n0 = [1/ √ 0 ⇒ |an − a| ≤ ϵ n ≥ n 0 ⇒ |an − a| ≤ |an − a| ≤ ε |am

基礎数理室田
基本演習解答第３部：位相
問題 T1. （１）任意の n ≥ n0 に対して |1/n2 | ≤ ε が成り立つようにするには，例えば，
√
n0 = [1/ ε] + 1 とすればよい．ただし，[ · ] は実数の整数部分を表す．
（２）任意の n ≥ n0 に対して |1/ log n| ≤ ε が成り立つようにするには，例えば，
n0 = [exp(1/ε)] + 1 とすればよい．
（３）収束しない．ε = 1/2 に対しては，どんな n0 を選んでも，n ≥ n0 を満たす平
方数 n が存在する．このとき |an − a| = 1/2 > ε となってしまう．
問題 T2. ある M が存在して，任意の n に対して |an | ≤ M が成り立つこと (∃M, ∀n : |an | ≤ M )
を示せばよい．数列 (an ) の収束先を a とする．任意の ϵ > 0 に対して，ある n0 が
存在し，n ≥ n0 ⇒ |an − a| ≤ ϵ である．特に，ϵ = 1 に対して，ある n0 が存在し，
n ≥ n0 ⇒ |an − a| ≤ 1 であるから，M を |a1 |, . . . , |an0 −1 |, |a| + 1 の最大値とする
と，|an | ≤ M が任意の n に対して成り立つ．
問題 T3. 任意の ε > 0 に対して，ある n0 が存在して，任意の m, n ≥ n0 に対して |am −an | ≤ ε
が成り立つことを示せばよい．一方，仮定より，数列 (an ) はある a に収束するので，
任意の ε′ > 0 に対して，ある n′0 が存在して，n ≥ n′0 である任意の n に対して
|an − a| ≤ ε′ が成り立つ．ε′ = ε/2 に対する n′0 を n0 とすると，任意の m, n ≥ n0
に対して
|am − a| ≤ ε/2, |an − a| ≤ ε/2
が成り立つので，これを加え合わせると
|am − an | ≤ |am − a| + |an − a| ≤ ε.
問題 T4. 任意の ε > 0 に対して，ある n0 が存在して，任意の m, n ≥ n0 に対して |am −an | ≤ ε
が成り立つことを示せばよい．m ≤ n のとき
1
1 1
|am − an | = 2 − 2 ≤ 2
m
n
m
√
であるから，n0 = [1/ ε] + 1 とすればよい．ただし，[ · ] は実数の整数部分を表す．
問題 T5. 任意の ε > 0 に対して，ある n0 が存在して，任意の m, n ≥ n0 に対して |am −an | ≤ ε
が成り立つことを示せばよい．
1
1
1
1
≤
=
−
2
k
k(k − 1)
k−1 k
に着目すると，m ≤ n のとき
|am − an | =
n
∑
k=m+1
1
1
1
1
≤
− ≤
k2
m n
m
であるから，n0 = [1/ε] + 1 とすればよい．ただし，[ · ] は実数の整数部分を表す．
1
問題 T6. d が距離の公理を満たすことを示せばよい．d(a, b) = d(b, a) は明らか．d(a, b) ≥ 0
も明らか．等号が a = b のときのみに成り立つことも，d(a, b) = 0 ならば各 n に対
して |an − bn | = 0 となるから明らか．三角不等式 d(a, b) + d(b, c) ≥ d(a, c) は次の
ように示される．実数の絶対値に関する三角不等式より，各 n に対して
|an − bn | + |bn − cn | ≥ |an − cn |.
ここで，d(a, b) ≥ |an − bn |, d(b, c) ≥ |bn − cn | だから，
d(a, b) + d(b, c) ≥ |an − cn |.
ゆえに
d(a, b) + d(b, c) ≥ sup |an − cn | = d(a, c).
n∈N
問題 T7. B = X \ A とおいて命題を書きなおすと，
B が閉集合 ⇐⇒ ∀a ∈ X \ B, ∃ε > 0: U (a, ε) ∩ B = ∅.
これの対偶
B が閉集合でない ⇐⇒ ∃a ∈ X \ B, ∀ε > 0: U (a, ε) ∩ B ̸= ∅
を証明する．
［⇒］B が閉集合でないから，B に含まれる収束点列 (an )n で，その極限 a ∈ X が
B に含まれないものが存在する．an → a ゆえ， ∀ε > 0 に対してある n0 が存在し
て，an0 ∈ U (a, ε). 一方，an0 ∈ B. したがって U (a, ε) ∩ B ̸= ∅.
［⇐］ε = 1/n に対して U (a, ε) ∩ B =
̸ ∅ であるから，各 n ∈ N に対して ∃an ∈
U (a, 1/n) ∩ B. このような点列 (an )n は a に収束する．なぜなら，任意の ε > 0 に
対して，n > 1/ε であるすべての n に対して d(an , a) < ε が成り立つからである．と
ころがその極限 a は B に属さない．したがって，B は閉集合でない．
問題 T8. (an )n を Cauchy 列とする．X が点列コンパクトだから，これは収束部分列 (an(k) )k
をもつ．その極限を a とすると，∀ε > 0 に対して，∃k0 が存在して，∀k ≥ k0 に対
して d(an(k) , a) < ε/2. 三角不等式より
d(an , a) ≤ d(an , an(k) ) + d(an(k) , a).
右辺第２項は，k ≥ k0 ならば ε/2 で抑えられる．第１項については，(an )n が Cauchy
列であることを使う．∀ε > 0 に対して，∃n0 が存在して，n, m ≥ n0 ならば d(an , am ) <
ε/2. ゆえに n(k) ≥ n0 が成り立つような k と n ≥ n0 を満たす n に対して d(an , an(k) ) <
ε/2. したがって，n(k) ≥ n0 かつ k ≥ k0 が成り立つような十分大きい k と n ≥ n0
を満たす n に対しては，
d(an , a) ≤ d(an , an(k) ) + d(an(k) , a) < ε/2 + ε/2 = ε.
すなわち，∀ε > 0 に対して，∃n0 が存在して，∀n ≥ n0 に対して d(an , a) < ε が示
された．任意の Cauchy 列が収束するから，(X, d) は完備である．
2
問題 T9.
∫ +∞
−∞
Kn (y)dy = 1 に注意すると，
∫ +∞
fn (x) − f (x) =
Kn (y)[f (x + y) − f (x)]dy
−∞
(x ∈ R).
関数 f の連続性より，任意の ε > 0 に対して，ある δ > 0 が存在して，|y| ≤ δ ⇒
|f (x + y) − f (x)| ≤ ε. n0 ≥ 1/δ を満たす n0 をとると，任意の n ≥ n0 に対して
∫ +δ
|fn (x) − f (x)| = Kn (y)[f (x + y) − f (x)]dy ∫
≤
−δ
+δ
−δ
∫
≤ ε
Kn (y) |f (x + y) − f (x)| dy
+δ
−δ
Kn (y)dy = ε.
したがって，limn→∞ fn (x) = f (x).
∫ +∞
問題 T10. −∞ Kn (y)dy = 1 に注意すると，
∫ +∞
fn (x) − f (x) =
Kn (y)[f (x + y) − f (x)]dy
−∞
(x ∈ R).
関数 f の連続性より，任意の ε > 0 に対して，ある δ > 0 が存在して，|y| ≤ δ ⇒
|f (x + y) − f (x)| ≤ ε/2. この δ によって積分領域を二つに分けて，
∫ +∞
∫
∫
Kn (y)[f (x + y) − f (x)]dy =
+
−∞
|y|≤δ
|y|≥δ
とすると，第１項は
∫
∫
K
(y)[f
(x
+
y)
−
f
(x)]dy
≤
Kn (y) |f (x + y) − f (x)| dy
|y|≤δ n
|y|≤δ
∫
ε
ε
Kn (y)dy ≤ .
≤
2 |y|≤δ
2
第２項については以下のように評価する．関数 f の有界性より，ある M > 0 が存在
して，任意の z ∈ R に対して |f (z)| ≤ M . （この時点で，ε, δ, M が決まっている
が，これらに応じて）ある n0 が存在して，任意の n ≥ n0 に対して
∫
ε
Kn (y)dy ≤
4M
|y|≥δ
が成り立つ（n が大きくなると，Kn は原点付近に集中してくるから）．したがって，
上の第２項は
∫
∫
≤
Kn (y) |f (x + y) − f (x)| dy
K
(y)[f
(x
+
y)
−
f
(x)]dy
|y|≥δ n
|y|≥δ
∫
≤ 2M
Kn (y)dy
|y|≥δ
≤ 2M ·
3
ε
ε
= .
4M
2
したがって，任意の n ≥ n0 に対して |fn (x) − f (x)| ≤ | 第１項 | + | 第２項 | ≤
ε/2 + ε/2 = ε となる．ゆえに limn→∞ fn (x) = f (x).
問題 T11. F : I → I が縮小写像であることの定義は，ある µ (0 ≤ µ < 1) が存在して |F (x) −
F (y)| ≤ µ|x − y| (∀x, y ∈ I) である．F が滑らかな場合には，平均値の定理が使
えるので，開区間 (a, b) において |F ′ (x)| ≤ µ が成り立てばよい．いま，F (x)
√ =
′
′
2
x − f (x)/f (x) = x/2 + 1/x, F (x) = 1/2 − 1/x であるから，例えば，a = 5/2,
b = 2 とすると，x ∈ I のとき F ′ (a) = −3/10 ≤ F ′ (x) ≤ F ′ (b) = 1/4√であり，
µ = 3/10
a < F (a) = (13/20) 5 < b，
√ にとることができる．なお，このとき，
√
a < F ( 2) = 2 < b，a < F (b) = 3/2 < b が成り立ち，任意の x ∈ I に対して
F (x) ∈ I であることも確かめられる．
以上 2014-07-07
4

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