E[aX + bY ] = ∑ ∑ (ax + by)PXY (x, y) = a ∑ ∑ xPXY (x, y) + b

情報ネットワーク学基礎１
演習問題解答（7 月 16 日出題分）
問題 11
[問 11-1] （補題４の証明）
(1) aX + bY は (X, Y ) の関数 f (X, Y ) = aX + bY と見なせるので，
∑∑
E[aX + bY ] =
(ax + by)PXY (x, y)
x∈X y∈Y
=a
∑∑
∑∑
xPXY (x, y) + b
x∈X y∈Y
yPXY (x, y)
x∈X y∈Y


{
}

∑
∑ ∑
∑
y
=a
x
PXY (x, y) + b
PXY (x, y)


y∈Y
x∈X
y∈Y
x∈X
∑
∑
=a
xPX (x) + b
yPY (y)
x∈X
y∈Y
= aE[X] + bE[Y ]
(2) X, Y が独立のとき，独立性の定義より PXY (x, y) = PX (x)PY (y) であるから，
∑∑
E[XY ] =
xyPXY (x, y)
x∈X y∈Y
=
∑∑
xyPX (x)PY (y)
x∈X y∈Y
(
=
∑

)
∑
xPX (x) 
yPY (y)
x∈X
y∈Y
= E[X]E[Y ]
(3) µX = E[X], µY = E[Y ] とおくと，E[X + Y ] = µX + µY であるから，
[{
}2 ]
V [X + Y ] = E (X + Y ) − (µX + µY )
[{
}2 ]
= E (X − µX ) + (Y − µY )
[
]
= E (X − µX )2 + 2(X − µX )(Y − µY ) + (Y − µY )2
= E[(X − µX )2 ] + 2E[(X − µX )(Y − µY )] + E[(Y − µY )2 ]
= V [X] + 2 Cov(X, Y ) + V [Y ]
(4)
Cov(X, Y ) = E[(X − µX )(Y − µY )]
= E[XY ] − µX E[Y ] − µY E[X] + µX µY
(期待値の線形性）
= E[X]E[Y ] − µX E[Y ] − µY E[X] + µX µY
(X と Y は独立）
= (E[X] − µX )(E[Y ] − µY ) = 0
よって (3) より V [X + Y ] = V [X] + 2 Cov(X, Y ) + V [Y ] = V [X] + V [Y ]．
1
[問 11-2] （例２の解答）
このとき，同時確率関数 PXY (x, y)，および周辺確率関数 PX (x), PY (y) をまとめた表は以下のよ
うになる．
（和が 1 であることを確認しやすいように，あえて約分はしていない．
）
x\y
1
2
3
4
PX (x)
1
1
100
2
100
3
100
4
100
1
10
2
2
90
2
90
6
90
8
90
2
10
3
3
90
6
90
6
90
12
90
3
10
4
4
90
8
90
12
90
12
90
4
10
PY (y)
11
100
89
450
89
300
89
225
また条件付き確率関数 PY |X (y|x) の表は以下のようになる．
\y
1
2
3
4
PY |X (y|1)
1
10
2
10
3
10
4
10
PY |X (y|2)
1
9
1
9
3
9
4
9
PY |X (y|3)
1
9
2
9
2
9
4
9
PY |X (y|4)
1
9
2
9
3
9
3
9
Y が与えられたときの条件付き確率関数 PX|Y (x|y) の表は以下のようになる．
\x
1
2
3
4
PX|Y (x|1)
9
99
20
99
30
99
40
99
PX|Y (x|2)
9
89
10
89
30
89
40
89
PX|Y (x|3)
9
89
20
89
20
89
40
89
PX|Y (x|4)
9
89
20
89
30
89
30
89
確率変数に対するベイズの公式の証明は以下の通り．
PXY (x, y)
PY (y)
PXY (x, y)
=∑
′
x ∈X PXY (x, y)
PX (x)PY |X (y|x)
=∑
.
′
′
x′ ∈X PX (x )PY |X (y|x )
PX|Y (x|y) =
2
問題 12
題意より，確率変数 X, Y : Ω → R の確率関数 PX (x), PY (y) はそれぞれ
(λ1 )x
x!
y
(λ
2)
PY (y) = e−λ1
y!
PX (x) = e−λ1
で与えられる. また，X と Y の値域は X(Ω) = Y (Ω) = {0, 1, 2, . . .}（負でない整数全体）である
から，確率変数 Z = X + Y の値域 Z(Ω) も Z(Ω) = {0, 1, 2, . . .} となる．z ∈ Z(Ω) として
PZ (z) = P ({ω ∈ Ω | Z(ω) = z})
= P ({ω ∈ Ω | X(ω) + Y (ω) = z})
=
z
∑
P ({ω ∈ Ω | X(ω) = k, Y (ω) = z − k})
k=0
=
z
∑
PXY (k, z − k)
k=0
=
z
∑
PX (k)PY (z − k)
(X と Y は独立）
k=0
=
z
∑
k=0
=e
e−λ1
(λ1 )k −λ2 (λ2 )z−k
e
k!
(z − k)!
−(λ1 +λ2 )
z
∑
k=0
1
(λ1 )k (λ2 )z−k
k!(z − k)!
ここで
z
∑
k=0
1
z!
1 ∑
(λ1 )k (λ2 )z−k =
(λ1 )k (λ2 )z−k
k!(z − k)!
z!
k!(z − k)!
z
k=0
1
= (λ1 + λ2 )z
z!
よって (λ1 + λ2 )z
z!
であるから Z はパラメータ λ1 + λ2 のポアソン分布に従うことがわかる．
PZ (z) = e−(λ1 +λ2 )
3
(二項定理）

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