第10回 7月14日
物質移動工学（10）
～化学反応を伴う物質移動～
7.5 対流と化学反応を伴う物質移動
7.5A 流束とフィックの拡散法則
物質量
質量
モル
濃度
①質量基準
rA：Aの質量濃度[kg/m3]
rB：Bの質量濃度
r ：全体の質量濃度
= rA+rB
②モル基準
CA：Aのモル濃度[kmol/m3]
CB：Bのモル濃度
C：全体のモル濃度
= CA+CB
r
wA： Aの質量分率 [-] = rA
wB： Bの質量分率
rB
= r
wA + wB = 1
CA
xA： Aのモル分率 [-] =
C
xB： Bのモル分率
= CB
C
xA + xB = 1
平均速度 (A ,B 2成分系)
z方向質量平均速度 
rA
r
v Az + B v Bz  w A v Az + wB v Bz  v z
r
r
z方向モル平均速度 
CA
C
v Az + B v Bz  x Av Az + x B v Bz  vMz
C
C
vAz：成分Aのz方向平均速度
vBz：成分Bのz方向平均速度
平均速度ベクトル
質量平均 v  ( v x , v y , v z )
モル平均 v M  ( v Mx , v My , v Mz )
フィックの拡散法則（拡張版）
①質量基準（z方向）
nAz  r Av Az [kg/(m2・s)]
dr A
dwA
  rDAB
分子拡散による質量流束 j Az   DAB
dz
dz
r Av z
対流による質量流束
成分Aの質量流束
nAz  j Az + r Avz
②モル基準（z方向）
N Az  C Av Az [kmol/(m2・s)]
dC A
dx
*
 CDAB A
分子拡散によるモル流束 J Az   DAB
dz
dz
C AvMz
対流によるモル流束
成分Aのモル流束
*
N Az  J Az
+ C AvMz
流束ベクトル
質量基準
モル基準
n A  ( n Ax , n Ay , n Az )
N A  ( N Ax , N Ay , N Az )
成分Aの質量流束の表現
空間固定座標で見た流束 nA  r Av A
質量平均速度で移動する座標で見た流束 r A v A  v   j A
同様にAのモル流束についても
空間固定座標で見た流束 N A  C Av A
モル平均速度で移動する座標で見た流束 CA vA  vM   J * A
（例題7.5-1）質量流束の式の証明
jA + jB = 0 を速度を用いた流束の定義を使って証明せよ.
【解答】
TABLE 7.5-1より
j A  r A v A  v ，j B  r B v B  v 
j A + jB  r Av A  r Av + r B vB  r B v
 r A v A + r B v B  r A + r B v
 r A v A + r B v B  rv
質量平均速度の定義
r
r
v  A v A + B vB
r
r
より
r
r
j A + j B  r A v A + r B v B  r  A v A + B
r
 r
 r Av A + r B vB  r Av A  r B vB
0



7.5B
非定常
2成分系の連続の式
シェル内の蓄積量＝
シェルへの流入量－シェルからの流出量＋シェル内の生成量
（消滅＝負の生成）
時刻 t ～ t+ t
( r A t + t  r A t )xyz
y
y+ y
x
z
n Ax
n Ax
 (n Ax
x + x
x
ΔxΔyΔzΔtでわって、
r A t + t  r A t
n Ax

t
 n Ax
x + x
z
+ (n Ay y  n Ay
y + y
z+ z
+ (n Az z  n Az
z + z
x
y
x
x+ x
)yzt
)zxt
)xyt
+ rA xyzt
rA：単位体積あたりのAの生成速度 [kg/(m3･s)]
x + x
 n Ax
x
Δx，Δy，Δz，Δt → 0として
r A  n Ax n Ay n Az 
x

+ 
+
+
  rA
t
y
z 
 x
n Ay
y + y
 n Ay
y
→
y

n Az
z + z
 n Az
z
r A
+   nA   rA
t
z
+ rA
r A
+   nA   rA
t
nA   DAB r A + r Av
n Ax   DAB
n Ay   DAB
n Az   DAB
r A
+ r Av x
x
r A
+ r Av y
y
r A
+ r Av z
z
r A
+   r Av     DAB r A  + rA
t
①
②
③
④
①非定常項
②対流物質移動項
③分子拡散項
④反応項
成分表示すると
r A   ( r Av x )  ( r Av y )  ( r Av z ) 

+ 
+
+
t
x
y
z


 
r A   
r A   
r A 



D
+
D
+
D
 AB

 AB
 + rA
AB


x 
x  y 
y  z 
z 
同様に
C A
+   N A   RA
t
R A [kmol/(m3 s)]
N A   DABCA + CAvM
N Ax   DAB
N Ay   DAB
N Az   DAB
C A
+ C AvMx
x
C A
+ C AvMy
y
C A
+ C AvMz
z
C A
+   C AvM     DAB C A  + RA
t
C A   (C AvMx )  (C AvMy )  (C AvMz ) 

+ 
+
+
t
x
y
z



 
C A   
C A   
C A 
 DAB
 +
 DAB
+
 DAB
 + RA
x 
x  y 
y  z 
z 
7.5C
連続の式の特別な場合
1. C , DAB一定
C A
+   C A v M     D AB C A  + R A
t
C A ∇. v M + v M .∇C A
D AB∇2 C A
C A
+ C A   v M  + v M  C A   D AB  2 C A + R A
t
 vMx vMy vMz
C A
+ C A 
+
+
t
y
z
 x
  2C A  2C A  2C A
 D AB 
+
+
2
2
2

x

y

z

 
C A
C A
C A 
 +  vMx

+
v
+
v
My
Mz

x
y
z 
 

 + RA


2. 気体の等モル相互拡散
C，DAB 一定とおくと、
C A
+ C A   v M  + v M  C A   DAB  2C A + R A
t
N A + N B  C A v A + C Av B  0
vM
RA  0
C Av A + C Av B

0
C
とおくと、
C A
 DAB  2C A
t
  2C A  2C A  2C A
C A
 DAB 
+
+
2
2
2
t

x

y

z




3. r , DAB一定（液体）
r A
+   nA   rA
t
r B
+   nB   rB
t
r
( r A + r B )
+   nA + nB   rA + rB
t
rv
0
r
r Av A + r B v B
+   rv   0 （一成分の
r
v

r
 nA + nB
t
連続の式と同じ式）
r
v  0
r = const.
r A
+   r Av  DAB r A   rA
t
r A
+ v  r A  DAB  2 r A  rA
t
両辺をAの分子量 MAでわって
C A
+ v  C A  DAB  2C A  RA
t
  r Av  r A  v + v  r A 
0
モル基準の連続の式
C A
+   N A   R A
t
C B
+   N B   RB
t
C
↑
CvM
↑
(C A + CB )
+    N A + N B   RA + RB
t
両式をたすと，
C
+   Cv M   RA + RB
t

R A + RB  0
