9 ベクトル

2 次：数理技能対策
ベクトル
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講義のポイント
・位置ベクトルの使い方をマスターしよう！
・ベクトルの応用では，図までかけるように訓練しよう！
■位置ベクトル
で表さ
平面・空間上で 1 点を固定して考えると，任意の点の位置はベクトル
と表す。
れる。このとき，点に関する点の位置ベクトル
位置ベクトルといい，
位置ベクトル
以下に重要な位置ベクトルを示す。
○内分点・外分点の位置ベクトル
を結ぶ線分
，
2 点
，
を結ぶ線分を
をに内分する点
に内分する点，外分する点
を結ぶ線分
に内分する点，外分する点
，外分する点
の位置ベクトル
， ○三角形の重心の位置ベクトル
，
，
を頂点とする
3 点
，
，
を頂点とする
の重心
の位置ベクトル
を頂点とするの重心
の重心の位置ベクトル
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2 次：数理技能対策
■ベクトルの応用
同一平面・同一空間上のベクトルは，平行でない
平行でない 2 つのベクトル，!を用いて
と一意に表せる。これをベクトルの一次独立
#
"
ベクトルの一次独立という。この性質を用いて，ベク
ベクトルの一次独立
トルで様々な図形を表現することができる。
○平行(
○平行(共線)
共線)条件
となる実数
-%
直線が直線
が直線%と平行
と平行⇔
となる実数-が存在する
直線
が直線
と平行となる実数が存在する
となる実数
-
となる実数-が存在する
点が直線
が直線上にある
上にある⇔
となる実数が存在する
が直線
上にある ○垂直条件
(
∙ %
⊥ % ⇔ ○共点条件
，
，
が一致する
/
3 点
，
，.
/
が一致する⇔
が一致する ○共面条件
が平面
が平面上にある
上にある
点
が平面
)
"
#
，
⇔
，" # ) *となる実数
となる実数"，
，)が存在する
が存在する
となる実数，#，
○存在条件
で与えられるとき
が
"
#
点
が
で与えられるとき
" # * ⇔ 直線
直線
" # *，
，" ≥ (，
，# ≥ ( ⇔ 線分
線分
" # ≤ *，
，" ≥ (，
，# ≥ ( ⇔ の周および内部
の周および内部
の周および内部
( ≤ " ≤ *，
，( ≤ # ≤ * ⇔ 平行四辺形の周および内部
の周および内部
平行四辺形
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2 次：数理技能対策
●練習問題●
練習問題●
1
□
位置ベクトル
3B
2AC
が成り立つとき，点の位置を
2AB
ABCと点があり，4A
求めなさい。
2
□
平面ベクトル
0を満たし
6B
7C
6，7を6 ≥ 0，7 ≥ 0なる実数とする。 ABC内の点が，3A
ているとき，次の設問に答えなさい。
をAB
，AC
，6，7を用いて表しなさい。
1A
26，7が6 7 3を満たしながら変化するとき，点のえがく図形を求めなさい。
3
□
空間ベクトル
4 点A0，0，2，B2， 2，3，C ， 1，4，D1，，1が同じ平面上にあるよう
に，定数の値を求めなさい。
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