inupri.web fc2 com) 赤阪 正 純 (httpン ク 阪大入試問題紹介 大阪大学 か らのお便 り 薇 ′ ま_ と ■肇力虐ッか夕∼ 大阪大学か ら次 の『 お便 り』が届 きました 今 の段階で何 とか解読 で きそ うです 挑戦 してみ ましょう 大阪大学入試問題 (1996年 度前期理系) πを 2以 上の 自然数 とする 次 の問いに答えよ (1)不 等式 ηlog +1<Σ-1 logた 27-π <(π +1)log π―π+1 が成 り立 つ こ とを示せ 々 4.義 1 (2)極 限値 lim(π !)2 bg2を 求 め よ . トク 考え方 (1)の 不等 式 を見 た と きに 「面 積 で 証 明 しよ う」 と思 うか ど うか ,力 命 の 分 かれ道 で す '運 そう 思 えば内容的には授業でやった問題 と同 レベルで しょ 不等式 を利用 して極限値 を求める問題ですか ら,言 う 一 (1)下 図 の長方形 の面積 の総和 は斜線部分 の面 積 よ りも大 きいので Iπ 図 の網 目部分の面積 は長方形の面積 の総和 よ りも 大 きいので , bg″ ご″ <bg2+bg3+… [″ ま で も く で 無 」 す クフ [坐嚢鰹黒 ム フ ム 10g“ ― ″ ]￨く bg ttog評 十 bgη (,生 10gた 210gλ 2 η-1 た=2 た=2 πlog π―η+1<Σ logた log l=0な ので,右 辺に加えて πlog η一 π+1<Σ た-1 , …+bg O― D<∫ ″ bg″ α ″ <[″ 10g″ ― ″ ]￨ Σ log λ<π log π―π+1 log πを両辺 に,log , l=0を 左辺だけに加えると , Σ log々 <(π +1)log π一 π+1 logた 々-1 た‐ 1 たなので ,(1)の 不等 式の各項 を πlogれ で 割 る と , π+l π 風 ←―″疑L場 )=拠 一警 〔 )執 π-1 πlog π 理け ―′饗 場 蝿 著 )記 +券 〔 讐 )→ ル ヽ 肝 鋭 Ｗ 舶リ 鶴 林ら したがって,以 上より,π log π―π+1<Σ logた く (21+1)log π―π+1が 成立する inupri.web fc2.com) 赤阪 正 純 (httpン ク 阪大入試問題紹介 し た が っ て ミ の ウ チ よ 原 理 り ,ハ サ ,肛 颯 錢蒻ムbgλ )=1 つ 脇← よ Ogい )赫 の 脇0)赫 =a )=1な ■ ・ (易 大 阪大学入試問題 (2014年 度前期理系) の整数部分を求めよ 考え方 なんとシンプルで短文の問題なので しようか Σ :ち ∼ ,■ 周思や しかも発想力を要する問題です 常識的 に考 えて の値 を実際に計算す ることは不可能 ですね 「ある数 4の 整数部分が π で ある」 とい うことを式 で表す とどうなるので しようか それは 「π ≦ A<277+1が 成立する」です つ まり Σ を連続する :島 「 2整 数 で挟 めば よいのです となれば,や っぱ り 面積比較 Jで す 以下,Ⅳ =40000と します 下 図 の 長 方形 の 面積 の 総 和 は斜線 部 分 の面積 よ り も大 きいので , ″ 鶏 記 壇 <2VT-l θ -1本 じ―pJl,? , :よ t・ 1バ ヽく,ゃ タ た が っ て は あ こ と し り 整 る が わ か る 数 部 分 ,398<嵯 為 ,嵯 場の 葬 」 <399と な 2V40000-1=2・ 200-1=399 α α″ =40000を 代入 して数値計算す ると 40001-1)>2(V40000-1)=2・ 199=398 √ 一 壺 ﹁ ― Ⅳ 卜 1-1) √ 汀私 ︲一 2(V′ 2(γ 島 ム 上Л ここで,Ⅳ <1+[2v7]1 与 ザ ギ 齢 [2V7]I+1<,ま 上 √ ＜ N+1得 し た が っ て ご ″ <島 + 島… +鳥 < よ り ,以 上 ,∫ げ 上√ ＜ ＜ ＋ ＋ め １一 ＜ 上√ ″ α ︲ Ｊ １一 √ ＋ Ⅳ β 端 鳩 , 編 ︲一 も大 きい ので 下図 の網 目部 分 の面積 は長 方形 の面積 の総 和 よ り Tt::: 398で . 済Ъ ゃ 林 壌 窮 1ヽ `シ
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