課題3解答

1
微分積分および演習 1 課題 3 提出日 2013 年 4 月 29 日授業開始直前
学生番号氏名
演習 3.1 次の関数の第 n 次導関数を求めなさい．
1
1( 1
1 )
1 (n)
n!
1 (n)
−1
(n)
=
=
−
ここで，( 1−x
)
= (1−x)
= ( 3(1−
x )
n+1 より，( x−3 )
3)
− 4x + 3
2 x−3 x−1
)
( 1 )(n)
(
−1
n!
x
1
1 (n)
1
n!
=
= − 13 ( 13 )n 1−t
= − 3n+1
3 (1− x )n+1 . t = 3 とおくと dt/dx = 3 . よって，( x−3 )
(1− x )n+1
(1)
x2
3
−n!
(3−x)n+1 ．
3
したがって，
(
)
1
1(
−n!
n!
(n)
)
=
+
x2 − 4x + 3
2 (3 − x)n+1
(1 − x)n+1
(2) sin 2x
dt n
) (sin t)(n) = 2n sin(t +
t = 2x とおくと，dt/dx = 2 より，(sin 2x)(n) = ( dx
演習 3.2 h(x) =
x
1−x
= −1 +
nπ
2 )
= 2n sin(2x +
nπ
2 )
x
の第 n 次導関数を求めよ．
1−x
1
1−x
と分解すると，
(
x (n)
1 (n)
n!
) =(
) =
1−x
1−x
(1 − x)n+1
演習 3.3 次の関数の第 n 次導関数を求めよ.
(1) f (x) = x2 sin x
(x2 )′′′ = 0 より，f (x) = sin x, g(x) = x2 とおきライプニッツの定理を用いる．f (n) (x) = sin(x +
n ( )
∑
n (n−k)
2
(n)
(x sin x) =
f
(x)g (k) (x)
k
nπ
2
より，
k=0
= x2 sin(x +
(n − 1)π
n(n − 1)
(n − 2)π
nπ
) + n(2x) sin(x +
)+
(2) sin x +
2
2
2
2
(2) f (x) = sin 2x cos 4x
sin 2x cos 4x = 12 (sin 6x − sin 2x) より，
(sin 2x cos 4x)(n) =
1( n
nπ
nπ )
6 sin(6x +
) − 2n sin(x +
)
2
2
2
(3) f (x) = (x2 + 1)ex
(x2 + 1)′′′ = 0 より，f (x) = ex , g(x) = x2 + 1 とおくと，
n ( )
∑
n (n−k)
2
x (n)
((x + 1)e ) =
f
(x)g (k) (x)
k
k=0
= ex (x2 + 1) + nex (2x) +
n(n − 1) x
e (2) = ex (x2 + 1 + 2nx + n(n − 1))
2
(4) f (x) = x log |x + 1|
x′′ = 0 より，f (x) = log |x + 1|, g(x) = x とおくと，f ′ (x) =
(x log |x + 1|)
(n)
1
x+1
より，f (n) (x) =
(−1)n−1 (n−1)!
.
(1+x)n
したがって，
n ( )
∑
n (n−k) (k)
(−1)n−1 (n − 1)!
(−1)n−2 (n − 1)!
=
f
g (x) = x
+
n
k
(1 + x)n
(1 + x)n−1
k=0
=
(−1)n (n − 2)!(x(n − 2) − 1)
(−1)n−1 (n − 2)!(x(n − 1) − 1 − x)
=
(1 + x)n
(1 + x)n

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