第6章剰余類、剰余群

第 6 章剰余類、剰余群
6.1
6.1.1
部分群による類別
何を考えるか
初等整数論では、n ∈ N で割った余りによって、整数全体の集合を類別した。つまり、r ∈ Z に対し、
a ≡ b (mod n)
def.
⇐⇒
−b + a ∈ nZ
で同値関係を入れた1 同値類を
def.
C(a) := {x ∈ Z | x ≡ a (mod n)}
としたとき、
def.
a + nZ := { r + m | m ∈ nZ }
で定義された集合 r + nZ と等しくなる、すなわち
C(a) = a + nZ
となることを示した。このとき、
def
Z/nZ := { C(a) | a ∈ Z } = { a + nZ | a ∈ Z }
と類別することにより、n で割ったときの余りが等しい数をひとまとめに表すことができ、いろいろな性質を系統立て
て考えることができた。
一方、nZ は、加法を演算とする Z の部分群だったことを考えると、同様の考え方を一般の部分群に用いて、群の構
造がより詳しく調べることができるのではないかと期待できる。例えば、上の + を積に置き換えて、
a ≡ b (mod H)
def.
⇐⇒
b−1 a ∈ H
とすると、これは同値関係になるのだろうか？なるとしたら、その同値類を
def.
CH (a) := { g ∈ G | g ≡ a (mod H) }
として、さらに、
def.
aH := {ah | h ∈ H}
という集合を考えたとき、
?
CH (a) = aH
となるだろうか？これができると、部分群に含まれない「余り」の部分によって、群の要素を類別した、
G/H := { CH (a) | a ∈ G} = { aH | a ∈ G}
を考えることが可能になり、群の構造をより詳細に考えることが期待できる。
1 後の話の都合上、和の順番が入れ違っている。整数の類別のときは演算が和で可換だっただから、もちろん今までの話とは矛盾はない。
45
6.1.2
左類別、左剰余類
定義 6.1 G を群、H をその部分群とするとき、部分群 H を法とする（左）合同 ≡ を
a≡b
def.
⇐⇒
(mod H)
b−1 a ∈ H
と定義する。
例 : 3 次対称群 S3 の元 σ1 = (1 2) に対し、σ1 ≡ σ2 (mod A3 ) である。実際、
σ2−1 σ1 = σ2 σ1 = ρ2 ∈ A3
である。（例終）
例:
[
A=
2
3
1
2
]
[
,
B=
√
√ ]
−1/ 2 5/ 2
√
√
−1/ 2 3/ 2
{ [
def.
∈
SL (2, R) :=
}
]
a, b, c, d ∈ R,
d ad − bc = 1
}
a
b
c
]
cos θ − sin θ θ ∈ R 。実際、
sin θ cos θ
] [
]
cos π4 − sin π4
=
∈ SO(2)
sin π4
cos π4
{ [
に対し、A ≡ B (mod SO(2)) である。ただし SO(2) :=
[
B
−1
A=
√
1/ 2
√
1/ 2
√
−1/ 2
√
1/ 2
である。（例終）
命題 6.2 部分群 H を法とする合同 ≡ は G 上の同値関係である。すなわち、
(i) a ≡ a
(mod H),
(iii) a ≡ b
(mod H),
(ii) a ≡ b
b≡c
(mod H) =⇒ b ≡ a
(mod H) =⇒ a ≡ c
(mod H),
(mod H).
（証明） (i) a−1 a = e （G の単位元）だが、e は G の全ての部分群に含まれるので、a−1 a ∈ H 。
(ii) H が部分群であるから、h ∈ H ⇒ h−1 ∈ H がいえるので、
a≡b
(iii) a ≡ b
(mod H)
=⇒
b−1 a ∈ H
=⇒
a−1 b = (b−1 a)−1 ∈ H
=⇒
(mod H)、b ≡ c (mod H)、より、ab−1 、bc−1 ∈ H だから、
c−1 a = c−1 bb−1 a ∈ H
=⇒
a ≡ c (mod H)
がいえる。（証明終）
定義 6.3 H を法とし、a ∈ G を代表元とする同値類 CH (a) を
def.
CH (a) := {x ∈ G | x ≡ a
(mod H)}
で定義する。この CH (a) を（H を法とし、a を代表元とする）剰余類という。
46
b≡a
(mod H)
同値類の性質からいえることをまとめておく。
命題 6.4 次の (i)、(ii)、(iii) は同値な命題。
(i) a ≡ b (mod H),
(ii) CH (a) = CH (b),
(iii) a ∈ CH (b)
（証明）「(i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (i)」を示せばよい。
(i) ⇒ (ii) : x ∈ CH (a) とすると x ≡ a (mod H)。ここで、仮定 (i) より a ≡ b (mod H) だから x ≡ b (mod H) がい
える。よって x ∈ CH (b)。これより CH (a) ⊂ CH (b) がいえた。つぎに、x ∈ CH (b) とすると、x ≡ b (mod H) であり、
a ≡ b (mod H) より b ≡ a (mod H) であることを用いると、x ≡ a (mod H)。よって、CH (a) ⊃ CH (b) も示せたので、
CH (a) = CH (b) 。
(ii) ⇒ (iii) : a ≡ a (mod H) より a ∈ CH (a) だが、(ii) より CH (a) = CH (b) より a ∈ CH (b)。
(iii) ⇒ (i) : CH (b) の定義より、ただちに従う。（証明終）
∪
命題 6.5 (i) 適当に代表系 {aλ | λ ∈ Λ} を選ぶと、G =
CH (aλ )、
CH (aλ ) ∩ CH (aµ ) = ϕ
(λ ̸= µ) とできる。
λ∈Λ
このように群の要素を分けることを（左）同値類別という。
(ii) a、a′ ∈ G に対し、CH (a) ∩ CH (a′ ) ̸= ϕ
=⇒
CH (a) = CH (a′ )
例 : S3 において、CA3 (σ1 ) を決定する。つまり、η ∈ S3 のうち、η −1 σ1 が偶置換であるものを全て探す。η と η −1 の
偶奇は等しいから、η が奇置換であることと、η −1 σ1 が偶置換となることは同値。よって、CA3 (σ1 ) = { σ1 , σ2 , τ } であ
る。同様に、A3 を法として CA3 (e) = { e, ρ1 , ρ2 } がいえ、
CA3 (σ1 ) ∪ CA3 (e) = S3 ,
CA3 (σ1 ) ∩ CA3 (e) = ϕ
がなりたっている。（例終）
いちいち全ての元の同値関係をチェックするのは非常に面倒であるが、実は、同値類の集合は別の簡単な方法で求めるこ
とができる。次の記号を用意しておく。
def.
定義 6.6 H を群 G の部分群、g ∈ G とするとき、gH := { gh | h ∈ H} と定義する。
例 : σ1 ∈ S3 に対し、σ1 A3 = { σ1 e, σ1 ρ1 , σ1 ρ2 } = { σ1 , σ2 , τ } となる。（例終）
定理 6.7 H を群 G の部分群とする。
(i) CH (a) = aH 。特に、CH (e) = H 。
(ii) 写像 φ を、
∈
−→ CH (a)
∈
φ : CH (e)
7−→
h
で定義すると、これは全単射。
47
ah
（証明） (1) x ≡ a (mod H) とすると、定義より a−1 x ∈ H 、すなわち、ある h ∈ H が存在して、x = ah と書けるか
ら、x ∈ aH となる。逆に、x ∈ aH とすると、ある h ∈ H が存在して x = ah と書けるから、a=1 x = h ∈ H となるの
で、x ∈ CH (a)。
(2) 全射であること : (1) より、任意の CH (a) の元 x は、x = ah （h ∈ H ）という形で書けるので、この h ∈ H = CH (e)
に対し、φ(h) = x がなりたつ。すなわち、φ で移すと x になる CH (a) の元が存在するので、φ は全射。
単射であること : h、h′ に対し、φ(h) = φ(h′ ) ⇒ ah = ah′ ⇒ h = h′ なので、φ は単射。（証明終）
例. S3 において、
eA3 = { ee, eρ1 , eρ2 } = { e, ρ1 , ρ2 },
σ1 A3 = { σ1 e, σ1 ρ1 , σ1 ρ2 } = { σ1 , τ, σ2 }
であり、先の例と比較すると、eA3 = CA3 (e)、σ1 A3 = CA3 (σ1 ) がなりたっている。（例終）
例. S3 において、H = {e, e1 } とすると、
eH = { ee, eσ1 } = { e, σ1 },
σ2 H = { σ2 e, σ2 σ1 } = { σ2 , ρ2 },
ρ2 H = { ρ2 e, ρ2 σ1 } = { ρ2 , τ }
である。これと、先の例を比較すると、eH = CH (e)、σ2 H = CH (σ2 ) ρ2 H = CH (ρ2 ) がなりたっている。（例終）
例 : A4 において、
(1 2 3)V4 = { (1 2 3)e, (1 2 3)(1 2)(3 4), (1 2 3)(1 3)(2 4), (1 2 3)(1 4)(2 3) } = { (1 2 3), (1 3 4), (2 4 3), (1 4 2) }
である。このとき、定理より、(1 2 3)V4 = CV4 ((1 2 3)) がいえる。（例終）
剰余類 CH (a) と集合 aH を同一視し、剰余類のことも aH と書くことがある。特に、e を単位元とするとき、CH (e) の
ことを H と略記する。
6.1.3
Lagrange の定理
定義 6.8 (i) H を群 G の部分群、a ∈ G とするとき、CH (a) = aH を H による a を代表元とする左剰余類という。
(ii) H による左剰余類の集合を G/H で表す。
G/H := { CH (a) | a ∈ G } = { aH | a ∈ G }
(iii) H の相異なる左剰余類の個数を H の G における指数といい、(G : H) で表す。
(G : H) := |G/H|
注意 : 集合の記法で、同じ要素がいくつ { } の中にあっても、{ x, x, y } = { x, y } のように考えるのだった。ここで、
{ CH (a) | a ∈ G}、{ aH |
うに書くと、



CH (aj ) 

a ∈ G } などと書いているのもそういう意味で、普通に、{ } の中の個数を最も少なくなるよ

a1 , · · · , ak ∈ G,


CH (a1 ) ∪ · · · ∪ CH (ak ) = G


CH (ai ) ∩ CH (aj ) = ϕ (i ̸= j)



a1 , · · · , ak ∈ G
aj H a1 H ∪ · · · ∪ ak H = G


ai H ∩ aj H = ϕ (i =
̸ j)
となるが、簡単のために、両方の書き方を適宜用いる。次の例で感じはつかめると思う。
48





,
例 : S3 /A3 について考えてみる。定義の記法に従えば、
S3 /A3 = {CA3 (η) | η ∈ S3 } = { CA3 (e), CA3 (σ1 ), CA3 (σ2 ), CA3 (ρ1 ), CA3 (ρ2 ), CA3 (τ ) }
だが、CA3 (e) = CA3 (ρ1 ) = CA3 (ρ2 )、CA3 (σ1 ) = CA3 (σ2 ) = CA3 (τ ) だから、集合の元の重複がないようにすると、例
えば S3 /A3 = { CA3 (e), CA3 (σ1 ) } のようになる。よって、(S3 : A3 ) = |S3 /A3 | = 2 である。（例終）
定理 6.9 （Lagrange の定理）有限群 G の部分群を H とするとき、|G| = |H| × (G : H)。
（証明） (G : H) = k とおく。適当な代表元 a1 、· · · 、ak ∈ G をとって同値類別すると、
G = CH (a1 ) ∪ CH (a2 ) ∪ · · · ∪ CH (ak ),
ai H ∩ aj H = ϕ
(i ̸= j)
とできる。このとき、
|G| = |CH (a1 )| + |CH (a2 )| + · · · + |CH (ak )|
である。また、定理 6.7 (ii) より、|CH (a1 )| = · · · = |CH (ak )| = |CH (e)| = |H|。以上より
|G| = |H| × k = |H| × (G : H)
がいえた。（証明終）
例 : 剰余類のところの例を見直すと、|S3 | = 6、|A3 | = 3、H = {e, σ1 } とすると |H| = 2 で、(S3 : A3 ) = 2、(S3 : H) = 3
となっている。また、|A4 | = 12、|V4 | = 4、(A4 : V4 ) = 3 である。（例終）
系 6.10 有限群 G の元を a とすれば、a の位数は G の位数の約数である。したがって、n = |G| とすれば、an = e。
例 : S3 の元 σ1 の位数は 2、ρ1 の位数は 3 で、どちらも |S3 | = 6 の約数になっている。（例終）
例 : n ∈ N 、φ(n) を n と互いに素である n 未満の正整数の個数とする（ φ を Euler の関数という）。このとき、
def.
(Z/nZ)× := { C(k) | k は n と互いに素。}
とすると、|(Z/nZ)× | = φ(n) である。これと、先ほどの系をもちいると、
)
(
C(k)φ(n) = C(1) ⇔ C k φ(n) = C(1) ⇔ k φ(n) ≡ 1 (mod n)
いえる。すなわち、
gcd(k, n) = 1
⇒
k φ(n) ≡ 1 (mod n)
となる。これが、初等整数論における Euler の定理である。（例終）
6.1.4
右合同、右類別、右剰余類
今までの話は、演算の左右を逆にしても全く同様に考えることができる。
49
定理 6.11 (i) 群 G の部分群を H としたとき、G の元 a、b に対し、H を法とする右合同 ≡′ を
a ≡′ b
def.
⇐⇒
(mod H)
ab−1 ∈ H
と定義すると、これは同値関係。
′
(ii) a ∈ G に対し、部分群 H を法とする右合同に関する同値類を CH
(a) := { x ∈ G | x ≡′ a (mod H) } 、集合 Ha を
′
Ha := { ha | h ∈ H } とすると、CH
(a) = Ha。
(iii) G の右剰余類の個数は左剰余類の個数 (G : H) と等しい。
6.2
6.2.1
正規部分群と剰余群
何を考えるか
def.
初等整数論を思い出してみる。Z をある n ∈ N で類別した C(a)（a ∈ Z）を考える利点は、剰余類の間の演算 C(a)+C(b) :=
C(a + b) (a, b ∈ Z) を定義することができ、「n で割ったら a 余る数」をひとまとめにして扱えることだった。このよ
うに定義できたのは、
C(a) = C(a′ ), C(b) = C(b′ )
⇒
a ≡ a′ (mod n), b ≡ b′ (mod n),
⇒
a + a′ ≡ b + b′ (mod n)
⇒
C(a + b) = C(a′ + b′ )
⇒
C(a) + C(b) = C(a′ ) + C(b′ )
がいえたからだった。一般の群 G についても、部分群 H を法とする同値類に関して、
def,?
(a, b ∈ G)
CH (a)CH (a) := CH (ab)
(6.1)
と定義できるなら、同値類同士の演算を導入できそうである。ただし、一般にはそれはできない。というのも、
a ≡ a′ (mod H),
b ≡ b′ (mod H)
⇒
ab ≡ a′ b′ (mod H)
の部分がうまくいくとは限らない。すこし詳しく見てみると、
a ≡ a′ (mod H) ⇒ (a′ )−1 a ∈ H ⇒ (a′ )−1 a = h1 となる h1 が存在する ⇒ a = a′ h1 となる h1 が存在する
b ≡ b′ (mod H) ⇒ (b′ )−1 b ∈ H ⇒ (b′ )−1 b = h2 となる h2 が存在する ⇒ b = b′ h2 となる h2 が存在する
ではあるが、ここで (a′ b′ )−1 ab を計算しても、
(a′ b′ )−1 ab = (b′ )−1 (a′ )−1 a′ h1 b′ h2 = (b′ )−1 h1 b′ h2
にしかならない。例えば、(b′ )−1 h1 b′ の部分が H に含まれるならば、これは H に含まれ、ab ≡ a′ b′ (mod H) がいえ
ることになる。その条件を満たした部分群が以下で定義する正規部分群である。
6.2.2
正規部分群の定義
def.
以後、H を群 G の部分集合、g1 、g2 ∈ G とするとき、集合 g1 Hg2 を g1 Hg2 := { g1 hg2 | h ∈ H} で定義する。
50
定義 6.12 群 G の部分群 H が任意の g ∈ G に対し g −1 Hg ⊂ H を満たすとき、H を G の正規部分群という。H が
G の正規部分群であることを H ▹ G または G ◃ H と表す。
例 : An ▹ Sn である。実際、η ∈ Sn 、π ∈ An がそれぞれ互換の積
η = τ1 · · · τk ,
| {z }
k 個
π = ρ1 · · · ρ2l
| {z }
2l 個
で表せたとすると、η −1 πη は
η −1 πη = τk · · · τ1 ρ1 · · · ρ2l τ1 · · · τk
|
{z
}
2(k+l) 個
となり、偶数個の互換の積で表されるから An に含まれる。よって、任意の η ∈ Sn に対し、η −1 An η ⊂ An 。（例終）
例 : 4 次対称群 S4 の部分群 V4 := { e,
(1 2)(3 4),
(1 3)(2 4),
(1 4)(2 3) } は正規部分群である。これは、次のよ
うに示すことができる。V4 の任意の元は、(i j)(k l) （i、j 、k 、l は、1、2、3、4 のうちのひとつずつ）という形で書
ける。任意の σ ∈ S4 について、
σ −1 (i j)(k l)σ = (σ −1 (i) σ −1 (j))(σ −1 (k) σ −1 (l))
だが、σ −1 (i)、σ −1 (j)、σ −1 (k)、σ −1 (l) もやはり、1、2、3、4 のうちのひとつずつだから、(σ −1 (i) σ −1 (j))(σ −1 (k) σ −1 (l)) ∈
V4 となる。よって、V4 ▹ S4 。（例終）
例 : SL (n : C) ▹ GL (n : C) である。実際、A ∈ SL(n; C)、B ∈ GL(n; C) とすると、B −1 AB は複素 n × n 行列で
det(B −1 AB) = 1 であるから、B −1 AB ∈ SL(n; C) である。（例終）
def.
例 : 群 G に対し、Z(G) := { a ∈ G | ag = ga
for ∀g ∈ G } とすると、Z(G) は G の正規部分群である。Z(G) を G
の中心という。（例終）
定理 6.13 N を群 G の正規部分群とするとき、a、a′ 、b、b′ ∈ G に対し、
a ≡ a′ (mod N ),
b ≡ b′ (mod N )
=⇒
ab ≡ a′ b′ (mod N )
（証明）合同の定義より、
a ≡ a′ (mod N ) ⇒ (a′ )−1 a ∈ N ⇒ (a′ )−1 a = n1 となる n1 ∈ N が存在する
⇒ a = a′ n1 となる n1 ∈ N が存在する
b ≡ b′ (mod N ) ⇒ (b′ )−1 b ∈ N ⇒ (b′ )−1 b = n2 となる n2 ∈ N が存在する
⇒ b = b′ h2 となる n2 ∈ N が存在する
となる。このとき、
(a′ b′ )−1 ab = (b′ )−1 (a′ )−1 (a′ n1 )(b′ n2 ) = (b′ )−1 n1 b′ n2
となるが、N ▹ G より、(b′ )−1 n2 (b′ ) ∈ N なので、これは N に含まれる。よって、ab ≡ a′ b′ (mod N ) がいえる。（証
明終）
51
6.2.3
定義からすぐにいえること
命題 6.14 H が群 G の正規部分群であることと、次の各々は同値
(i) G の任意の元 g に対し、g −1 Hg = H 。
(iii) G の任意の元 g に対し、gHg −1 = H 。
(ii) G の任意の元 g に対し、g −1 Hg ⊃ H 。
(iv) G の任意の元 g に対し、gHg −1 ⊂ H 。
(v) G の任意の元 g に対し、gHg −1 ⊃ H 。
（証明の概略）例として、H が正規部分群ならば、(ii) がなりたつことを示す。H が正規部分群であるとき、任意の
g ∈ G に対し、g −1 Hg ⊂ H がなりたつ。すなわち、任意の H の元 h について、
g −1 hg = h′
=⇒
h = gh′ g −1
と表せる。すなわち、G の任意の元 g に対し、h ∈ gHg −1 がなりたつ。ここで、G = G−1 = { g −1 | g ∈ G } より、G
の任意の元 g に対し、
h∈H
=⇒
∀g ∈ G に対し h ∈ g −1 Hg
がいえたことになり、主張は成立。正規部分群であることと (ii) より、(i) も成立。同様に、(iii)、(iv)、(v) も示せる。
（証明終）
命題 6.15 G を群、H を（正規とはかぎらない）部分群、N 、N1 、N2 を正規部分群とする。このとき、
(i) H ∩ N は H の正規部分群である。特に N ⊂ H のとき、N ▹ H 。
def
def
(ii) 集合 HN 、N H を HN := { hn | h ∈ H, n ∈ H }、N H := { nh | h ∈ H, n ∈ H } とするとき、HN = N H で、
これらは G の部分群。
def.
(iii) N1 N2 := {n1 n2 | n1 ∈ N1 , n2 ∈ N2 } とすると、N1 N2 ▹ G である。
（証明）練習問題。（証明終）
例 : A4 は S4 の部分群で、V4 ⊂ A4 、V4 ▹ A4 だから、上の (i) より、V4 ▹ A4 もいえる。（例終）
定理 6.16 G を群、 H ▹ G とすると、H の左剰余類と右剰余類は等しくなる。
（証明の概略）正規部分群、左剰余類、右剰余類の定義より、g −1 Hg = H ⇔ Hg = gH がいえる。（証明終）
6.2.4
剰余群
def.
定理 6.17 G を群、N ▹ G とする。G/N 上の積を、CN (a)CN (b) := CN (ab) (a, b ∈ G) で定義する。このとき、N を
def.
法とする剰余類全体の集合 G/N := {CN (a) | a ∈ G} は、上の積を演算とする群になる。
（証明） (I) 積が二項演算であること : (i) 積の一意性を示すには、CN (a) = CN (a′ )、 CN (b) = CN (b′ ) ⇒ CN (a)CN (b) =
CN (a′ )CN (b) を示せばよい。CN (a) = CN (a′ )、 CN (b) = CN (b′ ) より、
CN (a) = CN (a′ ), CN (b) = CN (b′ )
⇒ a ≡ a′ (mod N ), b ≡ b′ (mod N )
⇒ ab ≡ a′ b′ (mod N )
⇒ CN (ab) = CN (a′ b′ )
⇒ CN (a)CN (b) = CN (a′ )CN (b)
52
がいえる。
(ii) a、b ∈ G に対し、定義より CN (a)CN (b) = CN (ab) で、ab ∈ G だから (aN )(bN ) ∈ G/N がいえる。
(II) 結合法則を満たすこと : a、b、c ∈ G に対し、これらが結合法則を満たすことより、
{CN (a)CN (b)}CN (c) = CN (ab)CN (c) = CN ((ab)c) = CN (a(bc)) = CN (a)CN (bc) = CN (a){CN (b)CN (c)}
なので、このふたつの積は等しくなる。
(III’) 左単位元の存在 : G の単位元を e としたとき、CN (e) が G/N の単位元になる。実際、
(i) 任意の a ∈ G に対し、CN (e)CN (a) == CN (ea) = CN (a) がなりたつ。
(ii) e ∈ G より、CN (e) ∈ G/N 。
(IV’) 左逆元の存在 : a ∈ G そ代表元とする同値類 CN (a) に対し、a−1 を代表元とする同値類 CN (a−1 ) が逆元になる。
実際。
(i) CN (a−1 )CN (a) = CN (a−1 a)N = CN (e)、となる。
(ii) a ∈ G に対し、a−1 ∈ G より CN (a−1 ) ∈ G/N 。（証明終）
定義 6.18 上で定義された群 G/N を剰余群（商群）という。
例 : Sn の正規部分群 An による剰余群 Sn /An を考える。群の要素全体は、Sn /An := { An , σAn } である。ただし、
σ は Sn の奇置換のうちの任意のひとつ。演算は、乗積表
CAn (e)
CAn (σ)
CAn (e)
CAn (σ)
CAn (e)
CAn (σ)
CAn (σ)
CA3 (e)
のようになる。（例終）
53

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