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３次元極座標をやる前に
復習をします。
１．三角関数の復習（高校数学）
２．２次元極座標の復習（高校の数学Ｂ）
３．円筒座標の復習（前期）
1
三角関数の復習
高校の数学１，数学２
図のように、直角三角形を置く。
（角度φが水平からの角度、直角部分が右下）
水平の辺
cos  
斜辺
垂直の辺
sin ＝
斜辺
斜辺
φ
水平の辺
高校では、角度はθ（シータ）を用いたが、
後で極座標や円筒座標と比較するために、
φ（ファイ）を使っている。
垂直の辺
２次元極座標
高校の数学Cの復習
質点の位置P(x,y)を２次元極座標(r,φ)で表す。
x  r cos 
y  r sin 
y
P(x,y)
r
r≧0
0≦φ＜2π
高校ではθを使うが、
後の都合でφを
使っている。
0
φ
x
質問：なぜφの範囲を0からπにして、
rをマイナスも考えないか？
ぐるっと回った時に、
rがプラスからマイナスになるのは、
不連続な変化になってしまう。
rはずっとプラスにしておく。
y
0
x
２次元極座標、続き
r=一定の図形
y
半径rの円
x
0
φ=一定の図形
半直線
y
0
x
円筒座標系（前期の復習）
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教科書p.2の1-1図の右
z
質点の位置P(x,y,z)を円筒座標(r,φ,z)で表す。
円筒座標系
x  r cos 
y  r sin 
zz
0
x
P(x,y,z)
φ r
Q
点P(x,y,z)のxy平面上への射影を
Qとする。
OQの長さがr, x軸からOQへの角度がφ
φ(ファイ）角度によく使う記号。
0≦φ＜2π
z=0にすると、２次元極座標になる。
7
y
円筒座標系：大きく書くと
質点の位置P(x,y,z)を円筒座標(r,φ,z)で表す。
x  r cos 
z
P(x,y,z)
y  r sin 
zz
0
φ
x
y
r
Q
円筒座標系の問題
前期の復習
問題「r=一定」「φ=一定」「z=一定」は
それぞれどのような面になるか。
それぞれ３次元空間内に図示せよ。
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教科書p.2の1-1図の右
前期の復習
円筒座標
z
P
0

x
P(x, y, z)
y
r
Q
x  r cos 
y
xy平面
y  r sin 
Q
r

O
zz
x
10
一定の図形
z=一定
x
前期の復習
z
0
xy面からの距離が一定。
無限に広がる平面
y
r=一定
r
x
0
y
円筒座標のrの定義に注意。
xy平面に射影した時の原点からの
距離
（つまり、z軸との距離）
r=一定は、円筒の側面になる。
上下に無限に続いている。
一定の図形、続き
前期の復習
φ一定
φはxy面上に射影した時の、
x軸からの角度。
0
x

y
φ=一定の図形は、
半平面。上、下、rが大きくなる方向
には無限に広がる。
z軸の反対側には行かない。
φの範囲は0から2π。
反対側は違うφになる。
参考：極座標（後期に詳しくやります。）
z
θ
0
x

P
P(x,y,z)
z
r
Q
r
Q
θ
y
O
y
y
Q
O

x
x
角度が２種類必要。片方がθ、もう片方がφ。
-> 円筒座標の角度φと同じ測り方。
rの取り方が違うことに注意。
極座標では原点からの距離。
円筒座標では、xy面上に射影してから、原点からの距離。
極座標は球対称な場を考えるときに使う。
例：電荷が球状に分布している場合。
13
円筒座標を使うメリット
・円運動、らせん運動、円筒の
対称性を持つ系
（例えば直線電流の周りの磁場）を
扱いやすい。
14
３次元極座標
15
補足
不等号
同じ意味です。
≦
高校ではこちら
水平線が２本。

大学ではこちらが多い。
水平線が１本。
16
教科書p.2の図1-1の真ん中の図も参照
z
P(x,y,z)
ある点Pの直交座標(x, y, z)と
極座標(r, θ、φ）の関係
r
θ
0
r: 点Pから原点までの距離
y

θ：z軸からOPへの角度
x
Q
φ：x軸からOQへの角度
（点Qは点Pをxy平面に投影した点）
３次元極座標
問題直交座標x, y, zと、極座標r, θ、φの関係は
以下であることを示せ。
x  r cos  sin 
0    2π
y  r sin  sin 
0   π
z  r cos 
0r
←不等号に注意
θは両方とも
≦(イコールあり）
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解答
z
θ
0
x

P
P(x,y,z)
z
r
Q
r
Q
θ
y
O
y
z  r cos 
OQ  rsin
y
Q
O

x
x
x  OQ cos   r sin  cos 
y  OQ sin   r sin  sin 
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y
なぜθはπまで、φは2πまでか？
r
0
θ
x
２次元空間は、x,yの正負により、４つの象限に分けられる。
２次元極座標だと、角度は１個でよくて、0から2π。
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なぜθはπまで、φは2πまでか？ z
P(x,y,z)
θ
0
x

r
y
Q
３次元空間は、x,y,zの正負により、８個の象限に分けられる。
角度は２個必要。１個めの角度が0から2πで平面上の回転。
２個めはz方向の角度で、0からπでよい。
（もしz方向も0から2πにすると、余分になる。）
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３次元極座標の問題
z
P(x,y,z)
θ
0
x

x  r cos  sin 
0    2π
y  r sin  sin 
0   π
z  r cos 
r
0r
y
問題4 ３次元空間内で、以下の図形をそれぞれ描け。
（別々の図にすること。）
(a) r=一定、
(b) φ=一定、
(c) θ=一定、
(d) r＝一定、φ=一定
(e) r=一定、θ=一定、
(f) φ=一定、 θ=一定
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問題の解答
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
r=一定、球面
φ=一定、 z軸からφ方向に伸びる面。xy面に垂直。
θ=一定、円錐。
r＝一定、φ=一定
北極と南極を結ぶ線。半円の周。
r=一定、θ=一定、
赤道に平行な線。円形。
φ=一定、 θ=一定
中心からまっすぐ伸びる線。
22
(a)の解答
半径rの球面
（中身ではなくて皮のみ）
r=一定
z
0
r
y
x
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(b)の解答
φ一定
円筒座標の場合と同じ。
0
x

y
φはxy面上に射影した時の、
x軸からの角度。
φ=一定の図形は、
半平面。上、下、rが大きくなる方向
には無限に広がる。
z軸の反対側には行かない。
φの範囲は0から2π。
反対側は違うφになる。
(c)の解答
θ=一定
z
逆向けの円錐の側面
25
θ
y
x
解答続き (d) r＝一定、φ=一定
y
0
φ
x
x軸から角度φの所にある
縦型の半円の周
26
解答続き
(e) r＝一定、θ=一定
xy平面に平行な円の周。
θ
(f) φ=一定、θ=一定、
z
原点から伸びる半直線
θ
x
φ
y
27
次に、３次元極座標で
体積の微小部分を求める
28
教科書p.2の図1-1の真ん中の図も参照
３次元極座標
z
P(x,y,z)
θ
0
x

x  r cos  sin 
0    2π
y  r sin  sin 
0   π
z  r cos 
r
0r
y
問題１極座標の基本単位ベクトル er , e , e を図に描け。
(r,θ,φが増える方向の単位ベクトル）
問題2 体積の微小部分を３次元極座標で書くと、
dV  r sin drdd
2
(1)
と書けることを示せ。（図を描いてみること。)
問題3 式(1)を「r≦a、φ、θは全範囲」で積分して、
半径aの球の体積が得られることを確かめよ。
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体積の微小部分とは
(x, y, z)座標
z
dz
dx
P(x, y, z)
ez
x
ex
dy
ey
0
dV  dxdydz
y
x,y,z方向に長さa, b, cの直方体の体積を
積分で求めるには、
V   dx  dy  dz  x y z   abc
a
b
c
0
0
0
a
0
b
0
c
0
30
平面角と弧の長さ

θ
r

θ
r

θ
θ
r
扇形の弧の長さ=
半径x 中心角
  r
 単位はラジアン
 
  r
半円の場合
円の場合
  2
  2 r
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