数学演習 I (問題 1 の解答例)

数学演習 I (問題 1 の解答例)
√
√
2 + n12
√
2n2 + 1
√ = 2
= lim √
問 1. (1) lim √
√
n→∞
n2 + 1 + n n→∞ 1 + 12 + 1
n
n
(2)
√
√
1
n2 + n + n
n2 + n + n
√
lim √
= lim √
= lim
n→∞
n
n2 + n − n n→∞ ( n2 + n − n)( n2 + n + n) n→∞
√
1
1+ +1=2
= lim
n→∞
n
(
)


1 a
sin ax
sin ax 1 a
sin ax 
a
lim
= lim
= lim
=


x→0 sin bx
x→0 sin bx
x→0
x→0
ax sin bx b
ax
b
b
bx
bx
√ √
√
√ √
√
√ √
√
x( x + 1 − x)( x + 1 + x)
x
√
√
(2) lim x( x + 1− x) = lim
=
lim
√
√
x→∞
x→∞
x→∞
x+1+ x
x+1+ x
1
1
= lim √
=
x→∞
2
1
1+ +1
x
問 2. (1) lim
(1) において lim
x→0
a
sin ax
sin ax bx ax
sin ax bx a
= lim
= lim
= でもよい。
x→0
x→0
sin bx
ax sin bx bx
ax sin bx b
b
a
sin ax
sin ax bx ax
= lim
=
x→0
sin bx
ax sin bx bx
b
多くあった誤り, 減点しました： (イ) lim
x→0
気持ちはわかりますが，鉛筆で x を消すなりする。易しい問題はそれなりに論理的に書くよう
に。答えさえ出ればいいでは，今後誤りを犯す原因になります。
(ロ) lim
x→0
sin ax
sin ax b
a
= lim
=
x→0
sin bx
a sin bx
b
1
問 3. x =
の正値解を α とする
x+1
(
これは 0 点です。
−1 +
=
2
√ )
5
1
α= α+1
1
− α =
|an+1 − α| = an + 1
。このとき
1
1 an + 1 − α + 1 an − α an − α
= α|an − α|
=
<
(an + 1)(α + 1) α + 1 1 < 1)
∵ (0 < an + 1 この漸化式より
|an+1 − α| < α|an − α| < · · · < αn |a1 − α| = αn |α − 1| → 0
したがって，イ = αn |α − 1| （または）αn |a1 − α|（または）αn (1 − α)
1
(n → ∞)

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