電磁気学第二演習 No.1 解答 2. 磁場の方向を Z 軸方向とすると磁束密度は B 0,0, Bz と表すことができ、 荷電粒子は磁場に垂直な方向(XY 平面)に速度 v v x , v y ,0 で運動する。 粒子に働くローレンツ力は v y Bz F q v B q v x B z 0 粒子の運動方程式を成分ごとにわけて書くと dv x qBv y (1) dt dv y m qBv x (2) dt dv m z 0(3) dt 2 dv y d vx (1)式をさらに微分すると m となり、これに(2)を代入すると次式を得る。 qB 2 dt dt m 2 d 2vx qB v x 2 dt m この微分方程式の一般解は qB v x A sin t ・・・・・・(4) m (4)を(1)に代入すると qB v y A cos t m ここで初期条件 t = 0 のとき v 0, v0 ,0 とすれば、 A v0 , 0 となる。 を得る。 よって、 v x v0 sin t v y v0 cos t これらの式から、荷電粒子は時間によらず一定速度で運動し、円運動であることが分かる。 また、ここで表したωは角速度であり、 qB と表される。 m 3.(a) 磁場 B ( Bx ,0, Bz ) ( B sin ,0, B cos ) として点 A,B,C,D を以下の図で定義する. z B y B A x C D まず,一辺 a の正方形コイルにはたらく力 F を求める.正方形の各辺に電流の向き の単位ベクトル t を求めると, 辺 BC: t BC (0,1,0) 辺 CD: tCD (1,0,0) 辺 DA: t DA (0,1,0) 辺 AB: t AB (1,0,0) となる.よって辺 AB の電流素片 s に働く力は, FAB I (t AB B)s Is(1,0,0) ( Bx ,0, Bz ) Is(0, Bz ,0) これを x 方向に積分して,辺 AB 全体に働く力は, a/2 FAB dFAB I (0, Bz ,0)dx (0, IaBz ,0) a / 2 以下同様に, FBC ( IaBz ,0, IaBx ) , FCD (0, IaBz ,0) , FDA ( IaBz ,0, IaBx ) よって回路全体に働く力は F FAB FBC FCD FDA 0 . 次に,力のモーメント N r F を求める.辺 AB は y るから,その位置ベクトルは rAB x, a a a にあって x であ 2 2 2 a ,0 .よって辺 AB の受ける力のモーメントは 2 a N AB rAB FAB x, ,0 (0, IaBz ,0) (0,0, IaxBz ) . 2 a , y,0 より, 2 また,辺 BC に関しては位置ベクトルが rBC a2 a N BC rBC FBC , y,0 ( IaBz ,0, IaBx ) IayBx , I Bx , IayBz . 2 2 以下同様に a2 Bx , IayB z N CD (0,0, IaxBz ) , N DA IayB x , I 2 したがって,回路全体が受ける力のモーメントは,係数 x や y がある項は打ち消しあって, N N AB N BC N CD N DA (0, Ia 2 Bx ,0) (0, Ia 2 B sin ,0) . (b) (a)同様に,磁場 B ( Bx ,0, Bz ) ( B sin ,0, B cos ) と定義する. 電流の向きの単位ベクトルを考えると t sin , cos ,0 となる. 電流素片 s に働く力は, F I (t B)s Is( sin , cos ,0) ( Bx ,0, Bz ) Is( Bz cos , Bz sin , Bx cos ) これを積分して,円回路全体に働く力は, Bz cos 2 F dF Ia Bz sin d (0,0,0) 0 B cos x 次に,力のモーメント N r F を求める. まず,微小領域において力のモーメント dN は ここで s a d とした. a cos Bz cos Bx sin cos 2 dN r dF a sin Iad Bz sin Ia Bx cos 2 d 0 B cos 0 x よって力のモーメント N は sin cos 0 0 2 2 2 2 2 2 N dN Ia Bx cos d Ia Bx Ia B sin 0 0 0 0 0 ちなみに,回路の法線ベクトル n は(電流右ねじ方向を正として) n (0,0,1) となる.ここか ら n B (0, Bx ,0) と計算されるので,結局 N Ia (n B) IS (n B) となって円形コイ 2 ルと同じ結果となる. ( S a は正方形回路の面積. ) 2 <採点者のコメント> ただ式のみを書いて終わり,という答案が非常に多かったです. 「文字の定義」 や「なぜそのような式が出るのか」を,書ける範囲でかまわないので説明す るようにしてください.減点対象としています. 答えに” B x ”をそのまま使う答案も見られましたが,これは問題で与えられて いません.” B sin ”としてください.
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