通常試験，中間試験の問題と解答

確率論 2 期末試験
(2014 年度)
森真
以下では，Ω = [0, 1]，P は通常の長さを表すとします．
∫
1. X(ω) = ω とします． X dP をルベーグ積分の定義にしたがい求めて
ください．
解

[ k , k+1 )
k
k+1
2n 2n
{ω ∈ Ω : n ≤ X(ω) <
}
=
n
∅
2
2
0 ≤ k ≤ 2n
k > 2n
であるから，単関数の和は
2
∑
k
2n (2n − 1)
× 2n =
× 2−2n
n
2
2
n
k=0
であるから，極限は
1
2
2. X1 , X2 , . . . を確率変数とします．このとき，
(a) supn=1,2,... Xn が確率変数であることを示してください．
(b) lim supn→∞ Xn が確率変数であることを示してください．
(c) limn→∞ Xn が各点収束するならばが，これが確率変数であること
を示してください．
解 ∀a ∈ R について
{ω ∈ Ω : Y (ω) ≤ a} =
∞
∪
{ω ∈ Ω : Xn (ω) ≤ a}
n=1
より可測である．
lim sup Xn (ω) =
n→∞
inf
sup Xn (ω)
k=1,2,... n≥k
より lim supn→∞ Xn ( は可測である．
極限が存在するならば
lim Xn (ω) = lim sup Xn (ω) = lim inf Xn (ω)
n→∞
n→∞
n→∞
より可測である．
3. X1 , X2 をそれぞれ 1 回目，2 回目の硬貨投げを表す確率変数とします．
(a) これらの確率変数を可測にする σ–algebra B を定めてください．
1
(b) Y (ω) = max{X1 (ω), X2 (ω)} とするとき，E(Y ) をルベーグ積分
で求めてください．
解 B は [0, 14 ,[ 14 , 12 ), [ 21 , 34 ),[ 34 , 1] の 4 つの集合の和集合から作られる 16

0 ω ∈ [0, 1 )
4
Y (ω) =
1 ω ∈ [ 1 , 1]
4
個の元からなる．
であるから，
E[Y ] = 0 ×
1
3
3
+1× =
4
4
4
4. X1 , X2 , X3 , . . . を硬貨投げの列とします．このとき，
(a) モーメント母関数 MXn (t) = E[etXn ] を求めてください．
(b) Yn (ω) = X1 (ω) + · · · + Xn (ω) とするとき，MYn (t) = E[etYn ] を
求めてください．
(c) Zn (ω) =
Yn (ω)
n
−
1
2
とするとき，MZn (t) = E[etZn ] を求めてくだ
さい．
(d) et をテイラー展開して，limn→∞ MZn (t) を求めてください．これ
は何を意味しますか．
解
(a)
∫
MXn (t) =
etXn dP = et ×
(b)
MYn (t) =
n
∏
1
1
et + 1
+ e0 × =
2
2
2
(
MXi (t) =
i=1
et + 1
2
)n
(c)
tZn
MZn (t) = E[e
] = E[e
t(Yn /n−1/2)
]=e
−t/2
MYn
(t)
n
=e
−t/2
(
et/n + 1
2
(d) テイラー展開すると上の式は
)n
(
t
+ ···
→ e−t/2 et/2 = 1
e−t/2 1 +
2n
したがって，モーメント母関数は定数 0 に対応する確率変数のモー
メント母関数 1 に収束する．すなわち，大数の法則
lim
n→∞
を表している．
2
1
Xn
=
n
2
)n
確率論 2 中間試験
(2014 年度)
森真
1. 確率空間 (Ω, B, P )，確率変数 X ，確率分布 µX についてその定義を述
べてください．さらに，A1 , A2 , . . . ∈ B について，A1 ⊂ A2 ⊂ · · · な
らば
lim P (An ) = P
∞
(∪
n→∞
)
An
n=1
を定義にしたがいきちんと証明してください．
解

A
1
Bn =
A \A
n
n=1
n≥2
n−1
とおくと，Bk ∈ B かつ B1 , B2 , . . . は互いに素でり，An =
∪n
k=1
Bk で
あるので
P
∞
(∪
)
An
= P
n=1
= P
= P
(
N
∪
lim
N →∞
(
lim
∞
(∪
)
n=1
N
∪
N →∞
An
Bn
)
n=1
Bn
)
n=1
=
∞
∑
P (Bn )
n=1
=
=
=
lim
N →∞
N
∑
lim P
N →∞
P (Bn )
n=1
N
(∪
Bn
)
n=1
lim P (AN )
N →∞
2. 硬貨 2 回投げの確率空間と，確率変数 X1 , X2 および確率分布 µX1 , µX2 ,
µ(X1 ,X2 ) を具体的にあたえてください．
解 Ω は 2 回硬貨投げの空間であるから，例えば Ω = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}
として，B は Ω の部分集合全体の 16 個の元から成る．
X1 ((0, 0)) = X1 ((0, 1)) = 0,
X1 ((1, 0)) = X1 ((1, 1)) = 1
X2 ((0, 0)) = X2 ((1, 0)) = 0,
X2 ((0, 1)) = X2 ((1, 1)) = 1
3



0


µX1 ((−∞, a]) = µX2 ((−∞, a]) =
1
2


1
a<0
0≤a<1
a≥1
µ(X1 ,X2 ) ((0, 0)) = µ(X1 ,X2 ) ((0, 1)) = µ(X1 ,X2 ) ((1, 0)) = µ(X1 ,X2 ) ((1, 1)) =
1
4
3. 直径 30cm の的があります．どの点に当たる確率も等しいとして，中心
からの距離を与える確率変数 X を考えます．確率空間 (Ω, B, P ) と確率
変数 X ，確率分布 µX を構成してください．
解 Ω は的，X : Ω → [0, 15] が確率変数．{ω ∈ Ω : X(ω) ≤ a} は的の中
心から半径 acm の円の内部を表しています．
P {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ a} = µX ((−∞, a]) =



0


a2
 225


1
a<0
0 ≤ a < 15
a ≥ 15
4. じゃんけんをして，勝ったらプラス一歩，負けたらマイナス一歩，あい
こならそのまま，という確率変数 X の確率空間 (Ω, B, P ) と確率分布
µX を構築し，期待値 E(X) をルベーグ積分を用いて求めてください．
解 10 月 24 日の解答参照．
∫
E(X) =
X dP
= (+1) × P {ω ∈ Ω : X(ω) = +1} + (−1) × P {ω ∈ Ω : X(ω) = −1}
+0 × 1 × P {ω ∈ Ω : X(ω) = 0} = 0
4
9 月 19 日

Ce−x + De−2x
fX (x) =
0
を密度関数にもつ確率変数の期待値が
2
3
x>0
x≤0
のとき，C と D を求めてください．
この確率変数の分散はいくつか．
解
∫
∞
f (x) dx =
∫
0
∞
x f (x) dx =
0
を解いて，C = 31 , D = 43 ，分散は
1
(2C + D) = 1
2
1
2
(4C + D) =
4
3
5
9
9 月 26 日
直径 30cm の的があります．どの点に当たる確率も等しいとして，中心か
らの距離を与える確率変数 X を構成してください．{ω ∈ Ω : X(ω) ≤ 5} は
どのような集合でその確率はいくつかを求めてください．
解 Ω は的，X : Ω → [0, 15] が確率変数．{ω ∈ Ω : X(ω) ≤ 5} は的の中心
から 5cm 以内に当たる事象を表しています．
P {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ 5} =
52 π
1
=
152 π
9
10 月 3 日
四面体のサイコロの各面に 1 から 4 の数字が書いてある．このサイコロに
対応する確率変数の定義域と値域，可測集合全体および確率分布を求めてく
ださい．
解定義域はサイコロ，値域は {1, 2, 3, 4}，可測集合は 16 個ある．確率分
布は µX ({i}) =
1
4
(i = 1, 2, 3, 4)
10 月 10 日
確率空間 (Ω, B, P ) の定義を述べてください．さらに，確率変数 X ，確率
分布 µX について説明してください．
5
10 月 24 日
じゃんけんをして，勝ったらプラス一歩，負けたらマイナス一歩，あいこ
ならそのまま，という確率変数 X の確率空間 (Ω, B, P ) と確率分布 µX を構
築し，それらが仮定をみたしていることを示してください．
解いろいろあるでしょうが自分の手と相手の手を組み合わせて
Ω =
{{ グー，グー }, { グー，チョキ }, { グー，パー }, { チョキ，グー }, { チョキ，チョキ }, { チョキパー
{ パー，グー }, { パー，チョキ }, { パー，パー }}
とすると，
W
= {{ グー，チョキ }, { チョキパー }, { パー，グー }},
L = {{ グー，パー }, { チョキ，グー }, { パー，チョキ }},
E
= {{ グー，グー }, { チョキ，チョキ }, { パー，パー }}
とおいて，
B = {∅, W, L, E, W ∪ L, W ∪ E, L ∪ E, Ω}
などとなる．
{ω ∈ Ω : X(ω) ≤ a} =
1
P (W ) = P (L) = P (E) =
3



∅




{ω ∈ Ω : X(ω) = −1} = L ∈ B


{ω ∈ Ω : X(ω) = −1, 0} = L ∪ E ∈ B




{ω ∈ Ω : X(ω) = −1, 0, 1} = Ω ∈ B


0 a < −1




 1 −1 ≤ a < 0
µX ((−∞, a]) = 3
2


0≤a<1

3



1 a ≥ 1
a < −1
−1 ≤ a < 0
0≤a<1
a≥1
11 月 7 日
硬貨を 2 枚投げて表の枚数を数える確率変数 X の確率空間を構成し，確率
∫
X dP をルベーグ積分を用いて計算し
分布 µX を求めてください．さらに
てください．
解
Ω = {(表表), (表裏), (裏表), (裏裏)}
6
で，
B
= {∅, {(表表)}, {(表裏), (裏表)}, {(裏裏)},
{(表表), (表裏), (裏表)}, {(表裏), (裏表), (裏裏)}, {(表表), (裏裏)}, Ω}
1
1
1
, P {(表裏), (裏表)} = , P {(裏裏)} =
4
2
4



∅
a<0




{(裏裏)}
0≤a<1
{ω ∈ Ω : X(ω) ≤ a} =


{(表裏), (裏表), (裏裏)} 1 ≤ a < 2



Ω
a≥2
P {(表表)} =
すべて B に含まれるので X は可測である．



0 a<0




1 0 ≤ a < 1
µX (−∞, a]) = 4
3


1≤a<2

4



1 a ≥ 2
∫
X dP
=
0 × P {(裏裏)} + 1 × P {(表裏), (裏表)} + 2 × P {(表表)}
=
0×
1
1
1
+1× +2× =1
4
2
4
11 月 14 日
X を確率空間 (Ω, B, P ) の上の確率変数とします．このとき，
X + (ω) = max{X(ω), 0}
が確率変数であることを示してください．
解 X は確率変数なので， ∀a ∈ R について
{ω ∈ Ω : X(ω) ≤ a} ∈ B
したがって
{ω ∈ Ω : X + (ω) ≤ a} =

∅
a<0
{ω ∈ Ω : X(ω) ≤ a} a ≥ 0
どちらも B に含まれているので X + は確率変数である．
7
11 月 28 日
X1 , X2 , . . . を確率変数とするとき Y (ω) = supn=1,2,... Xn (ω) は確率変数で
あることを証明してください．
解 ∀a ∈ R について
∞
∪
{ω ∈ Ω : Y (ω) ≤ a} =
{ω ∈ Ω : Xn (ω) ≤ a}
n=1
より可測である．
12 月 5 日
∫
Ω = [0, 1], P は通常の長さのとき，X(ω) = 2x とするとき， X dP をル
ベーグ積分で求めてください．
解
n
2×2
∑−1
n=0
2∑
−1
(n + 1
n )
2n+1 (2n+1 − 1) 1
n
n
×
−
=
=
n
n+1
n+1
2n+1
2
2
2
2
2
22n+1
n=0
n+1
は n → ∞ で 1 に収束
12 月 19 日
均等でない硬貨投げ X
値
0
1
確率
q
p
のモーメント母関数を求め，さらにこの硬貨を n 回投げたときの表の回数に
対応する確率変数 Y のモーメント母関数を求めてください．さらに p =
したとき，Y のモーメント母関数の極限を求めてください．
解
e0 q + et p
MX (t) =
MY (t)
= (q + et p)n
これに代入すると
(
λ
λ )n (
λ(et − 1) )n
1 − + et
= 1+
→ exp[λ(et − 1)]
n
n
n
ところでポアソン分布のモーメント母関数は
∞
∑
n=0
ent e−λ
λn
= e−λ exp(λet )
n!
となって一致する．
8
λ
n
と
1月9日
硬貨 2 回投げの確率空間と，確率変数 X1 , X2 および確率分布 µX1 , µX2 ,
µ(X1 ,X2 ) を具体的にあたえてください．
解 Ω は 2 回硬貨投げの空間であるから，例えば Ω = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}
として，B は Ω の部分集合全体の 16 個の元から成る．
X1 ((0, 0)) = X1 ((0, 1)) = 0,
X1 ((1, 0)) = X1 ((1, 1)) = 1
X2 ((0, 0)) = X2 ((1, 0)) = 0,
X2 ((0, 1)) = X2 ((1, 1)) = 1



0 a<0


µX1 ((−∞, a]) = µX2 ((−∞, a]) = 21 0 ≤ a < 1



1 a ≥ 1
µ(X1 ,X2 ) ((0, 0)) = µ(X1 ,X2 ) ((0, 1)) = µ(X1 ,X2 ) ((1, 0)) = µ(X1 ,X2 ) ((1, 1)) =
1
4
1 月 16 日
X1 , X2 , . . . を値を ±1 にとる硬貨投げとします．Yn =
と分散を求めてください．
解 E(Yn ) = 0, V (Yn ) = 1
9
X1 +···+X
n
√
n
の期待値

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