467 双曲線の接線の性質

467_双曲線の接線の性質
双曲線の接線の性質
2
2
x − y = 1 (a > 0 , b > 0) 上の点
a 2 b2
b
P ( x0 , y0 ) における接線と漸近線 y = ± x との
a
交点をそれぞれ Q，R，焦点を F , F′ とすると
双曲線 C:
(1)
点 P は線分 QR の中点
(2)
△OQR の面積を S とすると
OQ･OR = OF = a + b （一定）
(4)
x0 ' 0 のとき， ∠FPR = ∠F′PR の関係が
b
P0x 0 , y 01
a
O
2
-b
y=
成り立つ．
b
x
a
証明 (1)
C 上の点 P ( x0 , y0 ) における接線の方程式は
x0 x y0 y
− 2 =1
①
a2
b
また，点 P は C 上の点であるから
x0 2 y0 2
− 2 = 1 ⇔ b 2 x0 2 − a 2 y0 2 = a 2b 2
②
2
a
b
b
①と漸近線 y = x との交点 Q の座標は
a
x0 x y0 b
y ⎞
bx0 − ay0
⎛x
x =1
− 2 ⋅ x = 1 ⇔ ⎜ 02 − 0 ⎟ x = 1 ⇔
2
ab ⎠
a
b a
a 2b
⎝a
2
⇔ x= a b
bx0 − ay0
⎛
a 2b ,
ab 2 ⎞
⎟
⎝ bx0 − ay0 bx0 − ay0 ⎠
b
同様に，①と漸近線 y = − x との交点 R の座標は
a
x0 x y0
y ⎞
⎛x
− 2 ⋅ − b x = 1 ⇔ ⎜ 02 + 0 ⎟ x = 1 ⇔
2
a
ab ⎠
a
b
⎝a
より，Q ⎜
( )
x=
a 2b
bx0 + ay0
⎛
a 2b , − ab 2 ⎞
bx0 + ay0 ⎟⎠
⎝ bx0 + ay0
したがって，線分 QR の中点の x 座標は，②より
2
2
2
2
2bx
2bx
⎛
⎞
x = 1 ⎜ a b + a b ⎟ = a b ⋅ 2 2 0 2 2 = a b ⋅ 2 20
2 ⎝ bx0 − ay0 bx0 + ay0 ⎠
2 b x0 − a y0
2 ab
より，R ⎜
= x0
よって，点 P は線分 QR の中点である．
■
−1−
C
Q
R
(3)
2
b y
x
a
F- -a
S = ab （一定）
2
y =-
(∵ ②)
F
x
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(2)
(1)より，△OQR の面積 S は
a 2b
S=1
2 bx0 − ay0
2
⎛
⋅ ⎜ − ab
⎝ bx0 + ay0
⎞
ab 2 ⋅ a 2b
−
⎟ bx − ay bx + ay
0
0
0
0
⎠
3 3
3 3
3 3
= 1 − 2 2a b 2 2 − 2 2a b 2 2 = a b − 2 2 2 2 2
2 b x0 − a y0
2
b x0 − a y0
b x0 − a y0
3 3
= a b ⋅ 22 2 = ab （一定）
2 ab
2
■
2
⎛ a 2b ⎞ ⎛ ab 2 ⎞
(3) OQ = ⎜
⎟ +⎜
⎟ =
⎝ bx0 − ay0 ⎠ ⎝ bx0 − ay0 ⎠
2
a 2b 2 ( a 2 + b 2 )
ab a 2 + b 2
=
bx0 − ay0
(bx0 − ay0 ) 2
2
⎛ a 2b ⎞ ⎛
ab 2 ⎞ =
OR = ⎜
+
−
⎟ ⎜
⎟
⎝ bx0 + ay0 ⎠ ⎝ bx0 + ay0 ⎠
a 2b 2 ( a 2 + b 2 )
ab a 2 + b 2
=
bx0 + ay0
(bx0 + ay0 ) 2
よって
2
2
2
2
a 2b 2 ( a 2 + b 2 )
a 2b 2 ( a 2 + b 2 )
ab
a
+
b
ab
a
+
b
=
⋅
=
=
OQ･OR
bx0 − ay0
bx0 + ay0
a 2b 2
b 2 x0 2 − a 2 y0 2
= a 2 + b 2 = OF2 （一定）
(4)
■
接線①と x 軸との交点を T とすると，①に y = 0 を
x0 x
=1 ⇔
a2
Q
y
代入して， x0 ' 0 から
C
2
x= a
x0
b
⎛ a2
⎞
, 0⎟
⎝ x0
⎠
P 0 x 0 , y 01
T⎜
したがって
F- -a
次に，F ( a + b , 0) ， F′( − a + b , 0) より
2
2
(
PF 2 = x0 − a 2 + b 2
2
)
2
2
-b
⎛x2
⎞
= x0 2 − 2 a 2 + b 2 x0 + a 2 + b 2 + b 2 ⎜ 02 − 1⎟
⎝ a
⎠
= 12 (a 2 + b 2 ) x0 2 − 2a 2 a 2 + b 2 x0 + a 4
a
2
= 12 a 2 + b 2 x0 − a 2
a
{
}
)
PF > 0 より
PF =
1
a
a 2 + b 2 x0 − a 2
同様に
(
PF′2 = x0 + a 2 + b 2
)
2
T
R
+ y0 2
(
O
+ y0 2 = 12
a
(
a 2 + b 2 x0 + a 2
−2−
)
2
a
F x
467_双曲線の接線の性質
PF′ > 0 より
1
PF′ =
a 2 + b 2 x0 + a 2
a
したがって
PF : PF′ =
=
1
a
a 2 + b 2 x0 − a 2 : 1
a
a 2 + b 2 x0 − a 2 :
= 1
x0
=
a 2 + b 2 x0 + a 2
a 2 + b 2 x0 + a 2
2
a 2 + b2 − a : 1
x0
x0
2
a 2 + b2 − a :
x0
2
a 2 + b2 + a
x0
2
a 2 + b2 + a
x0
= FT : F′T
よって， ∠FPR = ∠F′PR が成り立つから，接線①は ∠FPF′ を 2 等分する．
u
F′P の延長上に S をとると
∠FPT = ∠F′PT = ∠SPQ
C
(入射角)＝(反射角）
であることから，点 F に光源を置いたとき，点 P で
反射した光は PS の方向に進む．したがって，あたか
も，もう一つの焦点 F′ から出た光のように進んでい
くことになる．
■
y
Q
S
P
F- -a
O
T
a
F x
過去の入試問題では
信州大で(1)，(2)，浜松医科大で(1)，(3)
を証明させる問題が出題された．
■ 練習問題．
双曲線 C :
2
x 2 − y = 1 について，以下の問いに答えよ．
a 2 b2
(1)
C の漸近線を求めよ．
(2)
C 上の点 P ( x0 , y0 ) における接線の方程式を求めよ．
C 上の点 P における接線と(1)で求めた漸近線 l，m との交点をそれぞれ Pl，Pm とし，
さらに P と異なる C 上の点 Q における接線と l，m との交点をそれぞれ Ql，Qm とする．
(3)
このとき，Pl Qm S PmQl を証明せよ．
(お茶の水女子大)
−3−

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