第４回
m
k
・単振動
ばねの復元力が働く → F = − k x （フックの法則）
運動方程式は m
(1)式を ω 0 ≡
k
m
d2 x
dt
2
= − kx
O
(1)
を用いて書き直した微分方程式： d2 x
dt
2
x
+ ω 02 x = 0
(2)
（解法１）基本解の重ね合わせ
高校数学の知識から， cos ω 0 t と sin ω 0 t が，(2) 式の微分方程式を満たすことがすぐわかる。 (2) 式は(2 階の) 線形同次微分方程式だから，この２つの基本解の１次結合（線形結合）
x(t) = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t (3) も解であり，係数 A, B を任意の初期条件を満たすように選べるから，一般解である。
【演習】初期条件（ x(0) = x0 , v(0) = v0 ）を満たすように(3)式の係数 A, B を決定し，(4)式の
特解を導きなさい。
x(t) = x0 cos ω 0 t +
v0
sin ω 0 t ω0
(4)
(3)式の一般解を単振動の標準形：
x(t) = a cos(ω 0 t + θ )
に書き換えるには， A = a cos θ ,
(5)
B = −a sin θ となるような a ( ≥ 0 ) と θ を求めればよい。
標準形の a を振幅， ω 0 t + θ の部分を位相， θ を初期位相と呼ぶ。単振動の周期は， T =
2π
ω0
= 2π
m
k
で与えられる。【演習】初期条件（ x(0) = x0 , v(0) = v0 ）を満たすような標準形を求めるため， a と θ を x0 と v0 で表
しなさい。
【演習】 (5)式の標準形のグラフを描きなさい。
【演習】２つの標準形の関数の線形結合 a1 cos (ω 0 t + θ1 ) + a2 cos (ω 0 t + θ 2 ) は，一つの標準形で表され
ることを示しなさい。
（解法２）エネルギー積分の方法
次の手順で運動方程式を積分する：
① (1)式の両辺に速度 v =
m ∫ v
dx
をかけてから時間 t について積分する
dt
dv
dx
1
1
d t = − k∫ x
d t → m ∫ v d v = − k ∫ x d x → mv 2 + kx 2 = E ( E : 定数)
dt
dt
2
2
② 両辺を m 2 でわり算し，
2
dx
= 0 となる x を ± a としたものを整理すると
dt
dx
⎛ d x⎞
2
2
2
= ±ω0
⎜⎝ ⎟⎠ = ω 0 ( a − x ) → dt
dt
(a
2
)
− x 2 (8)
(7)
③ この式の両辺を積分すると
∫
dx
= ± ω 0 ∫ d t a2 − x 2
(9)
④ ここで１年の数学で習う積分の式を利用すると
∫
⎛ x⎞
= − cos −1 ⎜ ⎟ + C = ± ω 0 t → x(t) = a cos(ω 0 t + θ ) ⎝ a⎠
a −x
dx
2
2
(10)
【演習】一様重力場で，天井から自然長 ℓ のばねをつるし，その下端に質量 m のおもりをとりつけた。
おもりをつり合いの位置からさらに a だけ押し下げて静かに手をはなした。(1) それから t 秒後のお
もりの運動方程式を書き表し，(2) それを解きなさい。
（解法３）複素指数関数の方法
準備１：複素数と複素(数)平面
z = x + yi = r cos θ + i r sin θ = r(cos θ + i sin θ )
実部： Re{z} = x ，虚部： Im{z} = y y
x
x 2 + y 2 ，偏角： arg z = θ ， tan θ =
絶対値： z = r =
複素共役： z* = x − yi = r cos θ − ir sin θ = r{cos (− θ ) + i sin (− θ )} ２つの複素数の積： z1 z2 = (x1 + y1 i) (x2 + y2 i) = x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + y1 x2 ) z z* = (x + yi)(x − yi) = x 2 + y 2 = r 2 = z 2
(z1 z2 )* = x1 x2 − y1 y2 − i(x1 y2 + y1 x2 ) = x1 x2 − (−y1 ) (−y2 ) + i {x1 (−y2 ) + (−y1 )x2 } = z1*z2* z1 z2 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 )r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r1 r2 (cos θ1 + i sin θ1 ) (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r1 r2 {cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )}
逆数：
1
z
=
z*
zz
*
=
z*
z
2
=
r{cos(−θ ) + i sin(−θ )}
r
1
= {cos(−θ ) + i sin(−θ )}
r
2
e i x = cos x + i sin x 変数 x の代わりに θ を用いると e iθ = cos θ + i sin θ 準備２：オイラーの公式
オイラーの公式を利用して複素数を表す → z = r(cos θ + i sin θ ) = re iθ 複素共役，積，逆数，商が，次のように簡単に表せる
1
z
z* = re− iθ ， z 1 z2 = r1e i θ r2 e iθ = r1 r2 e i (θ +θ ) ， =
1
2
1
2
1
e−iθ
z 1 r1 e i θ 1 r1 e i θ 1 e −iθ 2 r1 i (θ 1 −θ 2)
=
=
=
= e
， reiθ
r
z 2 r2 e iθ 2
r2
r2
オイラーの公式の根拠：
（マクローリン級数） f (x) = f (0) + f
(1)
(0)x +
（実指数関数のマクローリン級数展開） e x =
f (2 ) (0)x 2
2!
+
f ( 3) (0)x 3
3!
∞
+ ⋅⋅⋅ = ∑
n=0
f (n ) (0)x n
n!
∞
xn
x2 x3
xn
=
1
+
x
+
+
+
⋅⋅⋅
+
+ ⋅⋅⋅
∑ n!
2 ! 3!
n!
n=0
（三角関数のマクローリン級数展開） cos x = 1 −
（指数関数を複素数へ拡張して純虚数） e i x =
∞
x2 x4
x3 x5
+ − ⋅⋅⋅ , sin x = x − + − ⋅⋅⋅ 2! 4!
3! 5 !
(i x)n
(i x)2 (i x)3
= 1 + (ix) +
+
+ ⋅⋅⋅ = cos x + i sin x
2!
3!
n=0 n !
∑