( ) ( ) f x x dx ⌠ ⎮ ⌡ g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) f x

478_部分積分の再帰的適用
部分積分の再帰的適用
⎮ f ( x) g ( x)dx に対して再帰的に適用すると次の公式が得られる．
部分積分を ⌠
1
⌡
1
1
⌠
⎮ f ( x) g ( x)dx = f ( x) g1 ( x) − f ′( x) g 2 ( x) + f ′′( x) g 3 ( x) − f ′′′( x) g 4 ( x) + "
⌡
1
1
1
⎮ f ( n ) ( x) g n ( x)dx
" + (−1) n −1 f ( n −1) ( x) g n ( x) + (−1) n ⌠
⌡
1
1
1
ただし，
f ′( x) は f ( x) の 1 次導関数， f ′′( x) は 2 次導関数，…， f ( n ) ( x) は n 次導関数
⎮ g ( x)dx , g 2 ( x) = ⌠
⎮ g1 ( x)dx ，…， g n ( x) は g ( x) の n 階積分
g1 ( x ) = ⌠
⌡
⌡
1
1
1
1
1
1
である．
この公式は， f ( x) g1 ( x) からスタートして順次，符号を変えながら f の項は微分， g の
項は積分していけばよい．とくに， f ( x) が n 次の多項式の場合， n + 1 次導関数以降 0 と
なり，そこで終了するから便利な公式である．
説明
積の微分法の公式 (uv)′ = u ′v + uv′ の両辺を積分して
⌠ (uv)′dx = ⎮
⌠ u′vdx + ⎮
⌠ uv′dx
⎮
⌡
⌡
⌡
1
1
1
1
1
1
1
1
1
⌠ u′vdx + ⌠
⎮ uv′dx
⇔ uv = ⎮
⌡
⌡
1
1
1
1
1
1
これから，部分積分の公式
⌠ uv′dx = uv − ⎮
⌠ u′vdx "" ①
⎮
⌡
⌡
が得られる．上式において， u = f ( x) , v′ =g ( x) とおくと
1
1
1
1
1
1
⎮ g ( x)dx = g1 ( x)
v=⌠
⌡
1
1
（← g ( x ) の 1 階積分）
1
①に代入して
⌠
⎮ f ( x) g ( x)dx = f ( x) g1 ( x) − ⌠
⎮ f ′( x) g1 ( x)dx
⌡
⌡
1
1
1
1
1
1
"" ②
以下，同様に
⌠
⎮ f ′( x) g1 ( x)dx = f ′( x) g 2 ( x) − ⌠
⎮ f ′′( x) g 2 ( x)dx
⌡
⌡
1
1
1
1
1
1
⌠ f ′′( x) g ( x)dx = f ′′( x) g ( x) − ⎮
⌠ f ′′′( x) g ( x)dx
⎮
2
3
3
⌡
⌡
#
1
1
1
1
1
1
が成り立つから，これらを②に代入していくことにより，公式が成り立つことが示せる．
⌠ f ( x) g ( x)dx = f ( x) g ( x) − ⎛⎜ f ′( x) g ( x) − ⎮
⌠ f ′′( x) g ( x)dx ⎞⎟
⎮
1
2
2
⌡
⌡
⎝
⎠
1
1
1
1
1
1
⎮ f ′′( x) g 2 ( x)dx
= f ( x) g1 ( x) − f ′( x) g 2 ( x) + ⌠
⌡
1
1
1
⎮ f ′′′( x) g 3 ( x)dx
= f ( x) g1 ( x) − f ′( x) g 2 ( x) + f ′′( x) g 3 ( x) − ⌠
⌡
符号を順次変える
= ""
−1−
1
1
1
http://www.geocities.jp/ikemath
⎮ x sin xdx を求めよ．
例題１．不定積分 ⌠
1
(東京都市大)
2
⌡
1
1
s（)従来の解法では，部分積分を 2 回行わなければならない．）
⌠
⎮ x 2 sin xdx = ⌠
⎮ x 2 (− cos x)′dx = x 2 (− cos x) − ⌠
⎮ 2 x(− cos x)dx
⌡
⌡
⌡
1
1
1
1
1
1
1
1
1
⎮ x cos xdx
= − x 2 cos x + 2⌠
⌡
（←1 回）
1
1
1
⎮ x(sin x)′dx = − x 2 cos x + 2 ⎛⎜ x sin x − ⌠
⎮ sin xdx ⎞⎟ （←2 回）
= − x 2 cos x + 2⌠
⌡
⌡
⎝
⎠
2
= − x cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C (C は積分定数)
1
1
1
1
1
1
t（)再帰的適用の解法では，一発で求めることができる．）
積分
積分
積分
積分
⌠
⎮ x 2 sin x dx = x 2 (− cos x) − 2 x(− sin x) + 2 cos x − 0 ⋅ sin x + "
⌡
1
1
1
そのまま
微分
微分
微分
= − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C (C は積分定数)
⎮
例題２． ⌠
π
⌡0
2
1
1
1
π
s
(和歌山大)
x 2 cos xdx を求めよ．
π
π
π
2
2
2
2
⌠
⎮ x 2 cos xdx = ⌠
⎮ x 2 (sin x)′dx = ⎢⎡ x 2 sin x ⎥⎤ − ⌠
⎮ 2 x sin xdx
⎣
⎦ 0 ⌡0
⌡0
⌡0
π
π
π
⎛
⎞
2
2
2
2
2
⎡
⎤
π
π
⌠
⌠
⎜
=
− 2⎮ x(− cos x)′dx =
− 2 ⎢ x(− cos x) ⎥ − ⎮ (− cos x)dx ⎟
⎦ 0 ⌡0
⌡0
4
4
⎝⎣
⎠
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
π
2
2
⎡
⎤2
= π + 2 ⎢ − sin x ⎥ = π − 2
⎣
⎦0
4
4
1
1
1
t（)再帰的適用の解法は，定積分でも利用できる．）
積分
π
積分
積分
π
2
2
⌠
⎮ x 2 cos xdx = ⎡⎢ x 2 sin x − 2 x(− cos x) + 2(− sin x) ⎤⎥ = π − 2
⎣
⎦0
⌡0
4
2
1
1
1
1
1
そのまま
1
微分
微分
q (有理式)×(対数関数)形の積分は，1 回部分積分を行えば有理式の積分になるので，再帰
的適用は不要である．
r
( )
′
⌠
1
1
⌠
⎮ x 4 log xdx = ⎮ 1 x 5 log xdx = 1 x5 log x − ⌠
(関西学院大)
⎮ x5 ⋅ dx
⌡
5
5
5
x
⌡
⌡
⎮ x 4 dx = 1 x5 log x − 1 x5 + C (C は積分定数)
= 1 x5 log x − 1 ⌠
5
5⌡
5
25
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−2−
478_部分積分の再帰的適用
1
⎮ x ( x − 1) e dx を求めよ．ただし，e は自然対数の底とする．
例題３．定積分 ⌠
1
2
⌡0
2
2x
1
1
(和歌山大)
s
1
1
⌠
⎮ x 2 ( x − 1) 2 e 2 x dx = ⌠
⎮ ( x 4 − 2 x 3 + x 2 )e 2 x dx
⌡0
⌡0
1
1
1
1
1
1
ここで
( )
1
1
1
1
⌠ 2 1 2x ′
2 2x
⌠
⎮ 2 x ⋅ 1 e2 x dx
⎮ x e dx = ⎮ x
e
dx = ⎡ x 2 ⋅ 1 e 2 x ⎤ − ⌠
⌡0
2
2
2
⎣⎢
⎦⎥ 0 ⌡0
⌡0
1
1
1
( )
1
1
′
⌠
1
1
2
2x
2
⌠
= e − ⎮ xe dx = e − ⎮ x 1 e 2 x dx
⌡0
2
2
⌡0 2
1
1
1
⎛ ⎡ 1 2 x ⎤1 ⌠ 1 1 2 x ⎞
1
2
= e −⎜ x⋅ e
− ⎮ e dx ⎟
⎥⎦ 0 ⌡0 2
2
⎝ ⎢⎣ 2
⎠
1
= 1 e 2 − 1 e 2 + ⎡ 1 e 2 x ⎤ = 1 (e 2 − 1)
2
2
⎣⎢ 4
⎦⎥ 0 4
1
1
1
1
′
⎞
⌠ 2 x 3e 2 x dx = 2⌠ x 3 1 e 2 x dx = 2 ⎛⎜ ⎡ x3 ⋅ 1 e2 x ⎤ − ⌠
⎮
⎮
3 x 2 ⋅ 1 e2 x dx ⎟
⎮
⌡0
2
2
2
⎦⎥ 0 ⌡0
⎝ ⎣⎢
⎠
⌡0
( )
1
1
1
1
⎮ x 2 e 2 x dx = e 2 − 3 ⋅ 1 (e2 − 1) = 1 (e2 + 3)
= e 2 − 3⌠
⌡0
4
4
1
1
1
1
′
⌠
⌠
⎮ 4 x 3 ⋅ 1 e 2 x dx
⎮ x 4 e 2 x dx = ⎮ x 4 1 e 2 x dx = ⎡ x 4 ⋅ 1 e 2 x ⎤ − ⌠
⎢⎣
⎥⎦ 0 ⌡0
⌡0
2
2
2
⌡0
1
1
1
( )
1
1
1
1
⎮ 2 x 3e 2 x dx = 1 e 2 − 1 (e 2 + 3) = 1 (e2 − 3)
= 1 e2 − ⌠
⌡0
2
2
4
4
1
1
1
よって
1
⌠
⎮ x 2 ( x − 1) 2 e 2 x dx = 1 (e 2 − 3) − 1 (e 2 + 3) + 1 (e 2 − 1) = 1 (e 2 − 7)
⌡0
4
4
4
4
1
1
1
t
1
1
⌠
⎮ x 2 ( x − 1) 2 e 2 x dx = ⌠
⎮ ( x 4 − 2 x 3 + x 2 )e 2 x dx
⌡0
⌡0
= ⎡( x 4 − 2 x3 + x 2 ) ⋅ 1 e 2 x − (4 x3 − 6 x 2 + 2 x) ⋅ 1 e 2 x + (12 x 2 − 12 x + 2) ⋅ 1 e 2 x
⎢⎣
2
4
8
1
1
1
1
1
1
1
−(24 x − 12) ⋅ 1 e 2 x + 24 ⋅ 1 e 2 x ⎤
⎥⎦ 0
16
32
(
)
= 1 e 2 − 3 e 2 + 3 e 2 − 1 + 3 + 3 = 1 (e 2 − 7)
4
4
4
4 4 4
4
q この部分積分の再帰的適用は，記述式問題では使ってはならない．もし，使いたければ
“部分積分を繰り返すことによって次の結果を得る．”
というようなことを必ず書いておくこと．
−3−
http://www.geocities.jp/ikemath
■ 練習問題．
１．次の不定積分を求めよ．
(1)
(3)
⌠
⎮ x sin 2 xdx
⌡
1
(広島市立大)
1
(2)
1
1
− x
⌠
⎮ ( x − 2)e 2 dx
⌡
1
(関西大)
1
(4)
1
⌠
⎮ (2 x + 1)e − x dx
⌡
⌠
⎮ x 2 e x dx
⌡
1
(大阪工業大)
1
1
1
(東京都市大)
1
1
２．次の定積分を求めよ．
(1)
π
⌠
⎮ x sin xdx
⌡0
1
(2)
1
π
(3)
(お茶の水女子大)
1
4
⌠
⎮ x sin 3 xdx
⌡0
1
(信州大)
1
(4)
1
3
⌠
⎮ xe x dx
⌡−3
1
(湘南工科大)
1
1
1
⌠
⎮ (1 − x 2 )e −2 x dx
⌡−1
1
(横浜国立大)
1
1
⎮ e cos 2 xdx を求めよ．
例題４．不定積分 ⌠
1
⌡
(会津大)
x
1
1
⎮ e x cos 2 xdx とおくと
I =⌠
⌡
1
x
⎮ e x cos 2 xdx = e x ⋅ 1 sin 2 x − e x ⋅ − 1 cos 2 x + ⌠
I =⌠
⎮ e − cos 2 x dx
⌡
4
2
4
⌡
⎮ e x cos 2 xdx
= 1 e x (2sin 2 x + cos 2 x) − 1 ⌠
4
4⌡
= 1 e x (2sin 2 x + cos 2 x) − 1 I
4
4
5 I = 1 e x (2sin 2 x + cos 2 x)
これから
4
4
1 x
よって，積分定数 C を考えて I = e (2sin 2 x + cos 2 x ) + C
5
1
s
1
1
1
1
1
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
■ 練習問題．
３．次の定積分の値を求めよ．
π
⌠
⎮ e x sin xdx
⌡0
1
(福島大)
1
1
４．次の不定積分を求めよ．
⌠
⎮ (cos x)e ax dx
⌡
1
(信州大)
1
1
５．次の不定積分および定積分を求めよ．ただし，e は自然対数の底である．
(1)
⌠
⎮ e − t sin tdt
⌡
1
(2)
1
1
2π
⌠
⎮ e − t sin t dt
⌡0
1
1
1
(東京理科大)
−4−

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