解析 II 期末試験模試 (訂正版) 1 放物線 x = y2 および直線 y = −x + 2 の

解析 II 期末試験模試 (訂正版)
1
放物線 x = y2 および直線 y = −x + 2 の囲む領域を D とするとき, I =
xydxdy を計算せよ.
D
2
3
D = {(x, y)| x2 + y2 ≤ 1, y ≤ x} に対して, I =
(x2 + y2 )e x +y dxdy を計算せよ.
D
∫ 2∫ x
I =
f (x, y)dydx の積分順序交換せよ. 但し，関数 f (x, y) は I の積分領域において連続であると
2
1
2
1
する.
4
D = {(x, y)| 0 ≤ x + 3y ≤ π2 ,
5
D = {(x, y)|
6
a > 0 は定数とし, G = {(x, y, z)|
I=
x ≥ 0,
0 ≤ x − 3y ≤ π2 } に対して, I =
(y2 z + z2 x)dxdydz を計算せよ.
G
dxdy
を計算せよ.
4
D (2x + 3y + 1)
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} とおく. このとき, 3 重積分
y ≥ 1} とするとき, 広義積分 I =
x2 + y2 + z2 ≤ a2 ,
sin(x + 3y) cos(x − 3y)dxdy を計算せよ.
D
解析 II 期末試験模試解答
1 D を横線領域として表すと, D = {(x, y)|
∫ 1∫
∫ 1[
− 2 ≤ y ≤ 1,
]−y+2
y2 ≤ x ≤ −y + 2} となる. したがって,
∫
}
y{
1 1 5
2
4
I =
xydxdy =
dy =
(−y + 2) − y dy =
(−y + y3 − 4y2 + 4y)dy
2 −2
−2 y2
−2
−2 2
y2
) (
)}
)
)
{(
(
(
1
1 1 4
64
32
1 −2 + 3 − 16
1 15
45
+8 =
− 10 =
=
− + − +2 − − +4+
− − 10 = − .
2
6 4 3
6
3
2
12
2 12
8
−y+2
x2
y
2
∫
1
2 x = r cos θ, y = r sin θ とおくと, (r, θ) は 0 ≤ r ≤ 1, − 43 π ≤ θ ≤
∫
I =
π
4
∫
− 34 π 0
1
∫
r2
r2 e rdrdθ = π
1
∫
r2
r3 e dr = π
0


(
)
∫ 1
 e  er2 1  π
e
2
rer dr = π  −    = .
= π −
2
2
2 0
2
0
0
1
π
4
を動く. よって,


 r2 
 er2 1 ∫ 1 2 



e



rer dr
r2   dr = π r2  −


2
2 0
0
3 I は縦線領域 D = {(x, y)| 1 ≤ x ≤ 2,
D = {(x, y)| 1 ≤ y ≤ 2,
1 ≤ y ≤ x} における積分である. これを横線領域に書き換えると,
∫ 2∫ 2
y ≤ x ≤ 2} であるから, I =
f (x, y)dxdy.
1
y
∂(x, y)
4 x + 3y = u, x − 3y = v とおくと, x = u+v
, y = u−v
であるから, x, y の u, v に関するヤコビアンは,
=
2
6
∂(u, v)
 1 1 
∫ π2∫ π2


1
1
1
det  21 21  = − である. したがって, I =
sin u cos v · − dudv = .
6
6
6
−6
0
0
6
∞
5 Dn = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ n, 1 ≤ y ≤ n} とおくと, {Dn }n=1 は D の近似増大列である. よって,
]n
∫ n[
∫ n∫ n
1
1
1
dxdy = lim
− ·
dy
I = lim
n→∞ 1
n→∞ 1 0 (2x + 3y + 1)4
6 (2x + 3y + 1)3 0
}
[
]n
∫ n{
1
1
1
1
1
1
1
1
= − lim
−
dy = − lim − ·
+ ·
6 n→∞ 1 (2n + 3y + 1)3 (3y + 1)3
6 n→∞ 6 (2n + 3y + 1)2 6 (3y + 1)2 1
[
{
}
{
}]
(
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
= − lim −
−
+
−
=
−
×
×
−
=
.
6 n→∞ 6 (5n + 1)2 (2n + 4)2
6 (3n + 1)2 42
6 6
16
576
6 x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ と変換すると, (r, θ, ϕ) は 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π2 , 0 ≤ ϕ ≤
したがって,
∫ π2∫ π2∫ a
I =
(r2 sin2 θ sin2 ϕ · r cos θ + r2 cos2 θ · r sin θ cos ϕ) × r2 sin θdrdθdϕ
0
0
0
) (∫ π
) (∫ π
) (∫ π
)}
(∫ a
) {(∫ π
2
2
2
2
3
2
2
2
5
sin θ cos θdθ
sin ϕdϕ +
cos θ sin θdθ
cos ϕdϕ .
=
r dr
0
0
∫
a
0
0
]π
∫ π2
1
1 4 2
1
sin θ = ,
sin θ cos θdθ =
sin2 ϕdϕ =
4
4 0
2
0
∫ π2 0
1
π
3
1
π
π
cos4 θdθ = · − · · = ,
cos ϕdϕ = 1 であるから, I
2 2 4 2 2 16 0
a6
r dr = ,
6
5
∫0 π2
0
∫
π
2
[
3
π
2
を動く.
0
π
π
· = ,
2
4
π 6
= a.
48
∫
π
2
0
∫
cos θ sin θdθ =
2
2
0
π
2
cos2 θdθ −

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