解説 - H.Yagyu Web

高３数 γ
No. 23
種々の問題
（理系問題演習／柳生）
2014/11/17
（平成２６年千葉大・医）
問 52
関数 f (x) = xx (x > 0) と正の実数 a について，次の問いに答えよ。
1
3
(1) ! x ! における f (x)f (1 − x) の最大値および最小値を求めよ。
4
4
1
3
f (x)f (1 − x)f (a)
(2) ! x ! における
の最小値を求めよ。
4
4
f (ax)f (a(1 − x))
(解) (1) g(x) = f (x)f (1 − x) とおく。log g(x) = log f (x) + log f (1 − x) = x log x + (1 − x) log (1 − x)
g ! (x)
この両辺を微分すると
= log x − log (1 − x)
g(x)
よって g ! (x) = xx (1 − x)1−x {log x − log (1 − x)}
1
log x = log (1 − x) = 0 ⇐⇒ x =
である。g(x) の増減表は以下の通り。
2
1
1
3
x
···
···
√
4
2
4
4
27
1
!
g (x)
−
+
よって，最大値は
, 最小値は · · （
· 答）
√
√
4
2
4
4
27
1
27
g(x)
%
&
4
2
4
(2) f (ax) = (ax)ax = (aa )x (xx )a = f (a)x f (x)a ,
f (a(1 − x)) = (a(1 − x))a(1−x) = (aa )1−x ((1 − x)1−x )a = f (a)1−x f (1 − x)a
だから，
f (x)f (1 − x)f (a)
f (x)f (1 − x)f (a)
=
= {f (x)f (1 − x)}1−a = g(x)1−a
x
f (ax)f (a(1 − x)) f (a) f (x)a f (a)1−x f (1 − x)a
#√ $1−a
! "1−a
4
1
27
と変形できる。よって，最小値は 0 < a ! 1 のとき
, 1 < a のとき
··（
· 答）
2
4
（平成２６年京都府立医大）
問 53
a, b を正の実数とする。e は自然対数の底とし，必要ならば 2.7 < e を用いてもよい。
(1) a <√b とする。このとき
ab = ba ならば 1 < a < e < b であることを証明せよ。
√ 7
√ √5
(2) 5 と 7 の大小を比較せよ。
log a log b
(解) (1) ab = ba ⇐⇒
=
である。
a
b
log x
log x − 1
f (x) =
(x > 0) とおく。f ! (x) =
であるから，f (x) の増減表は以下の通り。
x
x2
x
0 · · · e · · · +∞
f ! (x)
+
−
1
%
0
e
また，f (x) = 0 ⇐⇒ x = 1 である。
&
f (x)
したがって，a < b とするとき，f (a) = f (b) すなわち ab = ba ならば 1 < a < e < b である。（証明終）
√
√
√
5 <√ 7 < 2.7√< e であることに注意する。よって，(1) より f ( 5) < f ( 7) が成り立つ。
√ √7
√ √5
log 5 log 7
すなわち √ < √
が成り立ち，これより log 5 < log 7
√ 5
√ 7
√ 7 √ 5
よって 5 < 7 である。
(2) 1 <
√
（平成２６年九州大（後期））
問 54
すべての実数 x について，関数 f (x) およびその導関数 f ! (x) が微分可能であり，f ! (x) > 0 か
つ f !! (x) > 0 が満たされるとする。また，f (−2) < 0 かつ f (2) > 0 であるとし，f (x) = 0 の解を a と
する。f (x) を用いて，数列 {xn } を次のように定義する。
・x1 = 2
・xn (n = 2, 3, 4, · · · ) は，曲線 y = f (x) の x = xn−1 における接線と x 軸との交点の x 座標とする。
(1) xn > a ならば次の不等式が成り立つことを平均値の定理を用いて示せ。
f ! (a) <
f ! (xn )(xn − xn+1 )
< f ! (xn )
xn − a
(2) xn > a (n = 1, 2, 3, · · · ) であることを数学的帰納法を用いて示せ。
(3) 次の不等式を示せ。
xn+1 − a
f ! (a)
<1− !
(n = 1, 2, 3, · · · )
xn − a
f (xn )
(4) lim xn = a となることを示せ。
n→∞
(解) (1) 仮定より f (x) はすべての実数 x について微分可能であるから，平均値の定理より，実数 c ∈
(a, xn ) が存在して
f (xn ) − f (a)
= f ! (c) · · · )
1
xn − a
を満たす。ここで，y = f (x) 上の点 (xn , f (xn )) における y = f (x) の接線は y = f ! (xn )(x − xn ) + f (xn )
であり，xn+1 はこれと x 軸との交点の x 座標であることから，f ! (xn )(xn+1 − xn ) + f (xn ) = 0 が成り立
つ。さらに f (a) = 0 であるから，f ! (xn )(xn − xn+1 ) = f (xn ) − f (a) · · · )
2 が成り立つ。また，f !! (x) > 0
より f ! (x) は狭義に単調増加するから，a < c < xn のとき f ! (a) < f ! (c) < f ! (xn ) · · · )
3 が成り立つ。
!
f
(x
)(x
−
x
)
n
n
n+1
),
< f ! (xn ) が成り立つ。（証明終）
1 ),
2 )
3 より，a < xn のとき f ! (a) <
xn − a
(2) f (−2) < 0, f (2) > 0, かつ f ! (x) > 0 であることから，中間値の定理より，f (x) = 0 の解は
−2 < x < 2 の範囲にただ 1 つ存在する。よって −2 < a < 2 である。したがって a < x1 = 2 である。
自然数 n に対し xn > a が成り立つと仮定する。このとき (1) の不等式の右辺および中辺より
f ! (xn )(xn − xn+1 )
< f ! (xn ) ⇐⇒ xn − xn+1 < xn − a (∵ f ! (x) > 0, xn > a) ⇐⇒ xn+1 > a
xn − a
が成り立つ。よって，数学的帰納法によりすべての自然数 n に対し xn > a が成り立つ。（証明終）
(3) (2) より xn > a であるから，(1) の不等式の左辺および中辺より
f ! (xn )(xn − xn+1 )
f ! (a) xn − xn+1
xn − xn+1
f ! (a)
f ! (a) <
⇐⇒ !
<
(∵ f ! (xn ) > 0) ⇐⇒ 1−
< 1− !
xn − a
f (xn )
xn − a
xn − a
f (xn )
xn+1 − a
f ! (a)
したがって
<1− !
が成り立つ。（証明終）
xn − a
f (xn )
f ! (a)
(4) pn = 1− !
とすると，任意の自然数 n に対し xn > a であるから，(3) より 0 < xn+1 −a < pn (xn −a)
f (xn )
が成り立つ。(1) の不等式より任意の自然数 n に対し xn+1 < xn であるから，f ! (x) が単調増加であること
f ! (a)
f ! (a)
より f ! (xn+1 ) < f ! (xn ) である。また f ! (x) > 0 であることから，自然数 n に対して 1− !
< 1− !
f (xn+1 )
f (xn )
すなわち pn+1 < pn が成り立ち，したがって 0 < xn+1 − a < pn (xn − a) ! p1 (xn − a) が成り立つ。ゆ
えに不等式 0 < xn − a ! pn−1
(x1 − a) が成り立つ。
1
f ! (a)
ここで 0 < f ! (a) < f ! (xn ) より 0 < 1 − !
= p1 < 1 であるから， lim pn−1
(x1 − a) = 0 である。よっ
1
n→∞
f (xn )
てはさみうちの原理から，dimn→∞ (xn − a) = 0 よって lim xn = a である。（証明終）
n→∞

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