(5) cot y xy y x x   ′ = +     2 (4) sin y y x x ′+ =

次の微分方程式を解け。
(1)
y′′ +
1
cos ( x )
2
=0
(2) y′ = cos 2 ( x ) cos 2 ( y ) (3) y′ + y sin ( x ) = ecos( x ) , y ( 0 ) = 0
(4)
(5)
y′ +
2
y = sin ( x )
x
2 y
′
xy = y + x cot  
x
(1)
y′′ +
1
cos ( x )
y′′ +
2
=0
1
=0
2
cos ( x )
y′ = − tan ( x ) + c1　(c：積分定数
)
1
y = log cos( x ) + c1 x + c2
(c2 : 積分定数)


− cos′( x)
∵ ∫ tan ( x )dx = ∫
dx = − log cos x  cos( x)


(2) y ′ = cos 2 ( x ) cos 2 ( y )
ⅰ) cos( y ) = 0の時，
π
y = + kπ（k : 定数）
2
π
ⅱ) cos ( y ) ≠ 0 ,つまりy ≠ + kπの時，
2
dy
2
=
(与式 ) ⇔
cos
( x) dx
2
cos ( y )
⇔ tan ( y ) + C1 = ∫ cos 2 ( x) dx　(C1 :積分定数)
cos(2 x) + 1
⇔ tan ( y ) + C1 = ∫
dx
2
x
1
⇔ tan ( y ) + C1 = sin(2 x) +
4
2
x
1

⇔ y = arctan  sin 2 x + + C2  (C2 = −C1 )
2
4

(3) y′ + y sin ( x ) = e
cos ( x )
y′ + p ( x ) y = q ( x ) 非同次1階線形常微分方程式　・・・①
− p ( x ) dx
一般解: y = e ∫
 A + q x e ∫ p( x )dx dx 
∫ ( )




y = ecos( x ) ( x + A )
初期条件 y ( 0 ) = 0 より，A = 0
よって，y = xe
cos ( x )
p ( x ) dx


∫
dx  の導出方法
 A + ∫ q ( x) e


同次1階線形常微分方程式（q ( x ) = 0である①式）を解くと，
y ′ + p ( x) y = 0
dy
⇔
= − p( x) y
dx
dy
⇔
= − p( x)dx
y
⇔ log y = − p( x)dx
− p ( x ) dx
＊)補足　一般解: y = e ∫
∫
− p ( x ) dx
⇔ y = Ae ∫
よって，①式の一般解は以下のようにおける．
− p ( x ) dx
y = A( x)e ∫
・・・②
これを①式に代入すると，
A′( x) = q( x)e ∫
p ( x ) dx
p ( x ) dx
∫
⇔ A( x) = A + ∫ q ( x ) e
dx　(A:積分定数)
となり，②式に代入することで一般解が求まる．
2
y ′ + y = sin (x )
x
( 4)
y′ + p ( x ) y = q ( x ) 非同次１階線形常微分方程式
(3)と同様に同次式を解くと，　y = C
よって，与式の一般解は　y = C( x)
1
x2
1
x2
与式に代入すると，
C′( x) = x2 sin( x) ⇔ −x2 cos ( x ) + 2x sin ( x ) + 2cos ( x ) + A （Aは任意定数）
以上より，解は
(
)
1
y = 2 −x2 cos ( x ) + 2x sin ( x ) + 2cos ( x ) + A （Aは任意定数）
x
2 y
′
(5) xy = y + x cot  
x
従属変数変換を行う．　y = uxとおくと，y′ = u + xu ′
与式に代入して，
y
2 y
y′ = + cot  
x
x
⇔ u + xu ′ = u + cot 2 ( u ) ⇔ cot 2 ( u ) = xu ′
⇔ tan 2 ( u ) du =
dx
(C : 積分定数)　⇔ ∫ tan 2 ( u ) du = ln x + C x
ここで，
sin 2 ( u )
1 − cos 2 ( u )
2
cos ( u )
∫ tan ( u ) du = ∫ cos ( u ) du = ∫
2
したがって，
tan u − u = ln x + C
(陰関数表示)
2
du = ∫
1
cos ( u )
2
du − ∫ du = tan u − u

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