∞
−∞
2
e−z
√ dz =
2
π − x2
e 2
2
次に，これを正直に積分すると，
∞
−∞
π
2
(f ∗ f )(x)dx =
∞
−∞
x2
e− 2 dx =
π
2
∞
−∞
e−z
2
√
π √
× 2π = π
2
2 dz =
一方，この積分は元の定義から積分順序の交換によって直接計算することもで
きる．以下の計算の正当性は厳密には Fubini の定理によって保証される．
∞
−∞
(f ∗ f )(x)dx =
∞
∞
−∞
∞
−∞
f (x − y)f (y)dy dx =
∞
f (y)
f (x − y)dx dy =
−∞
−∞
√
√
=
π× π=π
=
４＞
∞
−∞
|f (x)|dx < ∞,
∞
−∞
∞
∞
−∞
∞
−∞
−∞
f (y)
f (x − y)f (y)dx dy
∞
−∞
f (z)dz dy
|g(x)|dx < ∞ の時，以下の性質を示せ．
1
• 交換則 (f ∗ g)(x) = (g ∗ f )(x)：
∞
−∞
f (x − y)g(y)dy =
−∞
∞
∞
f (z)g(x − z)(−1)dz =
−∞
f (z)g(x − z)dz
• 分配則 (f ∗ (g + h))(x) = (f ∗ g)(x) + (f ∗ h)(x)：
∞
−∞
f (x − y)(g(y) + h(y))dy =
∞
−∞
f (x − y)g(y)dy +
∞
−∞
f (x − y)h(y)dy
• 結合則 ((f ∗ g) ∗ h)(x) = (f ∗ (g ∗ h))(x)：
∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
−∞
f ((x − z) − y)g(y)dy h(z)dz =
f ((x − v)g(v − z)dv h(z)dz =
∞
−∞
∞
f (x − v)
−∞
g(v − z)h(z)dz dv
d
(f ∗ g)(x) = (f ∗ g)(x) = (f ∗ g )(x)
dx ∞
∞
ただし，
|f (x)|dx < ∞,
|g (x)|dx < ∞，かつ，f , g が有界の場合．
• 微分：
−∞
−∞
def
d
(f ∗ g) = f ∗ g は，
dx
∞
∂
K(x, y)dy =
f (x − y)g(y)dy
∂x
−∞
K(x, y) = f (x − y)g(y) と置く．
d
dx
∞
−∞
K(x, y)dy =
∞
−∞
13. ガンマ関数の漸近表現（スターリングの公式）
✓
✏
ガンマ関数の無限遠での漸近的振る舞いを表わす「一般化スターリングの公式」
：
∞
Γ(x + 1) =
0
この意味は，
√
e−t tx dt ∼ xx e−x 2πx
√
Γ(x + 1)
√
→
2π
xx e−x x
✒
n
n
√
(自然数の場合，n! ∼ nn e−n 2πn)
(x → ∞) である．
✑
n2
x
x
既に，e
n!
n
e (n → ∞) は知ってるので，e
Γ(x + 1)
x (x →
√
x
x −x
x
∞) は類推できる．スターリングの公式は，この e と x の中間にある，x e
2πx
という量（関数）と Γ 関数とが増大の速度という点で一致する，ことを示している．
√
1
t − x dv
=√
t に関する積分において，t = xv + x, v = √ ,
の変数変換（t ⇔
x dt
x
v ）を行うと，
∞
∞
√
√
√
Γ(x + 1) =
e−t tx dt = √ e−x− xv (x + xv)x xdv
− x
0
x −x
= x e
√
x
√
= xx e−x x
∞
√
− x
∞
√
− x
√
− xv
e
v
1+ √
x
√
−v x+x log(1+ √vx )
e
2
x
dv
dv
つまり，
Γ(x + 1)
√ =
xx e−x x
∞
√
− x
e−v
√
√
x+x log(1+v/ x)
∞
lim
√
x→∞ − x
e−v
√
dv ．よって，示したいことは：
√
x+x log(1+v/ x)
dv =
√
2π
∞
√
√
v2
v2
v
要点は，(i) −v x + x log(1 + √ ) → − (x → ∞)，(ii)
e− 2 dv = 2π ，
x
2
−∞
及び (iii) 極限と積分の順序交換である．(i) は対数関数の Taylor 展開，(ii) はガウ
スの積分，(iii) はルベーグの収束定理から導かれる．
以下，厳密に調べよう．
√
√
√
e−v x+x log(1+v/ x) v > − x
def
√
f (x, v) =
0
v≤− x
h(v) = e−v
def
2 /2
とする．示したいことは，以下の２つである．
lim f (x, v) = h(v)
lim
x→∞
∞
x→∞ −∞
∞
f (x, v)dv =
(−∞ < v < ∞)
lim f (x, v)dv
(1)
(2)
−∞ x→∞
• 式 (1) を示す．log(1 + y) の Taylor 展開より，−1 < y ≤ 1 で，
log(1 + y) =
∞
(−1)k−1
k=1
y2 y3
yk
=y−
+
− ...
k
2
3
v を固定して，v 2 < x の範囲の x を考えると，−1 < √vx < 1．よって，
√
√
log f (x, v) = −v x + x log(1 + v/ x)
√
v2
v3
v
+ √ − ...
= −v x + x √ −
x 2x 3x x
2
3
v
v
= − + √ −...
2
3 x
の等式が成立（テーラー級数が収束）し，任意の v に対して，x → ∞ の時，
f (x, v) = elog f (x,v) → e−v
2 /2
= h(v) (x → ∞)
参考：極限と積分の順序交換について
• 式 (2) を示す．この収束を保証する十分条件として，Lebesgue の定理を用い
るためには，ある適当な値 a をとった時に，|f (x, v)| ≤ g(v) for x > a で，
かつ可積分な g(v) が存在すればよい．そこで，a = 1 として，
def
g(v) =
limx→∞ f (x, v) = h(v) = e−v
f (1, v) = e−v (1 + v)
と置くと，
3
2 /2
(v ≤ 0)
(v ≥ 0)
–
∞
−∞
√
g(v)dv < ∞．かつ，0 ≤ f (x, v) ≤ g(v) (x > 1, v > − x)
を言えばよい．前者は明らか．
0
−∞
π
< ∞,
2
h(v)dv =
∞
∞
f (1, v)dv =
0
0
e−v (1 + v)dv < ∞
後者は，f (x, v) が以下の性質を満すことを示せばよい．実際，f (x, v) のグ
√
√
ラフは（ただし，0 < x ≤ 5, − 2 ≤ v ≤ 2 ），次のようになる．
exp(-y*sqrt(x)+x*log(1+y/sqrt(x)))
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
X
3
-1
4
0
-0.5
1
0.5
V
5
1. v ≤ 0 では f (x, v) ≤ f (∞, v) (x > 1) となるためには， x に関して増加．
√
∂
つまり， f (x, v) ≥ 0 (− x < v ≤ 0, x > 0) ．これは，f (x, v) > 0 よ
∂x
り，以下の性質に置換えても等価である．
∂
f (x, v)
∂x
f (x, v)
=
∂
log f (x, v) ≥ 0
∂x
2. v ≥ 0 では f (x, v) ≤ f (1, v) (x > 1) となるためには，x に関して減少．
つまり，同様に，以下の性質に置換えても等価である．
∂
log f (x, v) ≤ 0
∂x
∂
log f (x, v) が v に関して単調減少し，v = 0 では 0 にな
∂x
ることから導ける．つまり以下の２つの式を証明すればよい．
この 1, と 2. は，
∂
log f (x, 0) = 0
∂x
∂ ∂
log f (x, v) ≤ 0
∂v ∂x
x>0
(3)
√
v > − x, x > 0
(4)
• 式 (3) は，f (x, 0) = e0 = 1 より自明．式 (4) を以下に示す．
4
√
√
v
log f (x, v) = −v x + x log 1 + √
は，v > − x, x > 0 の範囲では２階導関
x
数が連続になり，よって偏微分する変数の順序を交換できる（全微分可能）ので，
√
−v 2
∂ ∂
∂
∂ ∂
− xv
√
= √ √
≤0
log f (x, v) =
log f (x, v) =
∂v ∂x
∂x ∂v
∂x
x+v
2 x( x + v)2
14. ベータ関数
２変数 p, q （正の実数）の関数としてのベータ関数を定義する．
1
def
B(p, q) =
0
tp−1 (1 − t)q−1 dt p > 0, q > 0
ガンマ関数やベータ関数は，特殊関数 (Special Functions) と呼ばれ，初等関数
の組み合わせでは表現（計算）できず，積分や級数の形で表現される．
✓
✏
π/2
1. B(p, q) = 2
cos2p−1 θ sin2q−1 θdθ ．
0
Γ(p)Γ(q)
2. B(p, q) =
．
Γ(p + q)
✒
p
B(p, q) ．また，2. は，m, n が自然数の場合の，
2. から B(p + 1, q) =
p+q
1
m!n!
xm (1 − x)n dx =
に対応する．
(m + n + 1)!
0
dt
= −2 cos θ sin θ より，
dθ
π/2
0 tp (1 − t)q
−1/2
cos2p−1 θ sin2q−1 θdθ =
dt
cos θ sin θ
0
1 cos θ sin θ
1
1 1 p−1
t (1 − t)q−1 dt = B(p, q)
=
2 0
2
• 1. の証明は，cos2 θ = t と変数変換し，
• 2. の証明は，Γ(p) =
∞
∞
e−t tp−1 dt = 2
0
2
e−u u2p−1 du として，ガウスの積
0
分の計算技法を思い出すと，
∞
Γ(p)Γ(q) = 4
∞
2
e−u u2p−1 du
0
2
e−v v 2q−1 dv
0
−(u2 +v2 ) 2p−1 2q−1
= 4
e
u
v
dudv
0≤u,0≤v
= 4
2
r≥0,0≤θ≤π/2
∞
= 4
0
π/2
e−r r 2(p+q)−1 cos2p−1 θ sin2q−1 θdrdθ
2
e−r r 2(p+q)−1 cos2p−1 θ sin2q−1 θdθ dr
0
∞
= 4
π/2
2
e−r r 2(p+q)−1 dr
0
0
5
cos2p−1 θ sin2q−1 θdθ
✑
∞
さらに，r 2 = t の変数変換により，
2
e−r r 2(p+q)−1 dr =
0
✞
1
Γ(p + q)
2
☎
応用 ✆
✝
)Γ( n+1
)
1 Γ( m+1
2
2
cos θ sin θdθ =
．ただし，m, n は非負整数．
m+n
2 Γ( 2 + 1)
π/2
＜１＞
m
0
n
π/2
ベータ関数の性質：
0
π/2
def
Sm,n =
1 Γ(p)Γ(q)
1
cos2p−1 θ sin2q−1 θdθ = B(p, q) =
より，
2
2 Γ(p + q)
cosm θ sinn θdθ =
0
)Γ( n+1
)
1 Γ( m+1
2
2
m+n
2 Γ( 2 + 1)
(2k)! √
1
ここで， Γ(k + ) =
π （k は自然数）を使って，m, n の偶数／奇数で場
2
k!22k
合分けし，直接計算可能な形に直すと，r, s = 1, 2, . . . に対して，
1 (r − 1)!(s − 1)!
2 (r + s − 1)!
(r − 1)!(2s)!(r + s)!22r−1
1 (r − 1)!Γ(s + 1/2)
=
=
2 Γ(r + s + 1/2)
s!(2(r + s))!
(s − 1)!(2r)!(r + s)!22s−1
1 Γ(r + 1/2)(s − 1)!
=
=
2 Γ(r + s + 1/2)
r!(2(r + s))!
(2r)!(2s)!π
1 Γ(r + 1/2)Γ(s + 1/2)
=
=
2
Γ(r + s + 1)
(r + s)!r!s!22(r+s)+1
S2r−1,2s−1 =
S2r−1,2s
S2r,2s−1
S2r,2s
例えば，
•
π
2
cos3 θ sin3 θdθ =
0
π
2
1
1 1!1!
= ,
2 3!
12
＜２＞実数 a < b に対して，
b
a
cos6 θ sin4 θdθ =
0
6!4!
π
5!3!4!211
(x − a)p−1 (b − x)q−1 dx = (b − a)p+q−1
1
これを利用すると，例えば，
−1
(1 + x)n (1 − x)n dx = 22n+1
Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)
(n!)2
(2n + 1)!
が計算できる（後日，ルジャンドル多項式で使う）
a < x < b で，
b
a
1
x−a
b − x dt
= t と置けば，0 < t < 1, 1 − t =
,
=
より
b−a
b − a dx
b−a
(x − a)p−1 (b − x)q−1 dx = (b − a)p+q−2
1
0
tp−1 (1 − t)q−1 (b − a)dt
= (b − a)p+q−1B(p, q) (p, q > 0)
6
15. 線形２階偏微分方程式
偏微分方程式 (Partial Diﬀerential Equation, PDE)
一般に，多変数の滑らかな関数の偏導関数間に成り立つ「局所的」関係を記述
する等式である（各点毎にその近傍で成り立つ）．特に物理的対象の状態の局所
的な空間的時間的変化を適当な近似の下でモデル化すると，これから見ていくよ
うに，線形２階偏微分方程式で記述でき，現象に応じた「決定条件」（初期値や境
界値と呼ばれるような）を与えると，方程式を満すような関数（各点での状態を
表わす）が大域的に一意に定まり，現象が一意に決定されることが知られている．
これらは，数理物理とか物理数学の名で，古くから研究されてきた．
このことは，どういう物理的状態・現象が起きるかを事前に計算によって予測
できることを意味する．例えば，
• 太鼓の膜の素材や張る面の大きや形に関する情報から，どんな音が出るかを
予測（計算）することができる．
「数学的」には，解がない場合や，いくつも解があり現象が一意に定まらない
場合がありうる．しかし，
「現実の問題」を正しくモデル化しているならば，その
ような事は起きないと期待できる．
一方，それを順問題と呼ぶならば，逆問題（既に起きている現象・状態が観測
できるとして，その状態関数がちょうど解となるような決定条件や元の偏微分方
程式の中の未知の係数などを決める）も研究されており，例えば，
• 太鼓の音を聴いて，膜の素材や張る面の形や大きさに関する情報を推理（計
算）することができる．
✞
☎
✝
✆
(1) 熱伝導方程式
x 軸に沿って置かれた細い針金の温度分布を考える．時刻 t 位置 x での温度を関
数 u(t, x) とする．ある微少時間区間 [t, t + δt] での，ある微少空間区間 [x, x + δx]
の熱の移動を考え，その端の点 (t, x) での温度の変化を記述する関係を導く．
参考：
• この場合，現象を支配する物理的な原理は
– ある区間への単位時間当の流入熱量＝両端での温度勾配の差×熱伝導率
∗ なぜなら，ある点での単位時間当の通過熱量＝温度勾配×熱伝導率．
– ある区間への単位時間当の流入熱量＝温度上昇×比熱×質量．
∗ なお，質量＝線密度×区間の長さ
以降，熱伝導率や比熱や密度が位置や時間で変化しないとする．
7
• 微少時間区間 [t, t + δt] において微少空間区間 [x, x + δx] へ，その左端及び
右端から流入する熱量 Q(t, x, δt, δx) を，C を針金の切口に対する熱伝導率
∂u
∂u
として，左から −C (t, x)δt と右から C (t, x + δx)δt との和で近似：
∂x
∂x
Q(t, x, δt, δx) = C
∂u
∂2u
∂u
(t, x + δx) −
(t, x) δt ≈ C 2 (t, x)δxδt(5)
∂x
∂x
∂x
δx
∂u
(t, x + )δt で近似で
∂t
2
き，それに必要な流入熱量は，比熱を g, 一次元密度を ρ とすると，
• 一方，その時の微少区間の中点での温度上昇は，
Q(t, x, δt, δx) ≈
δx
∂u
(t, x + )δtgρδx
∂t
2
(6)
✓
✏
以上の (5), (6) より，δt, δx → +0 の極限において，等式（熱伝導方程式）が
成り立つ
C ∂2u
∂u
(t, x) =
(t, x)
∂t
gρ ∂x2
✒
✑
実は，溶液などの濃度の拡散も同じような伝導方程式で記述できる．
• x 軸に沿って置かれた細い管の中での濃度を u(t, x)，拡散定数を k と置いて，
∂2u
∂u
(t, x) = k 2 (t, x)
∂t
∂x
• x 軸に沿って置かれた導線の電位を u(t, x)，単位長当りの電気容量を K ，導
C ∂2u
∂u
(t, x) =
(t, x)
線の切口に対する電気伝導率を C と置いて，
∂t
K ∂x2
物理では通常，３次元を扱う．一般に，n-変数の２階偏微分の和を微分作用素
（作用素：関数を別の関数へ写像する）とみて，ラプラシアンと呼ぶ：
def
Δ=
これを使い簡潔に書くと：
✞
n
∂2
2
i=1 ∂xi
∂u
(t, x, y, z) = a2 Δu(t, x, y, z) ．ただし，a は正の実数．
∂t
☎
練習 ✆
✝
1
任意の正定数 a，任意の定数 c に対して，関数 u(t, x) = t− 2 exp(−
(x − c)2
) は，
4a2 t
∂u
∂2u
(t, x) = a2 2 (t, x) を，0 < t, −∞ < x < ∞ の範囲で
∂t
∂x
満すことを計算によって示せ．t = 0 では定義されない点に注意．
一次元熱伝導方程式：
8

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