レポート課題2の類似問題の解答例

レポート課題 2 の類似問題の解答例
情報工学科篠埜功
2014 年 6 月 23 日
類似問題関数 f (x) = x2 を区間 [−π, π] においてフーリエ級数展開し、cos 5x, sin 5x
の項までの部分和
1
a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + a5 cos 5x + b5 sin 5x
2
と関数 f (x) を重ねてグラフ表示せよ。計算の途中経過も記述せよ。
解答例
まず、{ 21 , sin x, cos x, . . . , sin nx, cos nx} の線形結合
n
∑
1
a0 +
(ak cos x + bk sin x)
2
k=1
のうち、関数 f (x) に最も近いものを求める。近さの尺度は、
J=
n
∑
1∫ π 1
{ a0 +
(ak cos x + bk sin x) − f (x)}2 dx
2 −π 2
k=1
である。この J を a0 , a1 , b1 , . . ., an , bn で偏微分して 0 とおいて各係数を求めても
よいが、ここでは教科書例 2.4 のやり方による解法を示す。仮に、
n
∑
1
f (x) = a0 +
(ak cos x + bk sin x)
2
k=1
とおく。(1) の両辺を区間 [−π, π] で積分すると、
∫
∫
π
−π
f (x)dx =
π
−π
1
a0 dx
2
= a0 π
となり、
1∫π
f (x)dx
π −π
1∫π 2
x dx
=
π −π
2 2
=
π
3
a0 =
1
(1)
となる。
(1) の両辺に cos kx をかけて区間 [−π, π] で積分すると、
∫
∫
π
−π
f (x) cos kxdx = ak
π
−π
= ak π
cos2 kxdx
となり、
1∫π
f (x) cos kxdx
π −π
1∫π 2
=
x cos kxdx
π {[
−π
]π
}
∫ π
1
sin kx
2 sin kx
=
2x
x
−
dx
π
k
k
−π
−π
ak =
[
2 ∫π
= −
x sin kxdx
πk −π
∫π
である。ここで、
∫
−π
k
]π
は 0 なので)
−π
x sin kxdx を別に計算すると、
[
π
−π
( x
2 sin kx
x sin kxdx =
=
=
=
=
=
]π
∫ π
− cos kx
− cos kx
x
−
dx
k
k
−π
−π
∫ π
− cos kx
1
(
dx は 0 なので)
− [x cos kx]π−π
k
k
−π
1
− (π cos πk − (−π) cos(−πk))
k
1
− (π cos πk + π cos πk)
k
2π
− cos πk
k
2π
− (−1)k
k
である。よって、ak の計算の続きをすると、
ak = −
=
2π
2
(− (−1)k )
πk
k
4
(−1)k
k2
となる。
(1) の両辺に sin kx をかけて区間 [−π, π] で積分すると、
∫
∫
π
−π
f (x) sin kxdx = bk
= bk π
2
π
−π
sin2 kxdx
となり、
bk
1∫π
=
f (x) sin kxdx
π −π
∫ π
1
=
x2 sin kxdx
π −π
= 0 (x2 sin kx は奇関数なので)
となる。
以上をまとめると、f (x) に最も近い線形結合は
n
π2 ∑
4
+
(−1)k cos kx
2
3
k
k=1
である。
f (x) = x2 のフーリエ級数展開は、上記で得られた線形結合の n を大きくしたと
きの極限であり、
∞
π2 ∑
4
+
(−1)k cos kx
2
3
k=1 k
である。
このフーリエ級数の cos 5x の項までの部分和は
π2
4
1
4
− 4 cos x + cos 2x − cos 3x + cos 4x −
cos 5x
3
9
4
25
であり、f (x) = x2 とともに区間 −π ≤ x ≤ π で図示すると図 1 のようになる。
3
10
x**2
pi**2/3 + series(x,5)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
図 1: f (x) = x2 とそのフーリエ級数の cos 5x の項までの部分和の比較
4

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