第10回 7月14日 物質移動工学(10) ~化学反応を伴う物質移動~ 7.5 対流と化学反応を伴う物質移動 7.5A 流束とフィックの拡散法則 物質量 質量 モル 濃度 ①質量基準 rA:Aの質量濃度[kg/m3] rB:Bの質量濃度 r :全体の質量濃度 = rA+rB ②モル基準 CA:Aのモル濃度[kmol/m3] CB:Bのモル濃度 C:全体のモル濃度 = CA+CB r wA: Aの質量分率 [-] = rA wB: Bの質量分率 rB = r wA + wB = 1 CA xA: Aのモル分率 [-] = C xB: Bのモル分率 = CB C xA + xB = 1 平均速度 (A ,B 2成分系) z方向質量平均速度 rA r v Az + B v Bz w A v Az + wB v Bz v z r r z方向モル平均速度 CA C v Az + B v Bz x Av Az + x B v Bz vMz C C vAz:成分Aのz方向平均速度 vBz:成分Bのz方向平均速度 平均速度ベクトル 質量平均 v ( v x , v y , v z ) モル平均 v M ( v Mx , v My , v Mz ) フィックの拡散法則(拡張版) ①質量基準 (z方向) nAz r Av Az [kg/(m2・s)] dr A dwA rDAB 分子拡散による質量流束 j Az DAB dz dz r Av z 対流による質量流束 成分Aの質量流束 nAz j Az + r Avz ②モル基準 (z方向) N Az C Av Az [kmol/(m2・s)] dC A dx * CDAB A 分子拡散によるモル流束 J Az DAB dz dz C AvMz 対流によるモル流束 成分Aのモル流束 * N Az J Az + C AvMz 流束ベクトル 質量基準 モル基準 n A ( n Ax , n Ay , n Az ) N A ( N Ax , N Ay , N Az ) 成分Aの質量流束の表現 空間固定座標で見た流束 nA r Av A 質量平均速度で移動する座標で見た流束 r A v A v j A 同様にAのモル流束についても 空間固定座標で見た流束 N A C Av A モル平均速度で移動する座標で見た流束 CA vA vM J * A (例題7.5-1)質量流束の式の証明 jA + jB = 0 を速度を用いた流束の定義を使って証明せよ. 【解答】 TABLE 7.5-1より j A r A v A v ,j B r B v B v j A + jB r Av A r Av + r B vB r B v r A v A + r B v B r A + r B v r A v A + r B v B rv 質量平均速度の定義 r r v A v A + B vB r r より r r j A + j B r A v A + r B v B r A v A + B r r r Av A + r B vB r Av A r B vB 0 7.5B 非定常 2成分系の連続の式 シェル内の蓄積量= シェルへの流入量-シェルからの流出量+シェル内の生成量 (消滅=負の生成) 時刻 t ~ t+ t ( r A t + t r A t )xyz y y+ y x z n Ax n Ax (n Ax x + x x ΔxΔyΔzΔtでわって、 r A t + t r A t n Ax t n Ax x + x z + (n Ay y n Ay y + y z+ z + (n Az z n Az z + z x y x x+ x )yzt )zxt )xyt + rA xyzt rA:単位体積あたりのAの生成速度 [kg/(m3・s)] x + x n Ax x Δx,Δy,Δz,Δt → 0として r A n Ax n Ay n Az x + + + rA t y z x n Ay y + y n Ay y → y n Az z + z n Az z r A + nA rA t z + rA r A + nA rA t nA DAB r A + r Av n Ax DAB n Ay DAB n Az DAB r A + r Av x x r A + r Av y y r A + r Av z z r A + r Av DAB r A + rA t ① ② ③ ④ ①非定常項 ②対流物質移動項 ③分子拡散項 ④反応項 成分表示すると r A ( r Av x ) ( r Av y ) ( r Av z ) + + + t x y z r A r A r A D + D + D AB AB + rA AB x x y y z z 同様に C A + N A RA t R A [kmol/(m3 s)] N A DABCA + CAvM N Ax DAB N Ay DAB N Az DAB C A + C AvMx x C A + C AvMy y C A + C AvMz z C A + C AvM DAB C A + RA t C A (C AvMx ) (C AvMy ) (C AvMz ) + + + t x y z C A C A C A DAB + DAB + DAB + RA x x y y z z 7.5C 連続の式の特別な場合 1. C , DAB一定 C A + C A v M D AB C A + R A t C A ∇. v M + v M .∇C A D AB∇2 C A C A + C A v M + v M C A D AB 2 C A + R A t vMx vMy vMz C A + C A + + t y z x 2C A 2C A 2C A D AB + + 2 2 2 x y z C A C A C A + vMx + v + v My Mz x y z + RA 2. 気体の等モル相互拡散 C,DAB 一定とおくと、 C A + C A v M + v M C A DAB 2C A + R A t N A + N B C A v A + C Av B 0 vM RA 0 C Av A + C Av B 0 C とおくと、 C A DAB 2C A t 2C A 2C A 2C A C A DAB + + 2 2 2 t x y z 3. r , DAB一定(液体) r A + nA rA t r B + nB rB t r ( r A + r B ) + nA + nB rA + rB t rv 0 r r Av A + r B v B + rv 0 (一成分の r v r nA + nB t 連続の式と同じ式) r v 0 r = const. r A + r Av DAB r A rA t r A + v r A DAB 2 r A rA t 両辺をAの分子量 MAでわって C A + v C A DAB 2C A RA t r Av r A v + v r A 0 モル基準の連続の式 C A + N A R A t C B + N B RB t C ↑ CvM ↑ (C A + CB ) + N A + N B RA + RB t 両式をたすと, C + Cv M RA + RB t R A + RB 0
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