マクスウェルによる電磁気学のまとめと電磁波の予言

マクスウェルによる電磁気学のまとめと電磁波の予言
マクスウェルの電磁気学における功績を追ってみよう．
Ⅰ
アンペール・マクスウェルの法則はファラデーの電磁誘導の法則と対となる法則で
ある．これらの法則において見いだせる磁場と電場の対称性について説明しよう．
半径 a の円形平行平板コンデンサにおいて考えるならば，極板
dQ
Q
間電場が E =
，
2 ，コンデンサの連続方程式から I =
ε 0π a
dt
極板間の周囲円周上に生じる磁場は直線電流が作る磁場と接続
µ 0I
．以上より，E と B
されるだろうから，その磁束密度は B =
2π a
dE
2
=
の関係は，
B と見いだせる．これがこの円形コンデ
dt
aε 0 µ 0
a
I
+Q
E
−Q
ンサモデルにおけるアンペール・マクスウェルの法則である．変
形して
B ⋅ 2π a = ε 0 µ 0
d
(E ⋅ π a 2 )
dt
とすれば，半径 a の円形領域に垂直で一様な磁束密度 B の磁場をか
け，変化させたときに円周上に生ずる誘導電場 E について，ファラ
a
B
デーの電磁誘導の法則を適用した式，
d
E ⋅ 2π a =
(B ⋅ π a 2 )
dt
E
との対応関係（対称性）を見つけられるだろう．
ファラデーの電磁誘導の法則
：
アンペール・マクスウェルの法則
：
d
BS
dt
周上累積
d
B = ε 0µ0
ES
dt
周上累積
∑
∑
E =
E − B 対応（電場と磁束密度）でなく， E − H 対応（電場と磁場）をとれば，互換
式 B = µ 0 H から，上２式は
∑
E = µ0
周上累積
d
HS ，
dt
∑
周上累積
H = ε0
d
ES
dt
と格段と美しく，対称的に記述できる．また，µ 0 HS = BS を磁束と呼ぶように，ε 0ES
は電束と呼ばれる．このとき， ε 0E は電束密度と呼ばれる．
Ⅱ
xyz 空間上で， x 軸方向に進行する平面波の電磁波を考えたい． xy 平面上で y の値
に依らず x の値のみで定まる z 軸方向の磁束密度 B ， xz 平面上で z の値に依らず x の
値のみで定まる y 方向の電場 E を考える．
y
E
y
x
x + ∆x
E + ∆E
x
x
z
z
x
x + ∆x
B
B + ∆B
(1) xy 平面上に x 座標が x から x + ∆x ， y 座標が
y
−ℓ / 2 から ℓ / 2 の長方形領域を考える．∆x が十分に
E
E + ∆E
ℓ/2
小さく，この領域での磁束密度のムラは無視でき，
領域内の磁束密度がほぼ B とみなせるなら，この領
x
0
域を貫く磁束は Bℓ∆x ．
x
B
x + ∆x
B + ∆B
磁束密度 B に時間変化があるなら，この領域の境 −ℓ / 2
界にはファラデーの電磁誘導の法則に基づく誘導
電場が生じていることになる．この誘導電場は x 軸上では y 軸に沿う向きに生じてい
る． x 座標が x の位置での電場を E ， x + ∆x の位置での電場を E + ∆E とおけば，領
域の周上の起電力は Eℓ − (E + ∆E )ℓ = − ∆Eℓ ．
この空間的電場変化 ∆E は領域の磁束変化からもたらされるべきである．ファラデ
ーの電磁誘導の法則から，
− ∆Eℓ =
d
(Bℓ∆x)
dt
⇔
dE
dB
=−
dx
dt
厳密にはここに登場する微分記号 d は偏微分記号 ∂ であるべきだが，「
における電場 E の x 方向の勾配」，「
dE
は時刻 t
dx
dB
は位置 x における磁束密度 B の時間変化率」
dt
マクスウェルによる電磁気学のまとめと電磁波の予言
であることがわかっていれば，記号の使い方の正誤はとくに問題にならない．
磁場の時間変化は電場の勾配を生む
dE
dB
=−
dx
dt
：
(2) 次に xz 平面上に x 座標が x から x + ∆x ，z 座
標が −ℓ / 2 から ℓ / 2 の長方形領域を考える． ∆x
B
B + ∆B
−ℓ / 2
が十分に小さく，この領域での電場のムラは無
視でき，領域内の電場がほぼ E とみなせるとす
x
0
x
る．前述(1)でファラデーの電磁誘導の法則を用
いたのと対称的に，今度はアンペール・マクス
E
x + ∆x
E + ∆E
ℓ/2
z
ウェルの法則によって，空間的磁束密度変化 ∆B
は領域の電束変化からもたらされるべきであることを記述すれば，
− ∆Bℓ = ε 0 µ 0
d
(Eℓ∆x)
dt
⇔
電場の時間変化は磁場の勾配を生む
dB
dE
= −ε 0 µ 0
dx
dt
：
dB
dE
= −ε 0 µ 0
dx
dt
(3) 以上(1)(2)の議論から， x 軸上を電場が磁場へ，また磁場が電場へと形を変えて伝
播していく様子がイメージできるだろうか．(1)(2)の結果が x 軸方向に伝う電場と磁
場の振動であることを確かめよう．
dE
dB
dB
dE
結果２式
=−
，
= −ε 0 µ 0
から B を消去する．
dx
dt
dx
dt
d 2E
d dB
d dB
d 2E
d 2E
d 2E
=
−
，
=
−
ε
µ
⇒
=
ε
µ
0 0
0 0
dx 2
dx dt
dt dx
dt 2
dx 2
dt 2
d 2B
d 2B
同様に E を消去して， B の方程式
=
ε
µ
を得ることも出来る．これらの
0
0
dx 2
dt 2
偏微分方程式は「波動方程式」と呼ばれ，一般の進行波はこれを満たす．ここで，電

x
場を正弦進行波 E = E 0 sin ω t −  で置いてみると，

c
d 2E
d 2E
=
ε
µ
0 0
dx 2
dt 2
 ω 2


x
x
⇔ E 0  −  sin ω t −  = ε 0 µ 0E 0ω 2 sin ω t − 
 c


c
c
1
⇔ c=
ε 0µ0
1
の波動を解に持つことが示された．
ε 0µ0
となり，(1)(2)の結果は位相速度が c =
ここで，真空中の誘電率，透磁率の値は，
ε 0 = 8.85418782 × 10 −12 [s 4 A 2 / m 3 kg ] ， µ 0 = 1.25663706 × 10 −6 [m kg / s 2 A 2 ]
であり，これを用いれば， c = 299792458 [m/s] となる．これは真空中の光速度と同値
である．このことを以ってマクスウェルは，電磁波の存在，および，光が電磁波の一
種であることを予言したのである．
y
E
伝播方向
z
x
B
電磁波の位相速度
：
c=
1
= 3.0 × 10 8 [m / s]
ε 0µ0
位相速度が c の x 軸上を進むあらゆる波動は，変位をψ として
波動方程式
を満たす．
：
1 ∂ 2ψ
∂ 2ψ
=
c ∂t 2
∂x 2

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