Title 解析学教材研究 : ある条件付き極値問題 Author(s) 泉野, 佐一 Citation 富山大学教育学部紀要, 54: 29-33 Issue Date 2000-02 Type Text version URL publisher http://hdl.handle.net/10110/743 Rights http://utomir.lib.u-toyama.ac.jp/dspace/ 富LLj 大学教育学部紀要 N o 54 9 - 3 3 ( 平成1 2 年) : 2 . 解析学教材研究ある条件付き極値問題 - 泉野佐 - 一 ( 1 9 9 9 年1 0 月1 9 日受理) A - A p st u ble r o dy of m th o n a n c al c u e t e x r e m u lu m s it h w t e ri al m a c o n st r ai n ts - S ai c h主 I Z U M I N 0 E A s d a n d y st u a s ol v e h t o n c al c u l u s i t i n th e r e e w a s y m - a il : i z a t e ri al m w in u m o @ c o n si d e r e d e a n u ex t o y a m a- u . r e m t u m bl r o p ]p a c . . of e m fu a Ⅲ c ti o n it h w c o n st rain t s , . はじめに C a u ch -S ch y w の a r z 不等式れの研究の副産物としてこ辛問題( ) の両辺差を評価するものとして次 , ような問題に出会の . ( 1 2) で x , y , ･ . 最大値 ( このるものして L , ( 1 3) . , を求めるつを求めよ極大値) - 問題は数を 1 , とでい a cS h ≧0 u ≧o + y + a g r a n e g の ,- k - では , ｡こ ≧0 y ∼ , (k : 0) > b - by + a ユ: y c + 7 - (a X 7∼ の c - 2 おくと , . 両氏に , の直方体で 3 辺の和が本に書 , いて乗数法を用いる解法をと ( 1 1) 0 b > 0 > 0) > c , ｡の定理 [4] を教えられたら教えて頂いた J , ｡のあるなじみ減らして 2 変数関数の極値問題として解く a n e 本稿 - - u ' う微積分学に対する注意とともに M ｡関数の z , ( 1 3) の J: 3: . 下大関の不等式 [ 3] と呼ばれるものがある｡ , 次の条件 ( 1 i) のたっとであろうこたところ I o w ような不等式条件をもつまた , っこの間題対し深く謝意を表するものもの , a 一定のときとなる大学の A 場合｡筆者は｡の L の初等的な解法をである a , それの表面積の最大とな , この . g M 間題 29 - 通常の解法は , 変先に等式条件 ( 1 2) を勘案 . , . Fi n k 教授から r a n g e 乗数法の , ｡｡こ適用大阪教育大学藤井淳れらのことの報告とこれに関連して少しく考えたことを記したい - の一れの適用に関する助教授か極大値 ( 最大値) 2 計算の * 本章では先の問題( ) 杏 , 微積分学でおなじみ , z であるからこ , . w . k - - I - ( I( 3 - 7 )) - - y , 2 C 3' (a + △ とおくo 極値を求めるための w を w , 2 - - x ≧0 (a - y また cL ご bk y + ･ , y ≦k + + ( - a b )y 連立方程式 , ck + c - ≦k) y 0 - 2by + bk - c) E l 0 - ( ) 1:. - ) y o - y o + 2 - 無学 k 旦 - 竿 - k ときこの , (b a k - ごo - - a) + c - t' 2 ここで｡ ( 2 3) d ･まずあるo , ( xo , y ∈ ) o 2 - a . を仮定する便宜上｡例えば , ab a , a x ｡ま 6 - v , s, v6 d の . s (s - ( 2 4) 2 2 = t - 仮定があると 2 , d > そこで今度は ( xo , s b + 2 2t 2 u 2 + i )( s u したがって , 2 u 2 c - ≠o . (a b , )) c , d を計算すると , 2 s - )( s - u - ≧t a うすると ( 2 3) はこ a x s + c , ｡ m - いて + + i u したが｡ y ) での o = Lu ェよ 4 - t 4 - , 4 u )( - i + ( 2 2) から , ∼ ) + i + s u 応 - ､って点 ( xo , y o) - ･ b L + v 7; - J さ> の条件の下 . rc ≧ o v + ( 2 4) , J盲 - u - 甘言て ≧ o ∨石 + で , ∨ ( xo , y , ( - yy w x ) 2 で w - a x - -(a c - - 〇 3, は極大値 w b 4 - y - < c a ) c - . , y 30 ) ｡ - - 2 - るとべ d > 0 , , 0 最大値をとる. - I(I 2 - △( 及び d > ∈ ) o 2 次偏微分係数を求めて極値性を調の W > u - w ｡ ≧a c ( とお u + i + + i + w とわかる 2 d , 0 とわかる , , ≧ (I - + s などが言えて - c a , c v6 , t c , b + . 十分である c ( a b c) とする m - b ≧ + ( 2 4) い 2b + △ の条件を満たすようにしなければならないから ( 2 3) ｡ , 解としてこのを得る｡る I , + ･ a , , で偏微分して b - y( ｡ ≧0 y , y , c ユ: I である b y2 + )ry - c - ≧0 y ≧0 i: , ,I w を解く｡ (( ￡ y); - まず , w でから便宜上となる｡で . y b - x である (1 2) に代入してれを (1 3) ( 2 1) 2 変数関数の極値問題として解いてみる｡の晋 k ' 2 その値 w m a 又は 0) が保証され解析学教材研究とわかる｡ところで ( 2 4) を否定して . , w とできるから (a - a )x y + c - 守) < c b - 不等式粥 ≦( , b + , 2 m - , b y( k を用いて , - y) ときであるがの ( a b c) a x + (k c r ) つ ≦( 特に等号は , l a , - k/ 2 - y I , , c b - a - 0 - W ど ) 筈筈笠芸のときとわかる c + ･ 2 奪k = m b + △) ∈ (b Ⅶ b + ･ ) y , i - ( 守) ( 午 ) - α , を書き直して w , , 2 - (( I 3: - 場合はこの , - t ハ一し ■ 旧 2 k - + 以上まとめると o + c ≧ a - (b + t ≦ a - L g (a m a m a x ( e の x , b , b , , c ) のとき) , c ) のとき) a x 2 箸k a となる｡ 3 L r a n g a 乗数法の e g * 先の極値問題 ( ) は等式条件 ( 1 2) が付いような解法をやめての以下 , にを u , x y , - w - - ヱ奪k ( 7 精出 k ) 2 がである w - (i) ･を雛最大値であるの w のである a x そこで｡ y 十by + z さらに臥･極値問題は , 賛k - 条件 (1 1) が満たされ , 摘されたは A , 旦 - o - まりまずこ｡あるいは , 取り扱のそ , 上記解法にお (ただし cz x 最小値をもたない例えば , I 0 y , h - - , いて b + , ≧ c あるからあるが , こ , ∽ , x とおくと , 次の 9i E i 条件 (2 A ) (b + - 2 0 - ＼ . i ( T o 0 - ) k c ≧ α - ( y - y , o (a - m , b 極値であることの保証は十分でない (a m a x , ｡ b つ , )) に I - 下の M cS h a n e で x ., ,. っ 0 ≧ z｡ , , k 氏から指 n ているようなとき定理 [ 4] があるとのの - れではこ , とのことを Fi , . , , しかし｡不等式条件 ( 1 1) が加われに関しては c 他のこ十y + x . l) c , が求めるものと結論した穿た値 , 害如) 虫 - の条件 (1 2) - i , - 0 - , 3 ･ h の下 (( 1 1) は仮定しないことに注意) . こでと , , , 実際こ , れで十分であると思われるまず o (i) に , いてつは t , - a 3: a - y (k は下に有界でないことがわかりれには - h) I - = . , a ( 等式条件 ( 1 2) , z ､ L (ii) 最大値をも w で筆者は前章 , , ∽ と言うことの検証を付け加えることにした - 乗数法が適用できるとしてすなはち｡ 1 - ∼ b b 7J + - は注意が必要でいに , , ときの Fi nk 氏によれば｡ g たっ 7 c + a x = - れからこの , T L ､ y + a - ;:: ･ r a n A (x + y + I I を解き a 偏微分して得た連立方程式で z , , 述べるような方法を採 u とおいておりて . 命題によって , w - ) 37 - - ∞ (: 最小値をもたな , - いこが上に有罪である ( したが - 31 - - ) とがわかるって｡次最大値をもに (ii) ) こつについてでとを示すことができる｡命題 3 1 空士上空 k 2 . < w 8 この証明であるがまず , , 同様に , z y + z x 2 k ≦去 7 w ･ a 三(( a ･ b ･ b I + ･ , c 2 ) (b ･ (b + 7 - ･ I y + - 4 そこで｡ ( 2 4) の条件の下で . , 4 a ∼ y 三 k 2 - れらは簡単な計算からわかるこ｡ y + ) l 王k 2 + 7 - - c)( x L (l by y + 2 ) z 去k y ≦ r a l: - 芸(( - + T - , 去 ≦ (x y + y . a + c 去 2 k ) - ･ )( y ) + z (c ･ a ･･ l ヱ a - (c I - b)( a + X 7- ･ )I x y 三) - b) 2 k ･ I ･ I 1 L 8 が得られる｡ 4 初等的解法微積分を使わな先の問題( ) 辛いで , のの ∽ 最大値を求める初等的解法を氏から教示いただいたのでこれを紹介したい一以下条件 ( 2 4) b + c . ｡ ≧ 大阪教育大学助教授藤井淳 , a m - (a a x , b を仮定する ) c , ｡ ( 2 1) から . u' ･と書ける｡この両辺に 4c を乗じて 4 c u - - 4 c 2 - (( b ユ: + c + (( b 4 - c (b + + c - α) y 2 - a) y - c ck - 叶 c - (2 c l - = ･ 4 これから , 右辺の 2 つ (b + 筈 b + , このときの + - a) y c c - c) L ( l 最大値 w 2 k + c + 4 c cby 2 - (I) 4 2 2 cb + ky y 4 cbk y + (a c ) l (b - 2 cL - a) y - 2 2 cby 4 a + b - c) L 2 〉誓･ + L . 2 て y o) - k - m - a x ck I , T . - - + (b a y + - 2 b( - a) y c . 2 晋k - - (b , c + c - b) L a 4 d c - l 1) L を得る , l ( - 7- ( - ) ヱ o ) o というものである｡結語に代えて 5 最後の章という合の w 丁 2 k I を得 + ･ (a = ･ (b c ( ) をいずれも 0 とおいの c y c k 2 ･ )I - + ' - by 2 + bky )1 - Ck )y - 'L - ' 二王 : , c , 2 - (2 c ユ - I 2 - - のとでこ拡張と言えよう｡ * , 問題( ) まずの不等式に関連した定理を 2 , - 32 一つ述べたい｡いずれも a - b - c - 2 の場解析学教材研究定理 5 1 x l . + I: 2 + ･ x + ･･ k - n ときの ∑ ( 5 1) . 1 証明は種考えられるが々 s を仮定する ∑ - : ≦i n + xi X j ≦ く + + ご2 ･･･ + x (I : 宕( < ￡1 1 S - + 1 n 1 , + n x 宕( ≦ j l + , ･ a l a X , ･ + . 宕( - u 実は ( 5 1) はを n . れているそこでは｡ . 実はも , P (i ≧0 7;i . とっ 2 , 般に･ 1: n ) ( ≧ 2) n ≦i l ･ - T t )a n l n ｣ 1 t 一 ( q - り土 + 志) 品 + 2 T i了･ ) n ･ , とが示されたこっ . 仮定の下に成り立っのことはすで , に [ 1] p . 138 に示さ , . 1 + x 2 J , = r ･･ 2 ( n 軒 1 - 一 2 1 + (a1 + - ) 1 に置き換えても成り立 + n 上記定理 5 1 は , ･ - まず , 十1 n 2 ) I J 1乙 ≦ , ･ 2 とおくと L - 2 て･･方法としてのつ一 E 2 ･ )x 1: n + - + 1 n ･ + x 2 ≦ . 1 n 1: 2 + 1 n っ 1 :l 2 k n - + 1 n s とな宕 ≦ すると｡ S そこで . i x , S j ≦n く例えば数学的帰納法を用いる , n ≦i ∑ く t2 ( ･ x il X くi - ≦ r r - T i ･ % 2 (1 r ≦ ≦ r n ) L とおいて p が成り立とも示されているこっ次の定理もやはりので証明も付い定理 5 2 * る 1 - 2 , . ) とする , x 2 a , + ･っ不等式の n ‥ , x l r 2 が成り立 ( 2 ≧ ･ h/ n ≧p - 部分的拡張とのえるものでい , の p [ 2] . 109 ｡ (i ≧0 x i . てい / ｡先の問題( ) , I … ≧ p . ･･･ ≧4 のとき rL o ￡n X l + - 去( ≦ I l ･ r 2 n e q + ･･･ . x n ) 2 ｡参考文献 [ 1] 大関信雄青柳雅計】 [ 2] 大関信ま私大関宿太 [ 3] S I z u . [ 4] E J M . . m i n o cS h , H a n e . , M , 不等式 , 不等式 o ri Th e a n L a d Y S . g r a n g 糧書店 , のへ e o , e m O 招* n O 1967 , , 近代科学社 . z e ki s u lt i p li e r in r ule 1987 , e q u a li t , A m - 33 er y . - , M J I . at h M . u al o n . A p p l ( 1 9 9 8) 2 3 51 2 5 3 th l y . , , 8 0 ( 1 9 7 3) 9 2 2- 9 2 5 , に書いてあるも