微分積分学 A (担当：浅岡) 試験問題

微分積分学 A (担当：浅岡) 試験問題
以下では，R で実数全体のなす集合を表わすものとする．
[1] 次をみたす 8 次多項式 P (x) を求めよ．
exp(x3 sin x) = P (x) + o(x8 )
[2] R 上の C 3 級函数 g と x ∈ R に対して，次が成り立つことを示せ．
1
(g(x + 3t) − 3g(x + 2t) + 3g(x + t) − g(x))
t→0 t3
g (3) (x) = lim
ただし，f (3) は f の 3 階微分を表すものとする．
[3] ベキ級数
∞
∑
(3n)! n
z の収束半径を求めよ．
n!(2n)!
n=0
[4] R 上の函数 h を
∫
x2
(t2 − 2)2014 dt
h(x) =
2x−1
で定めたとき，h の x = 1 における 2 回微分 h′′ (1) を求めよ．
[5] 次の広義積分が収束するか，そうでないかを理由をつけて答えよ．
∫ ∞
dx
2 + x15
0
∞
[6] 上に上下に有界な実数列 (an )∞
n=1 , (bn )n=1 に対して，
lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn
n→∞
n→∞
n→∞
∞
であることを証明せよ．また，上に上下に有界な数列 (an )∞
n=1 , (bn )n=1 で，
lim sup(an + bn ) = lim sup an + lim sup bn
n→∞
とならない例を挙げよ．
n→∞
n→∞
微分積分学 A 中間試験略解
(注) あくまで略解なので，細部は自分で埋めること．
[1] Taylor 展開を考えると，
x6
x8
+
+ o(x8 ),
6
120
x2
+ o(x2 )
exp(x) = 1 + x +
2
x3 sin x = x4 −
なので，
)
(
)2
(
x6
x8
1
x6
x8
4
4
+
+
x −
+
+ o(x8 )
exp(x sin x) = 1 + x −
6
120
2
6
120
x6
61 8
= 1 + x4 −
+
x + o(x8 ).
6
120
3
[2] Taylor の定理より，x ∈ R，k = 1, 2, 3 に対して次をみたす θk ∈ (0, 1)
が存在する：
g(x + kt) = g(x) + g ′ (x)(kt) +
g ′′ (x)
g (3) (x + θk t)
(kt)2 +
(kt)3 .
2
6
従って，
lim
1
t→0 t3
(g(x + 3t) − 3g(x + 2t) + 3g(x + t) − g(x))
)
1 ( (3)
27g (x + 3θ3 t) − 24g (3) (x + 2θ2 t) + 3g (3) (x + θ1 t)
t→0 6
= g (3) (x).
= lim
[3] d’Ambert の判定法により，収束半径は
(3n)! (n + 1)!(2n + 2)!
4
·
= .
n→∞ n!(2n)!
(3n + 3)!
27
lim
[4] H(x) =
∫x
0
(t2 − 2)2014 dt と置くと,h(x) = H(x2 ) − H(2x − 1), H ′ (x) =
(x2 − 2)2014 なので，
h′ (x) = H ′ (x2 ) · (x2 )′ − H ′ (2x − 1) · (2x − 1)′
= 2x(x4 − 2)2014 − 2(4x2 − 4x − 1)2014 .
微分すると，
h′′ (x) = 2(x4 − 2)2014 + 2x · 2014(x4 − 2)2013 · 4x3
− 2 · 2014(4x2 − 4x − 1)2013 · (8x − 4).
従って，h′′ (1) = 2.
∫ ∞
1
dx
[5]
は区間 [0, 1] 上で連続なので，広義積分
が収束す
15
2+x
2 + x15
1
1
1
るかどうかを調べればよい．x ≥ 1 で不等式
< 15 が成り立ち，
15
2+x
x
∫ ∞
∫ ∞
dx
dx
は収束するので，
も収束する．
広義積分
x15
2 + x15
1
1
[6] lim supn→∞ an = α, lim supn→∞ bn = β とおく．各 ϵ > 0 に対して，自
然数 nϵ で，
「n ≥ nϵ ならば an < α + (ϵ/2), かつ，bn < β + (ϵ/2)」となる
ものを取ることが出来る．このとき，n ≥ nϵ ならば an + bn < (α + β) + ϵ
となるので，lim supn→∞ (an + bn ) ≤ α + β.
等号が成立しない例：an = (−1)n , bn = (−1)n+1 とすれば，lim supn→∞ an =
lim supn→∞ bn = 1. しかし，すべての n について an + bn = 0 なので，
lim supn→∞ (an + bn ) = 0.

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