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可算和定理
alg-d
http://alg-d.com/math/ac/
2014 年 9 月 27 日
命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択
公理が無ければ証明できない．
命題. 選択公理 =⇒ 可算和定理
証明. {Xn }∞
n=0 を可算集合の族とする．簡単のため，各 Xn は可算無限集合で，n ̸= m な
らば Xn ∩ Xm = ∅ であるとする．Xn が可算無限だから，An := {f : N −→ Xn | f は全
単射 } =
̸ ∅ である．よって選択公理により
を使って f : N × N −→
∞
∪
(fn )∞
n=0
∈
∞
∏
An を取ることができる．これ
n=0
Xn を f (n, k) := fn (k) で定めれば，f は全単射である．
n=0
定理. 「R =
∞
∪
Xn ，|Xn | = ℵ0 とは書けない」は ZF で証明できない．
n=0
証明. M を ZFC + GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集
合を P とする．
• dom(p) ⊂ ω × ω ，|dom(p)| < ∞
• ⟨n, i⟩ ∈ dom(p) に対して p(n, i) ∈ (ωn )M ．
P に順序を ≤ := ⊃ で入れる．
G := Aut(ω)ω として，g = (gk )k∈ω ∈ G，p ∈ P に対して g(p) := {⟨n, gn (i), α⟩ |
⟨n, i, α⟩ ∈ p} と定める．n ∈ ω に対して Hn := {g = (gk )k∈ω ∈ G | k < n に対して
gk = id} と定める．F := {H ⊂ G | H は部分群，ある n ∈ ω が存在して Hn ⊂ H} とす
る．F は normal フィルターであることが容易に分かる．
1
M 上 P ジェネリックな G を取り，F から定まる symmetric モデル N ⊂ M [G] を取
る．Bm := {p ∈ P | dom(p) ⊂ m × ω} と定める．p ∈ Bm ，g ∈ Hm に対して g(p) = p
である．
n ∈ ω に対して
Σn := {σ ∈ M P | dom(σ) ⊂ ω
ˇ , ran(σ) ⊂ Bn }
Rn := {⟨σ, 1⟩ | σ ∈ Σn }
X := {⟨Rn , 1⟩ | n ∈ ω}
とおく．Rn , X は P-名前である．g ∈ G，σ ∈ Σn とする．p ∈ Bn ならば g(p) ∈ Bn
だから，g(σ) = {⟨m,
ˇ g(p)⟩ | ⟨m,
ˇ p⟩ ∈ σ} ∈ Σn である．よって任意の g ∈ G に対して
g(Rn ) = Rn ，即ち sym(Rn ) = G となる．明らかに dom(Rn ) ⊂ HS だから，Rn ∈ HS
である．故に X ∈ HS も分かる．
Rn := val(Rn , G)，X := val(X, G) = {Rn | n ∈ ω} と置く．X ∈ N である．故
∞
∪
∪
に X =
Rn ∈ N となる．任意の実数 (即ち，ω の部分集合) x ∈ N を取る．
n=0
val(x, G) = x を満たす P-名前 x ∈ HS を取る．dom(x) ⊂ ω
ˇ としてよい．x ∈ HS だ
から，ある n ∈ ω が存在して Hn ⊂ sym(x) となる．よって，ran(x) ⊂ Bn でなけ
ればならない．従って x ∈ Σn となり，x = val(x, G) ∈ Rn が分かる．以上により，
ω N
(2 )
⊂
∞
∪
Rn である．
n=0
よって，各 Rn が N で可算であることを示せばよい．定義より，M の中で |Σn | =
|P(ω × Bn )| = (2ωn )M = (ωn+1 )M である (M で GCH が成立することに注意する)．
α, sα ) | α ∈ (ωn+1 )M } と置け
よって Σn = {sα | α ∈ (ωn+1 )M } と書ける．h := {op(ˇ
ば h := val(h, G) = {⟨α, val(sα , G)⟩ | α ∈ (ωn+1 )M } は全単射 h : (ωn+1 )M −→ Rn とな
る．即ち，N の中で |Rn | = |(ωn+1 )M | である．
n ∈ ω を取る．
fn := {⟨op(ˇi, α
ˇ ), p⟩ | i ∈ ω, p ∈ P, p(n, i) = α} ∈ M P
とする．g = (gk )k∈ω ∈ Hn+1 に対して
g(fn ) = {⟨op(ˇi, α
ˇ ), g(p)⟩ | i ∈ ω, p ∈ P, p(n, i) = α}
= {⟨op(ˇi, α
ˇ ), p⟩ | i ∈ ω, p ∈ P, g −1 (p)(n, i) = α}
= {⟨op(ˇi, α
ˇ ), p⟩ | i ∈ ω, p ∈ P, p(n, gn (i)) = α}
= {⟨op(ˇi, α
ˇ ), p⟩ | i ∈ ω, p ∈ P, p(n, i) = α}
= fn
2
だから fn ∈ HS である．fn := val(fn , G) ∈ N とすれば fn は ω から (ωn )M への全射で
ある．
. .
. ) 任意の α ∈ (ωn )M を取る．D := {p ∈ P | ある i ∈ ω が存在して p(n, i) = α}
と置けば D ⊂ P は稠密である．G が M 上 P-ジェネリックだから p ∈ D ∩ G が取れ
る．このとき p(n, i) = α とすれば fn (i) = α である．
故に N において |Rn | = |(ωn )M | = ω である．
系. 可算和定理は ZF で証明できない．
系. Lebesgue 測度の完全加法性は ZF で証明できない．
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