ロピタルの定理（講義編 p.161 参照）
演習
次の極限値を求めよ。
（
（1） lim
x→0
1
1
log
（1+x）
（2）
lim x 1-x
2
x（x+1）
x
x→1
x→0 のとき、
）
1
log（1+x）
→an、
→an なので、このままでは極限が求まらな
x（x+1）
x2
い。通分して、ロピタルの定理が使える形にする。
ビブン
1
log
（1+x）
log
（1+x）
（ x（x+1）
）=lim x-（x+1）
x
x（x+1）
（1） lim
2
x→0
2
x→0
ビブン
2
x→0 のとき、x-（x+1）
log
（1+x）→0、x（x+1）
→0 なのでロピタルの定理が使える。
1-log（1+x）
（x+1）
・
=lim
1
x+1
3x2+2x
x→0
ビブン
=lim
x→0
-log
（1+x）
3x2+2x
ビブン
x→0 のとき，-log
（1+x）
→0、3x2+2x→0 なので、ロピタルの定理を用いる。
1
x+1
1
=2
6x+2
=lim
x→0
（2） x→1 のとき、x→1、
y=x
1
1-x とおいて、log
1
→an なのでこのままでは極限が求まらない。
1-x
y の極限を取る。
ビブン
1
x
log x
lim log y=lim
=lim
=-1
x→1 -1
x→1
x→1 1-x
（）
ビブン
x→1 のとき、1-x→0、log x→0 なので、ロピタルの定理を用いる。
lim y=lim e log y=e-1
x→1
x→1
t=x-1とおいて
1
1
1
t =lim
（与式）
=lim
（1+t）
1=
t→0
t→0
e
（1+t）t
でもよい
80
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確認
ロピタルの定理
次の極限値を求めよ。
（
（1）
lim
x→0
1
1
ax+bx+cx
（2）
lim
3
x2 tan2 x
x→0
）
x→0 のとき、
（
（1） lim
x→0
（
1
1
tan2 x-x2
=lim
22
x2 tan2 x
x
tan x
x→0
）
（tan x+x） tan x-x
x
・
・
x
x3
tan x
x→0
lim
x→0
）（a、b、c は正）
1
1
→n、
→n なので、このままでは極限は求まらない。通分する。
x2
tan2 x
（
=lim
1
x
tan x+x
tan x
x
=lim
+1 =2、lim
x→0
x→0
x
x
tan x
（
）（
2
）
2
）
=1 なので、残りの lim
x→0
tan x-x
を
x3
考える。tan x-x→0、x3→0 なのでロピタルの定理を使う。
ビブン
1
-1
cos2 x
tan x-x
1-cos2 x
lim
=lim
=lim
3
2
2
2
3x
x
x→0
x→0 3x cos x
x→0
ビブン
sin x 2
1
1
1
1
1
2
=lim
=2・・1=
= よって、lim 2 2
tan2 x
3
3
x→0 x
x
3 cos x 3
x→0
（
）
（2） x→0 のとき、
（
y=
ax+bx+cx
3
（
）
ax+bx+cx
1
→1、 →an なのでこのままでは極限は求まらない。
x
3
1
x
）とおく。
（
log
lim log y=lim
x→0
x→0
（log f）=
f
,（ax）=（log a）ax
f
ビブン
ax+bx+cx
3
log
（ax+bx+cx）
-log 3
=lim
x
x
x→0
ビブン
）
x→0 のとき、x→0、log（ax+bx+cx）-log 3→0 なのでロピタルの定理を用いる。
（log a）
ax+（log b）
bx+（log c）
cx
x
x
x
a +b +c
log a+log b+log c
=lim
=
1
3
x→0
（
）
3
=log abc
よって、lim y=lim elog y=elog
x→0
x→0
3
abc
3
= abc
81
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マクローリン展開（講義編 p.176 参照）
演習
次の関数の n 次導関数を計算し、マクローリン展開せよ。また、収束半
径 R を求めよ。
1
1+x
（1）（1） f
（x）
=
（2）
cosh x
1
3
1
1
2 とおく。f（x）
=（1+x）
= - （1+x）- 2
2
1+x
（）
1
3
3
5
（- 12（）- 2（）- 2 （1+x）
）
-5
（3）
=
2 、f （x）
（ 2（）- 2 （1+x）
）
f（2）
（x）
= -
-7
2 、…
（2n-1）
n 1・3・…・
（n+ 12 ）
（x）=
（-1）
・
（1+x） f（n）
2n
f（n）
（0）（-1）n・1・3・…・
（2n-1）（-1）n・1・3・…・
（2n-1）
=
=
n
n!
2 ・n!
2・4・…・2n
（0） f（3）
（0）
f（n）
（0）
マクローリン展開は、f（2）
よって、f
（0）
=1、
（x）
f
f（0）
（0）
f
2!
3!
n!
n
1
1
1・3
1・3・5 3
（-1）・1・3・…・
（2n-1） n
=1- x+ x2x +…+
x +……
2
2・4
2・4・6
2・4・…・2n
1+x
n
（-1）
・1・3・…・
（2n-1）
an=
とおくと、
2・4・…・2n
2・4・…・2n
・
｜aa ｜=lim｜12・・34・・……・・（2n+1）
｜
（n+1） 1・3・…・
2
（2n-1）
2n+1
=lim｜
｜=1 よって、
2（n+1）
r=lim
n→n
n+1
n
n→n
収束半径 R は、R=
n→n
1
=1
r
（2）
f
（x）
=cosh x とおく。f（x）
=sinh x、f（2）
（x）
=cosh x、f（3）
（x）
=sinh x、…
（x）
=sinh x、f（n）
（0）
=0
n が奇数のとき、f（n）
（x）
=cosh x、f（n）
（0）
=1
n が偶数のとき、f（n）
マクローリン展開は、
（x）
f
（0）
f
f（2）
（0） f（4）
（0）
f（2n）
（0）
1
1
1
cosh x=1+ x2+ x4+…+
x2n+…
2!
4!
（2n）
!
ex+e-x
であり、ex のマクローリン展開の収束半径が n なので、
2
cosh x の収束半径 R も、R=n
cosh x=
1
1
とおいて、r=lim k ak=lim 2n a2n=lim 2n
a2n=
=0 から、R=n としてもよい
k→n
n→n
n→n （2n）
（2n）!
!
82
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確認
マクローリン展開
次の関数の n 次導関数を計算し、マクローリン展開せよ。また、収束半
径 R を求めよ。
（1）
ax
（2）
log
（1+3x+2x2）
2 x
（1）
f
（x）=ax とおくと、f（x）
=
（log a）
ax、f（2）
（x）=
（log a）
a 、…、
n
（x）=
（log a）nax よって、f
（0）
=1、f（n）
（0）=
（log a）
f（n）
マクローリン展開は、
（x）f
f
（0）
f（0）
f（2）
（0）
f（3）
（0）
f（n）
（0）
（log a） 2 （log a） 3
（log a）n n
x+
x +…+
x +…
2!
3!
n!
ax=1+
（log a）x+
2
3
n
（log a）
an=
とおくと、
n!
r=lim
n→n
an+1
（log a）n+1
n!
log a
・
=lim
=0
n =lim
an n→n （n+1）! （log a） n→n n+1
公式による解法：ax=e（log a）x なので、ex のマク
1
R= より、収束半径は、R=n r
ローリン展開で x を
（log a）
x におきかえる
（2） f（x）
=log
（1+3x+2x2）
とおく。
｛
（1+x）
（1+2x）｝
=log
（1+x）
+log
（1+2x）
を用いて、
log
（1+3x+2x2）=log
n-1
n-1
（-1）
（n-1）
! （-1）
（n-1）
・
! 2n
+
n
n
（1+2x）
（1+x）
（n）
f（n）
（x）
=
（log
（1+x）
+log
（1+2x）
）
=
n-1
!
（n）
（n）（-1）（n-1）
（g
（ax+b）
）
=ang（n）
（ax+b）
で、
a=2、
b=1、
g
（x）
=log x とする。
（log x）
=
xn
n
（0）
f
=0、f（n）
（0）
=（-1）n-1
（n-1）
（1+2
!
）
マクローリン展開は、
f（2）
（0） f（3）
（0）
f（0）
（x）
f
log
（1+3x+2x2）
=3x-
f（n）
（0）
n-1
n
5 2 18 3
（-1）（n-1）
（1+2
!
）n
x + x +…+
x +…
2!
3!
n!
（-1）n-1（1+2n）
n
n-1
（-1）
（1+2n）
an=
とおくと、
n
n+1
｜
n
・
=lim
｜aa ｜=lim｜1+2
n+1 1+2 ｜
r=lim
n→n
n+1
n
n→n
n
1
+2
2n
1
・
=2
1
1
+1 1+
2n
n
n→n
｜
1
1 1
log
（1+x）
の収束半径は 1、log
（1+2x）
の収束半径は、和
2
収束半径は、R= = r
2
の関数はこのうち小さい方の収束半径を持つ
83
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