日日の演習 d e a b 7²11 x，y の動く範囲を 0 · x · 2¼，0 · y · 2¼ とすると

日日の演習 d e a b
sSSH 課題探究 r
7² 11 x，y の動く範囲を 0 · x · 2¼，0 · y · 2¼ とすると
き，不等式 sin x + sin y ¸ cos x + cos y の表す領域を
平面上に図示せよ。
y+x
¼
< · 0 ÝÝ 5
¡
2
4
’ X
y¡x
cos
·0
ÝÝ 6
2
のとき，
sin $
1 の範囲では，5 より，
y+x
y+x
¼
¼
7
¼
¡
·
¡
· 0，¼ ·
¡
·
¼
4
2
4
2
4
4
R 北村遼平君のレポートより
¼
5
， ¼ · y + x · 4¼
2
2
¼
¡ x · y · ¡x +
2
Ú W
ÝÝ C
5
¡x+
¼ · y · ¡x + 4¼
2
2 の範囲では，6 より，
x¡y
x¡y
¼
¼
¡¼ ·
·¡
，
·
·¼
2
2
2
2
Ú 0·y+x·
sin x + sin y ¸ cos x + cos y
Ñ sin x + sin y ¡ (cos x + cos y) ¸ 0
y+x
y¡x
cos
2
2
y+x
y¡x
¡2 cos
cos
¸0
2
2
y+x
y¡x
cos
Ñ sin
2
2
y+x
y¡x
¡ cos
cos
¸0
2
2
Ñ 2 sin
Ñ cos
ここで，
sin
y¡x
y+x
y+x
$sin
<¸0
¡ cos
2
2
2
Ú U
x ¡ 2¼ · y · x ¡ ¼
ÝÝ D
x + ¼ · y · x + 2¼
以上より，A と B，C と D の共通部分をとり，下図の
領域を得る。ただし，境界線も含む。
y
2¼
B
y+x
y+x
y+x
¼
<
¡cos
= 2 sin $
¡
2
2
2
4
であるから，
¼
y¡x B
y+x
¼
<¸0
¢ 2$
¡
cos
2
2
4
Ú cos
y¡x
y+x
¼
<¸0
sin $
¡
2
2
4
また，0 · x · 2¼，0 · y · 2¼ より，
y+x
¼
¼
7
¡
·
¡
·
¼ ÝÝ 1
4
2
4
4
y¡x
¡¼ ·
· ¼ ÝÝ 2
2
y+x
¼
< ¸ 0 ÝÝ 3
sin $
¡
2
4
‘ X
y¡x
cos
¸0
ÝÝ 4
2
のとき，
¼
2
O
¼
¼
x
2¼
2
q 前半で，三角関数の和・積の公式と合成を使っている。x，
y の範囲に注意しながら領域を求めることができ，また，与不
等式の文字の対称性から求める領域が直線 y = x に関して対
称であることも予想している。z = f(x; y) = sin x + sin y，
z = g(x; y) = cos x + cos y とすると，平面上の図の斜線部分
とその他の部分で，曲面 z = f(x; y)，z = g(x; y) の大小関係
が入れ替わっていることがわかる。実際に曲面の様子をみると次
のようになっていて，求める領域の様子が立体的にみえる。
1 の範囲では，3 より，
y+x
¼
¡
·¼
2
4
y+x
¼
5
Ú ·
·
¼
4
2
4
¼
·y+x·¼
Ú 2
¼
5¼
Ú ¡x +
· y · ¡x +
ÝÝ A
2
2
0·
2
1
4
-2
0
2 の範囲では，4 より，
y¡x
¼
¼
¡
·
·
2
2
2
Ú ¡¼ · y ¡ x · ¼
Ú x ¡ ¼ · y · x + ¼ ÝÝ B
6
0
-1
2
2
4
6
0

Download Report