ベクトル解析および演習演習 4 解答例 1. (1) 4 Q r r E (2) (3) ここで， z

ベクトル解析および演習演習 4 解答例
1.
(1)
(2)
Q r
4 0 r3
E
r
V
E dr
Q
4 0
V
(3)
1
2 g
x2
y2
x2
y2
よって， E
である．
2.
(1)
f
x 2y
f
Q 1
4 0r
Q d 1
4 0 dr r
1
r
ここで， g
r
Q 1
4 0 r
r
Q
4 0
1 r
r2 r
r
g
z 2 とおいて，
1
2 xi
2r
z2
yj
zk
4
Q
r3
0
r
d
g g
dg
r
r
V を満たすので，電位 V は電場 E のスカラポテンシャル
y 2z
z 2x
z 2 )i
(2xy
1 とおくと，
2yz ) j
(x 2
2zx )k となる．
(y 2
ここで，点Ｐにおいて
3i
f
2j
5k ，
38 となるので，
f
1
求める法単位ベクトルは n
38
( 3i
2j
5k )
(2) 方向微分係数は点Ｐの法単位ベクトル方向が最大となるので
f
n
(3) a
i
f
38
2j
2k のとき， a
12
( 2)2
22 であるので，
求める方向微分係数は，
df
da
f
a
a
( 3i
2j
5k)
1
(i
3
2j
2k)
1
3.
(1)
r
(2)
r
r3
(3)
r
x
i
1
r3
dr n
dr
n
j
y
1
r3
r
r
nr n
n n
2
r
r
2
r
2
r
r
d
r
dr
r
r
(5)
r 2e
d 2
re
dr
r
r 2e
r
r
r
1
r
1
r
5
2
5
2
5
r
2
5
2
r
r
7
2
2
3nr n
1 r
2 r e rr
r 3 e
rn
r
r
r
3
5
r
2
r
zk
3
3 r
r
r4 r
n
r
2
1
yj
1
3
r3
0
nr n 2 r
2 rn
d
r
dr
r
1
xi
r
nr n 2 r
rn
(4)
k
z
3
2
r
r
rn
2
n(n
r
r
1
r
r
r
r 3 r
r
r
2r e
r
1
r
1
d
2 r e
dr
r
r 3 2 r e
r
r
5
2
r
5
2
2
r
1
r
r
5
2
r
5
2
5
2
2r
r
1)r n
r
r
r 2e
r
r
5
2
1
r r 3 r
3 r
1
r
r
2
1
r
r
1
r
2
5
2
r )e r r
(2
r
r r
r2
6r 6 e
2 r e
r
r
r

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