2014年度日本医科大学一般数学解答

2014 日本医科大学数学
日本医科大学
解答
[Ⅰ]問１ (1) 9 枚のうち，スペードは n 枚，ハー
| BC |2=| OC - OB |2
トは 9-n 枚である。ハートが出ないのは，
=| OC |2-2 OC ･ OB +| OB |2=3-2･2+3=2
2 枚ともスペードが出るときである。
よって
(2)
n=0，1 のとき，2 枚ともスペードが出るこ
BC=| BC |= 2
BA ･ BC =( OA - OB )･( OC - OB )
とはないから，求める確率は 0 である。
= OA ･ OC - OA ･ OB - OB ･ OC +| OB |2
2?n?9 のとき，求める確率は
=1-2-2+3=0
n(n - 1)
n(n - 1)
2・1
n C2
=
=
9
8
・
C
72
9 2
2・1
(3) BA=BC= 2 で，
=
2
H
B
2
AC=2 であり，AC の中点を H とすると
AH=BH=1
また，△OAC は OA=OC= 3 の二等辺三角
ある。
AC"OH
形であるから
1?n?8 のとき，求める確率は
ここで，OB=OA，BH=AH，OH は共通より，
(9 - n)n
n(9 - n)
=
9・8
36
2・1
△OBH≡△OAH であるから
∠OHB=∠OHA=90^
よって，OH は交わる 2 直線 AH，BH に垂直
この式は，n=0，9 のとき 0 となるから，
0?n?9 のとき，求める確率は
A
である。よって，
ずつ出ることはないから，求める確率は 0 で
=
C
3
=
は直角二等辺三角形
n(n - 1)
72
(2) n=0，9 のとき，ハートとスペードが 1 枚
C1
3
であるから，△ABC
0?n?9 のとき，求める確率は
9 C2
3
(2)より，∠ABC=90^
この式は，n=0，1 のとき 0 となるから，
9 - n C1 *n
O
であるから
n(9 - n)
36
△ABC=
(3) (1)，(2)より
OH"△ABC
1
( 2 )2=1
2
OH= OA 2 - AH 2 = ( 3 )2 - 12 = 2
n(n - 1)
n(9 - n)
<0.6，0?
<0.4
72
36
すなわち 21.6?n(n-1)<43.2 …①
0.3?
ゆえに，求める体積は
0?n(9-n)<14.4 …②
問３
n(n-1)は，n_1 で増加する。
1
1
2
･△ABC･OH= ･1･ 2 =
3
3
3
2
2
(a +1)x -2(a+1)x+a=0 の 2 つの解が
n=5 のとき n(n-1)=20
sinθ，cosθであるから，解と係数の関係によ
n=6 のとき n(n-1)=30，n(9-n)=18
り
2(a + 1)
a2 + 1
a
sinθcosθ= 2
a +1
n=7 のとき n(n-1)=42，n(9-n)=14
sinθ+cosθ=
n=8 のとき n(n-1)=56
①，②を同時に満たすのは n=7
問２
(sinθ+cosθ)2=sin2 θ+2sinθcosθ+cos2 θ
(1) | AB |2=| OB - OA |2
=| OB |2-2 OB ･ OA +| OA |2=3-2･2+3=2
よって
であるから
2
2a
ì 2(a + 1) ü
í 2
ý =1+ 2
a +1
î a +1 þ
AB=| AB |= 2
同様に
1
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2014 日本医科大学数学
3
π
(a，θ)= æç - 1， πö÷ ， æç 3 ， ö÷ ，
4 ø è
6ø
è
両辺に(a2+1)2 をかけて
4(a+1)2=(a2+1)2+2a(a2+1)
5 ö
πö
æ
æ
ç 3 ， ÷ ， ç - 3 ， π÷
6 ø
3ø
è
è
4(a+1)2=(a2+1){(a2+1)+2a}
4(a+1)2=(a2+1)(a+1)2
よって
(a+1)2(a2-3)=0
a=-1(重解)，% 3
ゆえに
2
1
(x-k)とおく。
k
1
1
k-x
- =
x
k
xk
f(x)の増減表は次のようになる。
2
f'(x)=
(a +1)x -2(a+1)x+a=0 の解は
x=
f(x)=logx-logk-
[Ⅱ]問１
a + 1% (a + 1)2 - (a2 + 1)a
a2 + 1
x
f'(x)
f(x)
a + 1% 1 + a + a 2 - a 3
=
a2 + 1
0
…
+
k
0
0
…
-
a=-1 のとき
増減表より，f(x)?f(k)=0 であるから
0% 2
2
=%
x=
2
2
0?θ?πより，sinθ_0 であるから
1
(x-k) …①
k
が成り立つ。等号は x=k のときに限る。
logx-logk?
2
2
，cosθ=2
2
3
θ= π
4
問２
sinθ=
よって
loga-logk?
1
(a-k)
k
両辺をα倍して
a= 3 のとき
α(loga-logk)?
3 + 1% 4 - 2 3
3 + 1%( 3 - 1)
x=
=
4
4
3
1
，
すなわち x=
2
2
3
1
よって sinθ=
，cosθ=
2
2
1
3
または sinθ= ，cosθ=
2
2
π π
よって θ= ，
3
6
α
(a-k) …②
k
同様にして
β
(b-k) …③
k
γ
γ(logc-logk)? (c-k) …④
k
②+③+④より
β(logb-logk)?
αloga+βlogb+γlogc-(α+β+γ)logk
1
{αa+βb+γc-(α+β+γ)k}
k
αa+βb+γc=k，α+β+γ=1 であるから
?
a=- 3 のとき
x=
①において，x=a のとき
- 3 + 1% 4 + 2 3
4
αloga+βlogb+γlogc-logk?
- 3 + 1%( 3 + 1)
4
1
3
すなわち x= ，2
2
0?θ?πより，sinθ_0 であるから
1
(k-k)=0
k
すなわち
=
αloga+βlogb+γlogc?log(αa+βb+γc)
…⑤
n=1，2，3 のとき，αn+βn+γn=1，
問３
αna+βnb+γnc=sn であるから，⑤より
1
3
，cosθ=2
2
5
よって θ= π
6
まとめると
sinθ=
αnloga+βnlogb+γnlogc?logsn
3
3
n =1
n =1
å ( αnloga+βnlogb+γnlogc)? å logsn
2
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2014 日本医科大学数学
3
3
3
n =1
n =1
n =1
={f(x)}2+{f'(x)}2+{f''(x)}2
åαn = åβn = åγn =1 であるから
+2f(x)f'(x)+2f(x)f''(x)+2f'(x)f''(x)
loga+logb+logc?logs1+logs2+logs3
よって
logabc?logs1s2s3
底 e>1 より
ò
(1)
x
= éê- e
ë 2
b
ò a {f(x) + f' (x) + f' ' (x)}
2 4 -x2
ò0x
2
e
ò
2 -x2
e dx =-e-4+
0
1 2
x
2
とおく。
f'(x)=-x e
-
1 2
x
2
-
1 2
x
1 2
x
-
-
1 2
x
f''(x)=- e 2 +x2 e 2 =(-1+x2) e 2
このとき，f''(x)は連続であるから，閉区間
dx
0?x?2 において，問２で示した不等式を用い
ることできる。ここで
{f(x)}2-{f'(x)}2+{f''(x)}2
2
3 2
=-4e-4+ ò x2 e - x dx
0
2
3
1
-4
=-4e + æç - e - 4 + I ö÷ ←(1)より
2 ø
2 è
11 -4 3
e + I
=2
4
問２ {f(x)+f'(x)}2 を x について微分すると
2
2
= e - x -x2 e - x +(-1+x2)2 e - x
=(2-3x2+x4) e - x
であるから
ò a ({f(x)}
b
2
2
2
- { f' (x)} 2 + { f' ' (x)} 2 ) dx
2
2
= ò (2 - 3x2 + x 4 )e - x dx
0
2{f(x)+f'(x)}{f'(x)+f''(x)}
2
2
2
2
2
2
=2 ò e - x dx -3 ò x2 e - x dx + ò x4 e - x dx
0
0
0
であるから
[ {f(x) + f' (x)} 2 ] ba
1 ö æ 11 - 4 3 ö
æ
e + I÷
=2I-3 ç - e - 4 + I ÷ + ç 2 ø è 2
4 ø
è
問１(2)より
問１(1)より
5
5
= I- e-4
4
2
また
b
= ò 2{ f(x) + f' (x)}{ f ' (x) + f' ' (x)} dx
a
よって，証明すべき不等式の左辺は
2
dx _0
f'(x)は微分可能で
1
I
2
2
b
-
f(x)は微分可能で
2
2
é x3 - x 2 ù
3
- ò æç - x2 e - x ö÷ dx
= êe
ú
0
è 2
ø
ë 2
û0
ò a ({f(x)}
f(x)= e
問３
2æ 1 - x 2 ö
÷ dx
úû - ò 0 çè - 2 e
ø
0
- x2 ù
2
よって，与えられた不等式は成り立つ。
2 2 -x2
x e dx
0
1
=-e-4+
2
(2)
であり，a?b であるから
abc?s1s2s3
s1s2s3_abc
すなわち
[Ⅲ]問１
={f(x)+f'(x)+f''(x)}2_0
- { f' (x)} 2 + { f' ' (x)} 2 ) dx
[ {f(x) + f' (x)} ] = [ (1 - x) e ] =e
2
b
+ ò 2{ f(x) + f' (x)}{ f ' (x) + f' ' (x)} dx
a
2
0
2 -x2
2
0
-4
-1
したがって，問２の不等式を利用して
= ò ({ f(x)} 2 - { f' (x)} 2 + { f' ' (x)} 2
a
b
5
5
I- e-4+e-4-1_0
4
2
5
3
I_1+ e-4
4
2
4
6
よって I_ + 4
5
5e
+2{f(x) + f' (x)}{f' (x) + f' ' (x)} ) dx
となる。ここで，被積分関数について
{f(x)}2-{f'(x)}2+{f''(x)}2
+2{f(x)+f'(x)}{f'(x)+f''(x)}
={f(x)}2-{f'(x)}2+{f''(x)}2
+2f(x)f'(x)+2f(x)f''(x)
+2{f'(x)}2+2f'(x)f''(x)
3
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