（2014/ 1/21 10:00 a.m. 締め切り） 1. f(z) = ˆ dz ˆ ∞ dz lim (z

工業数学 B1
（2014/ 1/21 10:00 a.m. 締め切り）
4 回目レポート
氏名
学籍番号
問 1.
1. f (z) =
eimz
におけるすべての極の位置とその位数を書け．また，その点における留数を求めよ．m は実
+ a2
z2
数とする．
2. 左図に示す半径 R の半円の弧の経路を C2 とおく．このとき，以下の積分が R → ∞ で 0 になることを示せ．
（ヒント：Jordan の補題は使わなくてよい．）
ˆ
eimz
dz
z 2 + a2
C2
3. 以下の積分を計算せよ．
ˆ
∞
−∞
解答
eimz
dz
z 2 + a2
1. z = ia と z = −ia において，1 位の極．
z = Reiθ とおく．
ˆ
z = ia の留数は，
C2
e
imz
eimz
dz ≤
2
z + a2
C2
2π
≤
z = −ia の留数は，
R → ∞)
3.
‰
z→−ia
ˆ
eimz
|dz|
|z 2 + a|
e−mR sin θ
Rdθ
R 2 − a2
0
2πR
≤ 2
→0
(as
R − a2
−ma
e
lim (z − ia) 2
=
2
z→ia
z +a
2ai
lim (z + ia)
ˆ
ema
eimz
=
z 2 + a2
−2ai
C1 +C2
eimz
π
eimz
dz
=
2πi
Res
= e−ma
z=ai z 2 + a2
z 2 + a2
a
R → ∞ で経路 C2 上の積分が 0 になるので，
ˆ ∞
‰
eimz
eimz
π
dz
=
lim
dz = e−ma
2 + a2
2 + a2
R→∞
z
z
a
C1 +C2
−∞
2. 出題ミスです．m > 0 が抜けています．
1
問 2.
1.
ez
を z = 0 のまわりで Taylor 展開し，z 3 の項まで書き出せ．
1+z
1
（ヒント：まず，ez と
をそれぞれ Taylor 展開する．）
1+z
ez
の z = 0 における留数を求めよ．
(1 + z)z 4
2.
解答
1.
となる．
2.
1
1
=
= 1 − z + z2 − z3 + · · ·
1+z
1 − (−z)
z3
z2
+
+ ···
ez = 1 + z +
2
3!
ez
1
1
1
= 4+ 2−
− ···
4
(1 + z)z
z
2z
3z
より，
より，
ez
z2
z3
=1+
−
− ···
1+z
2
3
問 3.
1.
2.
Res
z=0
ez
1
=−
(1 + z)z 4
3
以下の関数は極を持つ．すべての極の位置をとその極の位数を書け．また，その極における留数を求めよ．
sin z
(z − π)
4
（ヒント：まず，sin z を z = π のまわりで Taylor 展開する．）
1
3
2
(z + 1) (z − 1)
解答
2.
1.
z = −1 で 3 位の極，z = 1 で 2 位の極である．
z = π で特異点となる．sin z を特異点（z = π ）のま
z = −1 における留数は以下の通り．
わりで Taylor 展開する．
sin z = −(z − π) +
1
1
3
5
(z − π) − (z − π) + · · ·
3!
5!
1
1 d2
1
= −3
4
z→−1 2 dz 2 (z − 1)2
(z − 1)
lim
4
(z − π) で除すと，
sin z
(z − π)
4
=−
1
1
1
− (z − π) + · · ·
+
(z − π)3
3!(z − π) 5!
z=−1
同様に z = 1 の留数は以下のようになる．
となる．これより，z = π で 3 位の極であることが分か
る．また，z = π における留数は
=
1
である．
6
lim
z→1
2
d
1
1
=3
3
4
dz (z + 1)
(z + 1)
=−
z=1
3
16
3
16

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