( )z

電磁気学第二演習 No.1 解答
2.

磁場の方向を Z 軸方向とすると磁束密度は B  0,0, Bz  と表すことができ、



荷電粒子は磁場に垂直な方向（XY 平面）に速度 v  v x , v y ,0 で運動する。
粒子に働くローレンツ力は
 v y Bz 



 
F  q v  B  q  v x B z 
 0 




粒子の運動方程式を成分ごとにわけて書くと
dv x
 qBv y (1)
dt
dv y
m
 qBv x (2)
dt
dv
m z  0(3)
dt
2
dv y
d vx
(1)式をさらに微分すると m
となり、これに（2）を代入すると次式を得る。
 qB
2
dt
dt
m
2
d 2vx
 qB 
   v x
2
dt
m
この微分方程式の一般解は
 qB

v x  A sin t    ･･････(4)
m

(4)を(1)に代入すると
 qB

v y  A cos t   
m

ここで初期条件 t = 0 のとき

v  0, v0 ,0 とすれば、 A  v0 ,  0 となる。
を得る。
よって、
v x  v0 sin t
v y  v0 cos t
これらの式から、荷電粒子は時間によらず一定速度で運動し、円運動であることが分かる。
また、ここで表したωは角速度であり、  
qB
と表される。
m
3.(a)

磁場 B  ( Bx ,0, Bz )  ( B sin  ,0, B cos  ) として点 A,B,C,D を以下の図で定義する．
z


B
y
B
A
x
C
D

まず，一辺 a の正方形コイルにはたらく力 F を求める．正方形の各辺に電流の向き

の単位ベクトル t を求めると，


辺 BC: t BC  (0,1,0)

辺 CD: tCD  (1,0,0)

辺 DA: t DA  (0,1,0)
辺 AB: t AB  (1,0,0)
となる．よって辺 AB の電流素片 s に働く力は，



FAB  I (t AB B)s  Is(1,0,0)  ( Bx ,0, Bz )  Is(0, Bz ,0)
これを x 方向に積分して，辺 AB 全体に働く力は，


a/2
FAB  dFAB  I  (0, Bz ,0)dx  (0, IaBz ,0)
a / 2
以下同様に，



FBC  ( IaBz ,0, IaBx ) ， FCD  (0, IaBz ,0) ， FDA  ( IaBz ,0, IaBx )
よって回路全体に働く力は

 



F  FAB  FBC  FCD  FDA  0 ．



次に，力のモーメント N  r  F を求める．辺 AB は y 



るから，その位置ベクトルは rAB   x,
a
a
a
にあって   x  であ
2
2
2
a 
,0  ．よって辺 AB の受ける力のモーメントは
2 



 a 
N AB  rAB  FAB   x, ,0   (0, IaBz ,0)  (0,0, IaxBz ) ．
 2 

 a

, y,0  より，
 2

また，辺 BC に関しては位置ベクトルが rBC   





a2
 a

N BC  rBC  FBC    , y,0   ( IaBz ,0, IaBx )   IayBx , I
Bx , IayBz  ．
2
 2



以下同様に




a2
Bx , IayB z 
N CD  (0,0, IaxBz ) ， N DA    IayB x , I
2


したがって，回路全体が受ける力のモーメントは，係数 x や y がある項は打ち消しあって，
 



N  N AB  N BC  N CD  N DA  (0, Ia 2 Bx ,0)  (0, Ia 2 B sin  ,0) ．
(b)

(a)同様に，磁場 B  ( Bx ,0, Bz )  ( B sin  ,0, B cos  ) と定義する．
電流の向きの単位ベクトルを考えると

t   sin  , cos  ,0 となる．
電流素片 s に働く力は，

 
F  I (t  B)s  Is( sin  , cos  ,0)  ( Bx ,0, Bz )  Is( Bz cos  , Bz sin  , Bx cos  )
これを積分して，円回路全体に働く力は，
 Bz cos  



2 
F  dF  Ia   Bz sin  d  (0,0,0)
0
  B cos  
x


  
次に，力のモーメント N  r  F を求める．

まず，微小領域において力のモーメント dN は
ここで s  a  d とした．
 a cos  
 Bz cos  
  Bx sin  cos  
 
 





2
dN  r  dF   a sin    Iad  Bz sin    Ia  Bx cos 2  d
 0 
  B cos  


0
x







よって力のモーメント N は
  sin  cos  
0
0




 
 
2
2
2
2
2
2
N   dN   Ia Bx  cos  d  Ia Bx     Ia B sin    
0
0


0
0
0


 
 


ちなみに，回路の法線ベクトル n は(電流右ねじ方向を正として) n  (0,0,1) となる．ここか







ら n  B  (0, Bx ,0) と計算されるので，結局 N  Ia (n  B)  IS (n  B) となって円形コイ
2
ルと同じ結果となる．
（ S  a は正方形回路の面積．
）
2
＜採点者のコメント＞

ただ式のみを書いて終わり，という答案が非常に多かったです．
「文字の定義」
や「なぜそのような式が出るのか」を，書ける範囲でかまわないので説明す
るようにしてください．減点対象としています．

答えに” B x ”をそのまま使う答案も見られましたが，これは問題で与えられて
いません．” B sin  ”としてください．

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