赤阪 正 純 (httL“ nupri Web fc2.com) 面積 の基礎 (1) ψ ね † ⑬ ≡ ゝ 郷 徹太 1 は じめ に 2 下図 の面積 はどうやって求 めるので しょうか 与 =1ト ″軸 または υ軸 とで 囲 まれた部 分 の面積 エ) ″ 軸 や υ軸 とで囲 まれた部分 の面積 を求 める間 題 は基本中の基本 です しか し,υ 軸 とで囲 まれた部分の面積 を難 しく感 じる人が多い ようですが ,「 細か く切 って寄 せ集め ， ま ︲ で イ Ⅱ 数学 る」 とい う積分の本質 に従 えば,ど うって ことあ り たま 1● ま 特にあまり気にせずに , ません.そ うい う人 は首 を横 に 90° 傾 けて眺めれば よいで しょう Point ノ(″ )α ″ ″ 軸 とで 囲 まれた部 分 の 面積 う とご″で という式で求めてました 「/(″ )を ∫ 単純に挟んだだけJと 思うかもしれませんが,こ の 発想 だ と,積 分 にお ける 「面積 」 の 本質 が 見 えて き S=Jlら υ α ″ ta・ ませ ん の 量 ::サ υ軸 とで 囲 まれ た 部分 の面積 この 式 は次 の ように解釈 します 斜線部 の 面積 を求め るため に ,ま ず細 か く切 って S=J:ど か ら寄せ集 め る,と 考 えるので す 」 =‐ ″ α υ i・ ゝメ:の 構昴 l(・ ) 'あ セ 考え Jす 。 まずは,グ ラフを描 く必要があ りますが,あ くま でも面積 を求めることが目標なので,鯰 α J″ ι ″ 細かく切つた「短冊Jl枚 を,縦 の長さノ(″ ),横 の 長 さ ご″ の 長 方形 と考 え ます ,す る とそ の面積 は /(″ )× α ″(- χラ 1御 ヒ 鰐 ミ この「短冊Jの 面積 /(″ )α ″をαからみまで寄せ 集 めれ ば よい ので テ ル ∫ン :イ , S=Jlみ /(″ )α ″ 案語 のSaい :レ (0 宮Sム 9き 談史 となるのです lt 7ヽ 1ま 面積 を求める根本原理 は 「細 か く切 って寄せ 集 め る」 とい うこと この考 え方 は とても重要なので しっか りとイ メージしておこう , 例 題 y=log″ まれ た 部 分 の 面 積 を 考え方 ″軸 ,υ 軸,υ , 3通 りの発想で求 め よ 求 め る面積 は図 の斜線部分 です .自 由 な発想 で求 めてみ よ う しょう ? =1で 囲 3通 りくらい思 いつ くで 3過 1,t… イ I島 タ 1 赤阪 正 純 (htt働 nupri web fc2.com) (2) 面積 の基礎 “ υ ｌ l″ 軸 に垂直 に切 って寄せ 集める ① 一媚 。 :フ ー a く ′ ツ カゃψ 1 例 題 υ=F,″ =1,″ =2,″ 軸 υ =log″ ￨ わいたも 、 1ソ 考え方 υ =R層 の グ ラ フが か ける で し ようか 別 にグ ラ フの 形 が全 くわ か らな くて も ,1≦ ″ ≦ 2 において υ >0で あ るか ら,面 積 は ムフム S=J01lα ″ 十1θ (1-10g″ )α ″ J12ャ υ ｌ 全体か ら抜 くJと い う発想 も Z絲 = [毒 =[:″ :]:1) [1:勇 [[i』 il・ でもせ っか くなのでグラフについて考察 し 疹曰 υ てみ よう υ=ャ7⇔ 上図 の大枠 で囲 まれた長方形か ら点線部分 を抜 け じ贅 ■9 ・】∼ たヽ ネい〕 3=″ υ ■)ユ タ S =1× 0-」ialog″ 'も キ デ ッ tが ス ソ ご″ 9- 十 ・ =77の グ ラ フは υ =“ 3の なので,υ グラフを υ =″ に関 して対称移動 したもの υ軸 に垂 直 に切 って寄せ 集める ■¨鮨●２ . ty である ことが わか りま す (υ =α 3の ″ と yを 入れ換 えた も のが y3=″ ″ ａＦ ， 一謝 ”ン ︶ ３ ″ ⇒苧 ヽ ， 訓 03 :「二》こょ せμ _ も も あ り ま 微 分 減 必 増 要 y=log″ の1で す ばよヽヽ 履〕 =fL(2:一 . 7)ひ すね うヽた 7α ″ `)ι 02「 ″ な お ,定 義 域 は全 て の 実数 にな ります だか ら). ￨ υ =log″ ″ =ο υ よ り ― S=Jll′ 藻 d , υ ご υ 終 ヽ ゛ヽ ‐ , ￨ ■ これがベ ス トの解法かも し する必要はあ りません あ くまでも,ザ ックリ言え ば,積 分区間内で ″軸 よりも上か下か,だ け分 かれ ばよいのです ― となると,ま ず ,″ 軸 との 交点 は , しっか りと理解 し, どの方法でも求め られ るように =0よ り,″ =′ ,″ =1. さ らに ,1<″ <´ にお いて ″ -0<0, つまり log″ >0だ か ら,(″ -0)log″ <0 y=(″ ― ο)log″ のグラフは 1<″ <ο におい なっておこう て ″ 軸 よ りも下 にな ることがわか ります (″ れ ませ ん 以 上の 3手 法 は面積 を求める ときの基本なので . r , ― ο)log″ , 修警勉嚢寡 1 ′ J り した ,ち ,2 t↓ 考え方 前間 と同様 に,グ ラフの形 を正確 に把握 ョコで切 ると,積 分区間 を分ける ことな く 一気 に計算 できますね υ=(″ 一 ο)log″ と″軸 El嗚 く ″注 1 例題 よって 赤阪 正 純 (htt"“ nupri web fc2 com) O― Jlθ =一 I° (″ (″ ―ο ″ )log″ α 一 の 10g″ ご″ 2_。 ″ 10g'α ″ )′ し lθ (:″ =_[(:″ 2_ι =― υ =1, υ 考え方 一度 は経験 しておきたい重要問題 です まず は 「全体 か ら抜 く」 とい う発想で計算 してみ . θ ″ ― ″ 卜 )÷ )10g″ ∫ ― ο +」12(1)″ ― ′ =一 (:′ ― )d″ 卜 2-ο″ =:′・ ]〔 υ =sin″ 例 題 い1年 k) ― iり 、 自イ 懲― (3) 封悧 部う綺布,1 , ″ ， ２ ≦一１ 一 ｏ ＜ 〓 面積 は 面積 の基礎 2__。 (寸 ;・ つ 2)1。 gο [1}″ ]〔 =:。 2+:。 2_。 2+:_。 図 の 大 枠 の長 方 形 か ら点 線 部 分 を 抜 け ば よ ヽヽ =_:。 2_。 十 : 困 曰 パ ソ コ ンで 描 く と こん な 感 じ あることにも注意 =十 ∞で ′ )bg″ よ■ 0(″ しよう . ① 求 め る面積 ヽ ︱ ′ ｊ ２ 二︲ 一 編２ ｌ 州︲ 一諦 ＞ 一 ２ ″ α １ Ｓ ／ として 計 うって こ とない計算 ですが ,暗 記 していない と部分 積分 をす ることになるし,万 が一 の計算 ミスを考慮 して,次 のよ うに 「全体か ら抜 く」 とい う発想が よ υ=sin″ の場合,″ 長方形 か ら点線部 分 を その場合 は,置 換積分法 によって υ の積 分 を ″ 抜く 氏 ０ ・ １ 一 一 一 〓 Ｓ ο″α″ 'l tの や リ カメ =(υ の式),つ まり,露 υの関数 で簡単 に表す ことがで きません Oy=sin″ αy=cos″ 図 の大枠 の 特 に υ軸 に の積分 に変換 して計算す る ことにな ります ;tゃ Jn― ょり α″. ヽ ね . 垂直 に切 って求める方法を考 えてみ よう いで しょう 'か 一 ″ ｎ る場合 は どのよ うになるで しようか 算 します log″ の不定積分 を暗記 して いる人 はど JIく 7J・ のがベ ス トですが,も し真面 目に細 か く切 って求 め ″ =10g υ ・ レ クう 名 , ヽ C「 たヽ =セ この ように 「全体か ら抜 く」 という発想 で求 める S=_lθ ″ ごυ = 」121ogyご υ ① 一 二４ 卸 一 よ り, π 暉 yで 求 ″ ご め ら れ ま す ″ ⇔ υ ==σ ιフォマヵセ∼ aゅ _ υ 軸 とで 囲 まれ た 面積 な ので ,S= 考え方 Jiθ ￨ ﹁ ﹄ ｒ麻 上 ２ υ =〆 と υ=′ ,y軸 1 例題 一 ２ 一 〓 ε 乃 ぃ ,._ 一 あ りませ ん １ あ ま り気 にす る必 要 は Sは ︲ ゴ ︲ 一 一 π 面 積 を求 め るだ けな ら × , 一 一 一 二 Ｓ には注意 が必 要 で すが ２ ４ π４ ５一 二２ π一 １ グ ラ フ を正 確 に 書 く 年 う撫 キア t347J 、 ttτ β 切 3'ン タ “
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