+ P(Ak+1)

情報ネットワーク学基礎 1
演習問題解答（6 月 11 日出題分）
問題１
(2) の解答 : 公理 (1) より P (A) ≥ 0 であるから，P (A) ≤ 1 を示す．上の性質 (1) より P (A) +
P (Ac ) = 1 で，公理 (1) より P (Ac ) ≥ 0 であるから，P (A) = 1 − P (Ac ) ≤ 1 が成り立つ．
(3) の解答 : 上の性質 (1) で A = Ω とすると，Ωc = ϕ であるから，P (Ω) + P (ϕ) = 1．一方，公
理 (2) より P (Ω) = 1 なので，P (ϕ) = 1 − P (Ω) = 0．
(4) の解答 : A ⊂ B より，B = A∪(B\A) で A と B\A は互いに素である．公理 (1) より P (B\A) ≥
0 が成り立つことと，公理 (3) を用いると，P (B) = P (A∪(B\A)) = P (A)+P (B\A) ≥ P (A)．
(5) の解答 : 帰納法により示す．n = 2 のときは公理 (3) より (5) が成り立つ．n = k (k ≥ 2)
のとき (5) が成り立つと仮定して，n = k + 1 のときも (5) が成立することを示せばよい．
A1 , A2 , . . . , Ak , Ak+1 ⊂ Ω が互いに素であると仮定すると，
P
( k+1
∪
)
Ai
=P
(( ∪
k
)
Ai
)
∪ Ak+1
=P
i=1
i=1
=
=
k
∑
i=1
k+1
∑
(∪
k
)
Ai
+ P (Ak+1 )
i=1
[
P (Ai ) + P (Ak+1 )
∵ 帰納法の仮定
]
P (Ai )
i=1
が成り立つ．よって (5) が示された．
(6) の解答 : C = A\B, D = B\A, E = A ∩ B とおくと，
A ∪ B = C ∪ D ∪ E,
A = C ∪ E,
B =D∪E
で C, D, E は互いに素である．よって，上の性質 (5) を用いると，
P (A ∪ B) = P (C) + P (D) + P (E)
P (A) = P (C) + P (E)
P (B) = P (C) + P (E)
が成り立つ．これらの式より
P (A ∪ B) = P (C) + P (D) + P (E)
= P (C) + P (E) + P (D) + P (E) − P (E)
= P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
1
[
∵ 公理 (3)
]
問題 2
問 2-1 の解答
標本空間 Ω は合計 53 枚のトランプカードから，順序を問わず 5 枚取り出す結果全体である．
よって
( )
53
= 2869685
|Ω| = 53 C5 =
5
であり，またすべての根元事象 ω ∈ Ω は等確率でおこる（つまり ∀ω ∈ Ω, P ({ω}) =
1/2869685).
事象 C を「5 枚でフルハウスが出来る」とする．今 C を以下の２つの事象 C1 , C2 に分けて
考える．
– C1 : ジョーカーを含まない５枚でフルハウスが出来る
– C2 : ジョーカーを含む５枚でフルハウスが出来る
このとき P (C) = P (C1 ∪ C2 ) であるが，C1 と C2 は互いに素なので
P (C) = P (C1 ) + P (C2 )
で求められる．
３カードを生成する数字を i，ペアを生成する数字を j で表す．C1 の要素数は，まず i と j
の組 (i, j) を１＝ Ace から 13 ＝ King の中から選び，次に i の４枚のカードから３枚，j の
４枚のカードから２枚順序を問わず選ぶ総数と等しい．このとき i ̸= j（3 カードの数字 i と
ペアの数字 j は同じにならない），かつ (i, j) ̸= (j, i) であることに注意すると，(i, j) の総数
は 13 × 12 となる．よって
( ) ( )
4
4
|C1 | = 13 × 12 ×
×
= 3744.
3
2
また，C２は，
(a)
C2 : ジョーカーをのぞく残り４枚において 2 ペアを生成する
(b)
C2 : ジョーカー以外の４枚でスリーカードが出来る
(a)
の事象にさらに分けて考えられる．このとき C2
(b)
と C2 は互いに素である．
ジョーカーをのぞく残り４枚において 2 ペアを生成する際の，２ペアを生成する数字を x と
y とする．x と y の組 (x, y) において x ̸= y であるが，(x, y) = (y, x) となることに注意（例；
Ace(= x) のペアと King(= y) のペアをつくることと，King のペアと Ace のペアをつくる
(13)
(a)
ことは同じ) すると，(x, y) の総数は 13×12
=
2
2 である．よって，C2 の総数は
( ) ( )
4
4
(a) 13 × 12
×
×
= 2808.
C2 =
2
2
2
また，ジョーカー以外の４枚でスリーカードが出来る際の，スリーカードを生成する数字
を m, のこりのカードの数字を n とすると，m と n の組 (m, n) において m ̸= n，かつ
(b)
(m, n) ̸= (n, m) であるから，(n, m) の総数は 13 × 12 となる．よって，C2 の総数は
( ) ( )
4
4
(b) ×
= 2496.
C2 = 13 × 12 ×
3
1
2
よって求める確率は
(a)
(b)
P (C) = (C1 ) + P (C2 ) = P (C1 ) + P (C2 ) + P (C2 )
(a)
=
(b)
|C1 |
|C2 |
|C2 |
696
+
+
=
≃ 0.00315
2869685 2869685 2869685
220745
問 2-2 の解答
Ω を 52 枚のトランプカードから１枚ランダムに選んだ際の結果全体とする．このとき |Ω| = 52
であり，またすべての ω ∈ Ω において等確率でおこる（つまり ∀ω ∈ Ω, P ({ω}) = 1/52).
今 |A|（奇数のカードの数）= 7 × 4 = 28，|B|(絵札の数）= 3 × 4 = 12，また |A ∩ B|（奇数の
12
8
カードであり，かつ絵札の数）= 2 × 4 = 8 なので，P (A) = 28
52 ，P (B) = 52 ，P (A ∩ B) = 52
となる．よって求める条件付き確率 P (B|A) は
P (B|A) =
8
2
P (A ∩ B)
=
=
P (A)
28
7
また P (A ∩ B) ̸= P (A)P (B) なので，A と B は独立ではない．
問 2-3 の解答
各大学に合格するを 1，不合格を 0 とすると標本空間は Ω = {0, 1}5 となる．各根元事象を
ω = (a, b, c, d, e)，ただし a, b, . . . , e ∈ {0, 1} とすると，確率測度は各大学の合否から積に
よって定義される．例えば，(1, 0, 0, 1, 0) ⇔A 大学と D 大学のみ合格する事象を考えると，
その確率は
P ({(1, 0, 0, 1, 0)}) = PA (1 − PB )(1 − PC )PD (1 − PE )
となる．同様に，全ての ω ∈ Ω に対して P ({ω}) を書き下すことができるが（全部で 25 通
りもあるので）省略．
今，全ての大学に不合格となる事象を AF とし，その確率を PF とすると，
AF = {(0, 0, 0, 0, 0)}
PF = (1 − PA )(1 − PB )(1 − PC )(1 − PD )(1 − PE )
と計算される．したがって，この学生が少なくとも１つの大学に合格する確率は AF の余事
象をとることによって，
P (AcF ) = 1 − PF = 1 − (1 − PA )(1 − PB )(1 − PC )(1 − PD )(1 − PE )
と求まる．ここで具体的な数字を代入すると 1 − PF ≃ 59.3% となり，
（以外にも？）大学生
になれる確率の方が高いことになる．
3

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