2章 正則関数 1 複素微分,正則関数 D を C の領域とし,f を D 上で定義された複素関数とする. 定義 1 a ∈ D とするとき, f (z) − f (a) f (a + ζ) − f (a) = lim z→a ζ→0 z−a ζ lim が存在するとき,関数 f は z = a において複素微分可能であるという. f が D の各点において複素微分可能のとき,f は D 上で正則であるという.このとき,z に f (z + ζ) − f (z) ζ→0 ζ lim を対応する関数を f の導関数と呼び,f ′ (z), ∂f などと書く. ∂z 複素微分の定義における極限が存在するとは,z がどんな方向から a に近づいても (または.h がどんな方向から 0 に近づいても) 極限が存在して,極限が近づき方に依らないということである. 例えば,f (z) = Re(z) であれば,z = x + yi (x, y ∈ R) と書いて a = 0 のときを考えると Re(z) − Re(0) x−0 = = 1, z x Re(z) − Re(0) 0−0 虚軸に沿って z → 0 のとき (x = 0), = =0 z yi 実軸に沿って z → 0 のとき (y = 0), となって,ともに極限は存在するが一致しない.つまり,f (z) = Re(z) は微分可能ではない. 例 1.1 f (z) = z 3 とすると,すべての z ∈ C に対して (z + ζ)3 − z 3 3ζz 2 + 3ζ 2 z + ζ 3 = = 3z 2 + 3ζz + ζ 2 → 3z 2 ζ ζ (ζ → 0) となるから,f (z) = z 3 は C 上の正則関数で f ′ (z) = 3z 2 が成り立つ. 一般に,f (z) = z n (n = 1, 2, 3, 4, ...) が C 上の正則関数で,f ′ (z) = nz n−1 が成り立つことも同 様に示すことができる. f (z) = z −n (n = 1, 2, ...) が,C \ {0} (複素平面 C から原点を除いた領域) において正則であり, f ′ (z) = −nz −n−1 であることも同様に示される. 微分の定義は実関数の場合と同じ形をしているので,関数の積の微分や合成関数の微分に関す る公式は同様に成り立つ. 1 定理 1.1 (1) f, g が領域 D 上の正則関数であれば,次が成り立つ: (f (z)g(z))′ = f ′ (z)g(z) + f (z)g ′ (z), ( f (z) )′ f ′ (z)g(z) − f (z)g ′ (z) = , g(z) f (z)2 ただし,g(z) ̸= 0. (2) g が領域 D 上の正則関数で f が領域 g(D) 上の1 正則関数であれば,合成関数 f (g(z)) は D 上 の合成関数であり, (f (g(z))′ = f ′ (g(z))g ′ (z) が成り立つ. 証明. 実関数の場合と同様であるので,(2) のみ示す.z ∈ D,ζ ∈ C は |ζ| が十分小であると し,ξ = g(z + ζ) − g(z) とおく.すると, f (g(z) + ξ) − f (g(z)) g(z + ζ) − g(z) f (g(x + ζ)) − f (g(z)) = × ζ ξ ζ となる.ζ → 0 とすると ξ → 0 であり,右辺第1項は f ′ (g(z)) に,第2項は g ′ (z) に収束するから, f (g(x + ζ)) − f (g(z)) = f ′ (g(z))g ′ (z) ζ→0 ζ lim となり,結論を得る. コーシー・リーマンの関係式 2 複素関数は,それが微分可能であることが分かれば,実関数の場合と同様に微分をすることが できる.コーシー・リーマンの関係式は,(複素) 微分可能性の判定を与える便利な等式である. w = f (z) を C の領域上の関数として,z を z = x + yi (x, y ∈ R) と実部と虚部に分けるよう に,値 f (z) も u + vi と書く.f の実部,虚部 u, v は (x, y) の関数と考えて f (z) = u(x, y) + v(x, y)i と書く. 例えば,f (z) = z 2 であれば, f (z) = (x + yi)2 = (x2 − y 2 ) + 2xyi だから, u(x, y) = x2 − y 2 , v(x, y) = 2xy である. f が正則であることと u, v の x, y に関する偏微分 ux , uy , vx , vy に関するある等式が同値である ことが分かり,その等式をコーシー・リーマンの関係式という. 1 g(D) = {g(z); z ∈ D} は D の g による像. 2 このために,f の導関数を 2 通りに計算する.ζ = h + ki (h, k ∈ R) とする. (1) k = 0 として (このとき z + ζ = (x + h) + yi である) ζ = h → 0 とすると,次が成り立つ: ( ) ( ) u(x + h, y) + v(x + h, y)i − u(x, y) + v(x, y)i f (z + ζ) − f (z) = ζ ζ u(x + h, y) − u(x, y) v(x + h, y) − v(x, y) = + i h h ∂v ∂u (x, y) + (x, y)i. → ∂x ∂x (2) h = 0 として (このとき z + ζ = x + (y + k)i である) ζ = ki → 0 とすると,次が成り立つ: ( ) ( ) u(x, y + k) + v(x, y + k)i − u(x, y) + v(x, y)i f (z + ζ) − f (z) = ζ ki u(x, y + k) − u(x, y) v(x, y + k) − v(x, y) = + i ki ki 1 ∂u ∂v → (x, y) + (x, y). i ∂y ∂y f が複素微分可能と仮定するとこの 2 つの極限は一致し, ∂u ∂v ∂u ∂v + i=− i+ ∂x ∂x ∂y ∂y が成り立つ. したがって,実部と虚部を比較すれば次の定理を得る. 定理 2.1 f (z) = u(x, y) + v(x, y)i が正則関数であれば, ∂u ∂v = , ∂x ∂y ∂u ∂v =− , ∂y ∂x つまり,ux = vy , uy = −vx が成り立つ. 定理に述べた,u, v の偏導関数に関する関係式をコーシー・リーマンの関係式という. 1 (1) は x に関する偏微分,(2) は y に関する偏微分に を掛けたものだから,これらが一致する i のは ∂f 1 ∂f = , ∂x i ∂y または 1 fx = fy i とも書ける. 逆に,複素関数 f (z) の実部,虚部がコーシー・リーマンの関係式を満たせば,f が正則である ことを示す. 定理 2.2 上と同様に,f (z) = u(x, y) + v(x, y)i と書くとき,u, v が C 1 級2 と仮定する.このとき, u, v がコーシー・リーマンの関係式 u x = vy , uy = −vx を満たすならば,f は複素微分可能 (正則) である. 2 x, y に関する偏微分が存在して,偏導関数が連続. 3 証明. 2 変数関数に対するテーラーの定理より,ζ = h + ki として f (z + ζ) = f ((x + h) + (y + k)i) = u(x + h, y + k) + v(x + h, y + k)i = {u(x, y) + ux (x, y)h + uy (x, y)k + ε1 (h, k)} + {v(x, y) + vx (x, y)h + vy (x, y)k + ε2 (h, k)}i であり,|ζ| = √ h2 + k 2 → 0 のとき ε1 (h, k) ε2 (h, k) , →0 |ζ| |ζ| を満たす ε1 (h, k), ε2 (h, k) が存在する.よって,コーシー・リーマンの関係式を用いると, ux h + uy k + i(vx h + vy k) ε1 (h, k) + ε2 (h, k) f (z + ζ) − f (z) = + ζ h + ki ζ ux h + (−vx )k + i(vx h + ux k) ε1 (h, k) + ε2 (h, k) + = h + ki ζ (ux + vx i)(h + ki) ε1 (h, k) + ε2 (h, k) = + (第 1 項は約分できる) h + ki ζ となる.第2項は ζ → 0 のとき 0 に収束するので, lim ζ→0 f (z + ζ) − f (z) ζ が存在して,極限は ux + vx i となる.(vy − iuy とも等しい) したがって,u(x, y), v(x, y) が C 1 級であれば,f (z) = u(x, y) + v(x, y)i が正則であるための必 要十分条件が u, v がコーシー・リーマンの関係式を満たすことであることが分かった.以後,u, v がコーシー・リーマンの関係式を満たすことを確認することによって,f の正則性 (複素関数の意 味の微分可能性) を示す. 例 2.1 f (z) = z 3 とすると, f (z) = (x + yi)3 = (x3 − 3xy 2 ) + (3x2 y − y 3 )i となり,u(x, y) = x3 − 3xy 2 , v(x, y) = 3x2 y − y 3 である.よって, ux = 3x3 − 3y 2 , vx = 6xy, uy = −6xy, vy = 3x2 − 3y 2 であり,コーシー・リーマンの関係式が成り立つことを確認できた. 演習問題 2.1 f (z) = z, f (z) = |z|2 の実部,虚部がコーシー・リーマンの関係式を満たさないこ とを示せ. 1 (z ̸= 0) の実部 u(x, y),虚部 v(x, y) を求めよ. z (2) u, v がコーシー・リーマンの関係式を満たし,f (z) = z −1 が C \ {0} 上正則であることを示せ. 演習問題 2.2 (1) f (z) = 正則関数の実部,虚部は調和関数であることを示す. 4 定義 2 R2 (の領域) 上の実数値関数 ϕ(x, y) が調和関数であるとは, ∂2ϕ ∂2ϕ + 2 =0 ∂x2 ∂y を3 満たすことをいう. 命題 2.3 f (z) が正則であれば,その実部 u,虚部 v は調和関数である. 証明. コーシー・リーマンの関係式より, ∂2u ∂2u ∂ ( ∂u ) ∂ ( ∂u ) ∂ ( ∂v ) ∂ ( ∂v ) + = + = + − =0 ∂x2 ∂y 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x となるから,u は調和関数である.v についても同様である. 初等関数とその微分 3 多項式,有理関数については既に述べたので,ここでは指数関数,三角関数について復習し,そ の微分について述べる. (1) 指数関数 z = x + yi (x, y ∈ R) に対して,指数関数 ez を ez = ex (cos y + i sin y) によって定義する. 命題 3.1 f (z) = ez は C 上の正則関数であり,導関数は (ez )′ = ez である. 証明. f (z) = ex cos y + iex sin y の正則性を示すには,実部 u(x, y) = ex cos y ,虚部 v(x, y) = ex sin y がコーシー・リーマンの関係式を満たすことを示せば良い.詳細は省略する. 正則性が示されれば, (ez )′ = ∂ x (e cos y + iex sin y) = ex cos y + iex sin y = ez ∂x となる. (ez )′ = 1 ∂ x 1 (e cos y + iex sin y) = (−ex sin y + iex cos y) = ex cos y + iex sin y i ∂y i としても,結論が得られる. 合成関数の微分を考えると,a ∈ C に対して (eaz )′ = aeaz が (複素微分に関しても) 成り立つ. ϕ ∂2ϕ + を ∆ϕ と書いて,∆ をラプラシアン (ラプラス作用素) という. ∂x2 ∂y 2 3∂ 2 5 (2) 三角関数 cos z, sin z (z ∈ C) は cos z = eiz + e−iz , 2 sin z = eiz − e−iz 2i によって定義された.したがって,指数関数と z 7→ iz などの合成関数の微分より eiz − e−iz eiz − e−iz =− = − sin z, 2 2i eiz + e−iz (sin z)′ = i = cos z 2i (cos z)′ = i と実関数の場合と同じ公式,(sin z)′ = cos z, (cos z)′ = − sin z が成り立つ. 演習問題 3.1 (1) z = x + yi (x, y ∈ R) に対して,cos z = u(x, y) + v(x, y)i をみたす実数値関数 u, v を求めよ. (2) u(x, y), v(x, y) がコーシー・リーマンの関係式を満たすことを計算により示せ. (3) 対数関数 w ∈ C が与えられたとして,ez = w を z に関して解く.z = x + yi (x, y ∈ R) とし,w を極形 式によって w = |w|eθi と書くと ex (cos y + i sin y) = |w|(cos θ + i sin θ) である.したがって, x = log |w|, y = θ + 2nπ = arg(w) (n ∈ Z) となり,z = log |w| + i arg(w) となる4 .log |w| は |w| > 0 の通常の対数である. 以上のことから,z ̸= 0 に対して定義される関数 f (z) = log |z| + i arg(z) (z ∈ C) を対数関数という. 言うまでもなく,z が正の実数であれば通常の対数関数と一致する. 4 通常は,−π < arg(w) 5 π にとる.これを主値という. 6
© Copyright 2024 ExpyDoc