演習問題（プリント）
Ver 3 2014/5/26
複素関数 1
tanh(i) の値を求めよ．
(
)
sin π2 − z = cos z を示せ．
(1) sinh(i), cosh(−i),
(
)
(2) cos π2 − z = sin z,
(3) f (z) = z 3 を u(x, y) + iv(x, y) で表す関数 u, v を求めよ．
1
を u(x, y) + iv(x, y) で表す関数 u, v を求めよ．
z2
(√
)
(5) log 3 + i , log (1 + i) の値を求めよ．
(4) f (z) =
(6) log z α = α log z が成立しないことを，α = 2 で確かめよ．
(7) Log(zw) = Log z + Log w が成立しないことを，z = eiθ ,
w = eiφ として，確かめよ．ただし，Log z は
主値 Logz = log |z| + iArg z
正則関数 2
(1) z,
ℜz,
|z| は正則でないことを示せ．
(2) w = f (z) が z = z0 で微分可能，g(w) が w = f (z0 ) で微分可能のとき，g ◦ f (z) が z = z0 で微分可能であ
ることを示せ．
(3) 領域 D 上で，f ′ (z) = 0 ならば，f (z) は D 上で定数関数であること示せ．
(4) f (z) が正則ならば，f (z) は正則であることを示せ．
(5) f (z) が z0 = x0 + iy0 で連続であることと，2 変数の実数値関数 u(x, y), v(x, y) が点 (x0 , y0 ) で連続である
ことが同値であることを示せ．ただし，f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
1
1 2
d(z 3 )
(6) z のそれぞれの分岐における内点では，
= z − 3 であることを示せ．
dz
3
1
注：このことは，z n , (n ∈ N) でも成立する．
z
z ̸= 0
(7) f (z) = |z|
で連続でないことを示せ．
0
z =0はz =0
1
3
∫
∫
(1)
∫
|z|=1
ℜz dz,
|z| dz,
(2)
C1
複素積分 3
∫
x dy の値を求めよ．
x dx,
∫
|z|=1
C√
2
|z|=1
∫
|z| dz,
|z| dz,
C3
∫
√
C1 +C2 −C3
|z| dz の値を求めよ. ただし，C1 は 0 と 1 + i を結ぶ直
線，C2 は 0 と 2 を結ぶ直線, C3 は 2 と 1 + i を結ぶ円弧．
∫
∫
∫
∫
(3)
z dz,
z dz,
z dz,
z dz の値を求めよ. ただし，C1 は 0 と 1 + i を結ぶ直線，C2
C1
C2
C3
C1 +C2 −C3
√
√
は 0 と 2 を結ぶ直線, C3 は 2 と 1 + i を結ぶ円弧．
)(
)
∫ (
1
1
(4)
dz, (i = 1, 2, 3) の値を求めよ． ただし，c1 は点 0 を始点に 1 と結ぶ直線，c2
1 + x2
1 + y2
Ci
は点 1 を始点に 1 + i と結ぶ直線，c3 は点 0 を始点に 1 + i と結ぶ直線
∫
∫
(5)
Log z dz,
Log z |dz| の値を求めよ．
|z|=1
|z|=1
1
(6) D を平面内の領域とし，その境界 ∂D は区分的に滑らかとする．点 (x, y) ∈ D での流体の流速を v =
(v1 (x, y), v2 (x, y)) とする．このとき，次に答えよ．
∫
(i)
v1 dy − v2 dx は境界 ∂D を通って単位時間当たり，D の外に流れ出た流体の量を表すことを示せ．
∂D
∫∫
∂v1
∂v2
(ii)
+
dxdy は D 内で単位時間当たり湧き出した流体の量を表すことを示せ．
dx
dy
D
∫
∫∫
∂v1
∂v2
(iii)
v1 dy − v2 dx =
+
dxdy を示し，これは物理的に何を言っているかを述べよ．
dx
dy
∂D
D
注：これは 2 次元のガウスの定理です．
(7) D を平面内の単連結な領域とし，その境界 ∂D は区分的に滑らかとする．D 上の関数 u(x, y) が調和関数，
∂2u ∂2u
即ち， 2 +
= 0 のとき，
dx
dy 2
∫
(i) C を D 内の閉曲線とするとき， (−uy , ux ) · dr = 0 であることを示せ．
C
∫
(ii) 積分値 (−uy , ux ) · dr は，固定点点 (x0 , y0 ) と任意の (x, y) ∈ D を結ぶ曲線 C の取り方に依らず始
C
∫ (x,y)
点と終点 (x, y) で決まる．これを v(x, y) =
(−uy , ux ) · dr と表す．
(x0 ,y0 )
(iii) vx = −uy , vy = ux であることを示せ．
(8) 次の関数 u の共役調和関数 v を求め，正則関数 w = u + iv を作れ．
x
(i) u = (ex + e−x ) cos y
(ii) 2
x + y2
∫
(9) (i) 「f (z) = log z は正則なので，Cauchy の積分定理により，
ばその箇所を指摘 (理由も）して，正しい積分値を求めよ．
∫
√
(ii) 「f (z) = z は正則なので，Cauchy の積分定理により，
log z dz = 0 である」 誤りがあれ
|z−1|= 12
√
z dz = 0 である」誤りがあればその
|z|=1
箇所を指摘 (理由も）して，正しい積分値を求めよ．
積分表示 4
(1) 閉区間 [a, b] 上で連続な実数値関数 {fλ }λ∈Λ が関数 f に一様収束する，すなわち，(a directed set Λ)
∀
ε > 0,
∃
λ0 ∈ Λ; λ ≥ λ0 =⇒ |fλ (x) − f (x)| < ε
とき，極限の関数 f (x) は連続であることを示せ．また，
∫
lim
λ
∫
b
b
fλ (x) dx =
a
f (x) dx
a
であることも示せ．
(2) 領域 D ⊂ C 上で正則な関数 {fn } が関数 f に一様収束する. このとき，
(i) f (z) もまた正則関数であることを示せ．
(ii) f (k) (z) もまた f (k) (z) に一様収束することを示せ．
(3) 十分大きい R に対して，次を満たす M > 0 が存在する
|f (z)| ≤ M |z|n ,
ならば，f (z) は高々n 次の多項式であることを示せ．
2
(|z| ≥ R)
(4) 領域 D について，D+ = {z ∈ D : ℑz > 0}, D− = {z ∈ D : ℑz < 0} とする．f (z) は D+ の閉包 D+ で連
続で，D+ で正則，また，f (z) は実軸 {z ∈ D+ ; ℑz = 0} で実数値であるとき，
f (z) (z ∈ D )
+
g(z) =
f (z) (z ∈ D )
−
とすれば，g(z) は D で正則関数となることを示せ．
(5) f (z) = u(x, y) + iv(x, y) を単位円板 D = {z ∈ C : |z| < 1} で正則で，D で連続とする．任意の点
z ∈ D (z = reiφ ) とする．次の問に答えよ．
(i) 次の等式を示せ．
1
f (z) =
2π
(ii) 次の等式を示せ．
0=
1
2πi
∫
|ξ|=1
∫
0
(iv) 次の等式を示せ．
u(z) =
1
2π
∫
f (ξ)ξ
dθ,
ξ−z
(ξ = eiθ )
1
f (ξ)
( ) dξ =
1
2π
ξ−
z
(iii) 次の等式を示せ．
f (z) =
2π
1
2π
∫
2π
0
2π
0
1+
r2
∫
2π
0
f (ξ)z
dθ
z−ξ
1 − |z|2
f (eiθ ) dθ
|eiθ − z|2
1 − r2
u(eiθ ) dθ
− 2r cos(θ − φ)
（これを調和関数 u に対する単位円板の Poisson 積分，
2π(1 +
r2
1 − r2
を Poisson 核という）
− 2r cos(θ − φ))
べき級数復習 5
次の級数の収束，発散を調べよ．
(1)
∞
∑
∞
∑
1
(i)
2 − 1)
(n
n=1
∞
∑
1
(ii)
n(n
+
1)(n
+ 2)
n=1
1
(iii)
log(n
+ 1)
n=1
√
√
n+) − n
(iv)
n
n=1
∞
∑
(2)
解答
複素関数 1
(1) i sin 1, cos 1, i tan 1
2
2
−2xy
(4) u = xx2 +y
+y 2 , v = x2 +y 2
(2) cos z, sin z の定義を用いる (3) u = x3 − 3xy 2 , v = 3x2 y − y 3
(5) log 2 + i( π6 + 2nπ), log2 2 + i( π4 + 2nπ)
複素積分 3
(3) 2 変数の平均値の定理を用いる．
(4) Cauchy-Riemann 関係式を用いる
(7)
x + iy
z
= √
と (5) を用
|z|
x2 + y 2
いる
複素積分 3
(1) iπ, 0, π
(2)
1+i
√ ,
2
1,
√
√
2 − 2 + i 2,
√
√
2+ 2+i 2
2
2
i (2π)
2
(5) −2πi,
(6)(7) はグリーンの定理を用いる
√
log z, z の正則である範囲に注意
(3) i, 1, i − 1, 0
(8) (i) (e − e
x
−x
(4)
π π
2+π
4 , 8 i,
8 (1
) sin y,
sinh z
+ i)
(ii)
−y
x2 +y 2 ,
1
z
(9)
積分表示 4
(2) Morea の定理を用いる
(3) f n+1 (z) = 0 を示す
(4) Morea の定理を用いる
いる
3
(5) Cauchy の積分表示を用
1
複素積分
定理 1.1 (Cauchy の積分定理) 三角形分割による，Cauchy の積分定理の証明
∫
f (ξ) dξ = 0
C
定理 1.2 単連結領域 D 内の任意の閉曲線 C について，関数 f (z) が D 上で連続とする．このとき，
∫
f (ξ) dξ = 0
C
ならば，D 内の点 z0 と z を結ぶ曲線 C ′ の取り方によらず，
∫
f (ξ) dξ
C′
∫
z
は始点 z0 と終点 z で決まる．このとき，この線積分を F (z) =
f (ξ) dξ と表すと，F (z) は正則で．次を満たす．
z0
(∫
d
dz
)
z
f (ξ) dξ
= f (z)
z0
命題 1.3 単連結領域 D で関数 f (z) が正則で f ′ (z) ≡ 0 ならば，f (z) ≡ k （定数）である
定理 1.4 単連結領域 D 内の任意の閉曲線 C について，関数 f (z) が D 上で正則とする．このとき D 内の点 z0 と
z を結ぶ曲線 C とすると，
∫
∫
z
f (ξ) dξ =
C
となる．ただし，F (z) は，
2
z0
f (ξ) dξ = [F (ξ)]zz0 = F (z) − F (z0 )
d
F (z) = f (z) を満たす原始関数とする．
dz
積分表示
定理 2.1 (最大値原理) D を単連結領域，∂D をその区分的に滑らかな境界とする．f (z) を D の閉包 D 上連続で，
D 上正則な関数とすると D の |f (z)| の最大値は，∂D 上で取る．すなわち，
max{|f (z)| : z ∈ D} = max{|f (z)| : z ∈ ∂D}
定理 2.2 (Cauchy の評価式) f (z) が |z − α| ≤ r で連続でその内部で正則ならば，
|f (n) (α)| ≤
3
n!
max{|f (z)| : |z − α| = r}
rn
べき級数 (復習）
定義 3.1
(1) 数列 {an } が α に収束するとは
∀
∃
ε > 0,
N ∈N: n≥N
=⇒ |an − α| < ε
(2) 数列 {an } が Cauchy 列とは，
∀
ε > 0,
∃
N ∈ N : n, m ≥ N
=⇒ |an − am | < ε
∃
(n ∈ N)
(3) 数列 {an } が有界であるとは
M > 0 : |an | < M
4
(4) α が集合 A ⊂ C の集積点とは，
∃
{an } ⊂ A : lim an = α, an ̸= α
n→∞
定理 3.2 (C の完備性) 数列 {an } が収束することと，数列 {an } が Cauchy 列であることは同値である.
定理 3.3 (Bolozano-Weierstrass の定理「点列コンパクト」) 無限個の有界閉集合 A ⊂ C は必ず集積点 α ∈ A
を持つ．
定理 3.4 (Heine-Borel の定理「Covering コンパクト」) 有界閉集合 A ⊂ C の開被覆は，有限開被覆を持つ，
すなわち，
∪λ∈Λ Oλ ⊃ A, Oλ 開集合 =⇒ ∃ 有限部分集合 Λ0 ⊂ Λ : ∪λ∈Λ0 Oλ ⊃ A
定理 3.5 有界閉集合 A 上の実数値連続関数は最大値，最小値を持つ．
定理 3.6 有界閉集合 A ⊂ C 上の連続関数 f は，一様連続である．すなわち，
∀
z ∈ A について， ∀ ε > 0,
∃
δ = δ(ε, z) : |ξ − z| < δ
=⇒
|f (ξ) − f (z)| < ϵ
ならば，
∀
定義 3.7 級数
∞
∑
ε > 0,
∃
δ = δ(ε) : |ξ − z| < δ
an について，Sn =
n=1
n
∑
=⇒
|f (ξ) − f (z)| < ϵ
(∀ z, ξ ∈ A)
ak を第 n 部分和という．このとき，
k=1
∞
∑
(1) 数列 {Sn } が α に収束するとき，級数
an が (条件) 収束するといい，その極限値 α を
n=1
(2) 数列 {Sn } が発散するとき，級数
∞
∑
∞
∑
an で表す．
n=1
an が発散するという．
n=1
(3)
∞
∑
|an | < ∞ のとき，級数
n=1
命題 3.8
∞
∑
an は，絶対収束するという．
n=1
(1) 級数
∞
∑
n=1
an ,
∞
∑
bn が収束するとき，
n=1
∞
∑
(αan + βbn ) = α
n=1
(2) 級数
∞
∑
∞
∑
n=1
an + β
∞
∑
bn
n=1
an が収束することと, 次が同値である.
n=1
∀
ε > 0,
∃
n
∑
N ∈ N : n > m > N =⇒ ak < ε
k=m
このこき，m = n − 1 とすれば， lim an = 0 である．
n→∞
定理 3.9
例
(1) 級数
∞
∑
∞
∑
n=1
(−1)n−1
n=1
(2) 級数
∞
∑
an が絶対収束すれば，級数
∞
∑
an は条件収束する．逆は成立しない．
n=1
∞
∑
1
1
= log 2，しかし，
= ∞ 絶対収束しない．
n
n
n=1
an が絶対収束するならば，その (無限個）項の順序を換えた級数
n=1
∞
∑
n=1
は同じ値になる
5
a′n は絶対収束し，その極限
命題 3.10 (Cauchy 積) 級数
∞
∑
∞
∑
an ,
n=1
bn は絶対収束する．cn =
n=1
は絶対収束して，
n
∑
ak bn−k とする．このとき，級数
(
cn =
n=1
∞
∑
)(
∞
∑
an
n=1
cn
n=1
k=0
∞
∑
∞
∑
)
bn
n=1
次に関数列の収束の話です．
定義 3.11 区間 I 上の有界な関数列 {fk } が一様収束するとは，
∀
ϵ > 0,
∃
K∈N: k>K
=⇒
|fk (x) − f (x)| < ε
(x ∈ I)
（上の K が区間 I の点 x に依存していないことに注意）
∥f ∥∞ := sup{|f (x)| : x ∈ I} と一様ノルムを定義すると，上の条件は，
∀
∃
ϵ > 0,
K∈N: k>K
=⇒
∥fk − f ∥∞ < ε
と表せる．
定理 3.12 閉区間 I = [a, b] 上の連続関数列 {fk } が f 一様収束することの，次の条件
∀
∃
ϵ > 0,
K ∈ N : k, ℓ > K
=⇒
∥fk − fℓ ∥∞ < ε
が同値である（一様ノルムで Cauchy 列）．このときの極限関数 f は自動的に連続関数になる．
命題 3.13 (微分と Limit の順序交換) 区間 I ⊂ R で実数値関数 f に収束する C 1 級の実数値関数 fn があり，関
数列 {fn′ } が極限関数 g に一様収束するならば，このとき，f は C 1 級であり
)
d (
d
f ′ (x) = g(x), すなわち，
lim fn (x) = lim
fn (x)
n→∞ dx
dx n→∞
を満たす．しかも，fn は f に一様収束する．
定義 3.14
(1) 関数 fn (z) が f (z) に領域 D で広義一様収束するとは，任意の z ∈ D に対して，
∀
ε > 0,
∃
δ = δ(z, ε) > 0 : |fn (ξ) − f (ξ)| < ε
(∀ ξ ∈ U (z, δ))
このことは，D 内の任意のコンパクト集合 K に対して，
∀
ε > 0,
∃
(∀ ξ ∈ K)
δ = δ(K, ε) > 0 : |fn (ξ) − f (ξ)| < ε
であることと同値である.（参照 定理 3.4）
積分表示 4 の問題（2）の条件を「広義一様収束」に取り換えても成立することに注意しておく．
(2) 領域 D 上の関数が作る級数
和 Sn (z) =
n
∑
∞
∑
fk (z) がある関数 S(z) に収束するとは，任意の z ∈ D に対して，その部分
k=1
fk (z) が S(z) に収束することをいう．そして，S(z) を
k=1
(3) 部分和 Sn (z) =
∞
∑
fk (z) で表す
k=1
n
∑
fk (z) が S(z) に（広義）一様収束するとき，級数
k=1
一様収束するという．この関数 S(z) を
∞
∑
∞
∑
fk (z) がある関数 S(z) に（広義）
k=1
fk (z) で表す．
k=1
命題 3.15 (項別積分) 有限の長さの曲線 C で fk (z) が連続で，級数
∞
∑
fk (z) が一様収束しているとき，次が成
k=1
り立つ．
（積分表示 4 の問 2(i) 参照）
∞ ∫
∑
k=1
fk (z) dz =
C
∫ ∑
∞
C k=1
6
fk (z) dz
命題 3.16 (項別微分) 関数 fk (z) が領域 D で正則で，級数
∞
∑
fk (z) は D 上で広義一様収束しているとき，次が
k=1
成り立つ．
（積分表示 4 の問 2(ii) 参照）
(
∞
∑
)′
fk (z)
=
k=1
∞
∑
fk′ (z)
k=1
しかも，右辺の収束は広義一様収束である．
参考のために一般 (実数値関数）の項別微分を述べておく．
命題 3.17 (一般の項別微分) 実数値関数 fn (x) が C 1 級の関数で，級数
級数
∞
∑
fk′ (x)
がある関数 g(x) に一様収束していれば，このとき，
k=1
∞
∑
∞
∑
fk (x) が f (x) に収束している．もし，
k=1
fk (x) は微分可能で，しかも
k=1
(
∞
∑
)′
fk (x)
=
k=1
∞
∑
fk′ (x)
k=1
しかも，右辺の収束は一様収束である．
定理 3.18 (Weierstrass の優収束判定法) 区間 I ⊂ R で定義された関数 fk (x), gk (x) に関して，級数
∞
∑
gk (x)
k=1
が一様収束するとき，
|fk (x)| ≤ gk (x),
を満たすならば，級数
∞
∑
(x ∈ I)
fk (x) も一様収束する．
k=1
注意 3.19 上の定理で「x ∈ I ⊂ R」を「z ∈ D ⊂ C」に取り換えても，定理は成立する．
∞
∞
∑
∑
また，
「
gk (x) が一様収束」の条件を関数 gk (x) が定数関数 ck で，
「
ck < ∞」としても良い．
k=1
k=1
次にべき級数について解説する．
定義 3.20
∞
∑
ak (z − α)k
k=0
と形をした級数をべき級数とい, ak を係数，α を中心という．
このとき，w = z − α と変数変換をすることにより，中心が 0 として取り扱っても良い．
定理 3.21 (Abel の第一定理) べき級数
∞
∑
ak z k が z = z0 で収束する．このとき，べき級数
k=0
で絶対収束し，任意の 0 < ∀ ρ < |z0 | に対して，閉円板 {z : |z| ≤ ρ} 上で一様収束する．
定義 3.22 (収束半径) べき級数
∞
∑
k=0
ak z k に対して，
{
r = sup |z| :
∞
∑
}
ak z k , 収束
k=0
を，収束半径という．右辺の集合が空集合のときは，r = 0 とする．
収束円上の点 |z| = r では，
∞
∑
ak z k は収束することもあるし，発散することもある．
k=0
例
∞
∑
1 k−1
z
のとき，z = 1 発散, z = −1, 収束
n
k=1
7
∞
∑
k=0
ak z k は，|z| < |z0 |
定理 3.23 (Cauchy-Hadamard) べき級数
∞
∑
ak z k に対して，その収束半径 r は，次で与えられる．
k=0
√
1
= lim n |an |
r n→∞
定理 3.24 (D’Alembert) べき級数
∞
∑
ak z k に対して，極限 lim
n→∞
k=0
|an |
が存在すれば，その収束半径 r は，
|an+1 |
|an |
n→∞ |an+1 |
r = lim
で与えられる．
命題 3.25 (べき級数の項別積分) べき級数
∞
∑
ak z k ,
(収束半径 r > 0) に対して，曲線 C が収束円の内部にあ
k=0
るとき，
∫ ∑
∞
∞
∑
an z k dz =
C k=0
∫
z k dz =
ak
C
k=0
∞
∑
ak
(z k+1 − z0k+1 )
k+1
k=0
ただし，z0 , z は曲線 C の始点と終点．
注意 3.26
∞
∞
∑
∑
ak k+1
ak z k の収束半径 r と一致している．
z
の収束半径は
k+1
k=0
k=0
命題 3.27 (べき級数の項別微分) べき級数
∞
∑
(収束半径 r > 0) とする．このとき，|z| < r となる z に
ak z k ,
k=0
ついて，
(
∞
∑
)′
ak z
k
=
k=0
∞
∑
kak z k−1
k=0
が成立する．また，左辺のべき級数の収束半径も r である．
命題 3.28 (係数の一意性) 2 つのべき級数が，|z| < ρ (ρ > 0) となる z で
∞
∑
ak z k =
k=0
ならば，係数は一致する．すなわち，ak = bk
4
∞
∑
bk z k
k=0
(∀ k ∈ N)
Taylor 展開，零点，特異点，Laurent 展開
定義 4.1
(1) f (α) = 0 となる点 z = α を零点という.
(2) f k (α) = 0,
(k ≤ n − 1),
f n (α) ̸= 0 となるとき，α を位数が n 位の零点という．
注意 4.2 正則関数 f (z) が α で n 位の零点のとき，その Taylor 展開は
f (z) =
∞
∑
f k (α)(z − α)k
k=n
となり，f (z) = (z − α)n g(z), g(α) ̸= 0 となる正則関数 g(z) が存在する．
∞
∑
（ g(z) =
f k (α)(z − α)k−n と取れば良い ）
k=n
8
定理 4.3 (一致の定理 1) 領域 D で正則な関数 f (z) について，
f k (α) = 0, (∀ k ∈ N ∪ {0})
となる点 α があれば，f (z) は恒等的に零である．即ち，f (z) ≡ 0．
注意 4.4 特異点は必ずしも孤立していないことに注意する．また，極は必ず孤立している．すなはち，特異点が孤
1
1
立していなければ，真性特異点だある．例 e z は z = 0 について真性特異点，ゆえに，f (z) = 11 は z =
z
e −1
2nπi
は特異点で真性特異点 z = 0 に収束する．
定理 4.5 領域 D で正則な関数 f (z) ̸≡ 0 について，その零点は孤立点である．すなわち，α を f (z) の零点とす
ると，
∃
(0 < |∀ z − α| ≤ δ)
δ > 0 : f (z) ̸= 0,
定理 4.6 (一致の定理 2) 領域 D で正則な関数 f (z) について，
点列 {zk }∞
k=1 が f (zk ) = 0, (k ∈ N),
lim zk = α ∈ D
k→∞
であれば，f (z) ≡ 0．
定理 4.7 (解析接続) ガンマー関数 Γ(z) を次で定義する．
∫ ∞
Γ(z) =
tz−1 e−t dt,
(ℜz > 0)
0
次が成り立つ．
(1) Γ(z) = (z − 1)Γ(z − 1),
(ℜz > 1)
( )
√
1
(2) Γ(n) = (n − 1)!, Γ
= π
2
(3) −1 < ℜz ≤ 0 となる z について，
Γ(z) =
Γ(z + 1)
,
z
(−1 < ℜz ≤ 0)
と定義して，次々と C 全体に解析接続すると，負の整数 {−n : n ∈ N ∪ {0}} は位数が１の極，他の点では
正則な関数に拡大できる．
5
偏角の原理
定義 5.1 f (z) が領域 D で有理型関数であるとは，全ての特異点が極でその特異点を除いた集合 D′ がまた領域で
あるときをいう．
（有理関数とは混同しないように！）
定理 5.2 (偏角の原理) 関数 f (z) た単一閉曲線 C で囲まれた領域 D で有理型であり，f (z) の零点と極とその位
数をそれぞれ，
α1 , α2 , · · · , αm ,
s1 , s2 , · · · , sm
β1 , β2 , · · · , βn ,
とすれば，
1
2πi
∫
C
t1 , t2 , · · · , tn
m
n
∑
∑
f ′ (z)
tk −
sj
dz =
f (z)
j=1
k=1
9
定理 5.3 (Rouche の定理) 単一閉曲線 C で囲まれた領域 D で正則で，閉領域 D で連続な 2 つの関数 f (z), g(z)
について，C 上で
|f (z) − g(z)| < |f (z)|
ならば，関数 f (z), g(z) の D 内と零点の個数は位数を込めて等しい．
定理 5.4 (逆関数) f (z) が z = z0 で正則で f (z0 ) ̸= 0 ならば，z0 のある開集合と w0 = f (z0 ) のある開近傍内の
点と 1 対 1 に対応しその逆関数 z = g(w) は，その開近傍で正則となり，次を満たす．
g ′ (w) =
1
f ′ (z)
定理 5.5 (Weierstrass の定理) f (z) は 0 < |z − α| < ρ で正則（有理型でも良い）で，α で f (z) の真性特異点
ならば，∀ γ ∈ C に対して,
0 < ∀ δ < ρ,
∀
に対して
ε > 0,
∃
z ∈ C : |z − α| < δ,
|f (z) − γ| < ε
証明 もし命題が成立しないとする．すなわち，
∃
γ, ε0 , δ0 :
∀
z : |z − α| < δ0 ,
ならば
|f (z) − γ| ≥ ε0
1
1
と定義すると，|φ(z)| ≤ , φ(z) ̸≡ 0 となる．ゆえに， 0 < |z − α| < δ0 の範囲で
f (z) − γ
ε0
φ(z) は正則な有界関数となる．従って，有界な関数 φ(z) では，z = α は除去可能な特異点となる．
と仮定する．φ(z) =
φ(z) = (z − α)n g(z),
(g(α) ̸= 0)
1
となるので，z = α は f の n 位の極となる．
(z − α)n g(z)
これは，z = α が f (z) の真性特異点であることに矛盾する．
（α が φ(z) の n 位の零点）とする．すると，f (z) = γ +
10
© Copyright 2024 ExpyDoc
