Asymptotic behavior of solutions to the short pulse equation with critical nonlinearity 新里智行 (大阪大学理学研究科 D2) 1 初めに次の Cauchy 問題 : { ( ) utx = u + u3 xx , x ∈ R, t > 0, u (0, x) = u0 (x) , x ∈ R, (1) を考える. ここで, 初期条件 u0 は実数値関数とする. この方程式は short pulse 方程式とよばれ, 非線形媒質中の短い信号の伝播を記述する方程式として, Sch¨ afer, Wayne([2]) らによって導出された. 本講演では short pulse 方程式の散乱問題について考える. 本題に入る前に記号を準備する. Lp は通常の Lebesgue 空間とする. 重みつき Sobolev m,s 空間 Hp を以下で定義する : { } m s ′ 2 ⟨i∂ ⟩ 2 ϕ m,s = Hm,s = φ ∈ S ; ∥ϕ∥ ⟨x⟩ < ∞ , x p Hp Lp √ √ ここで, m, s ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞, ⟨x⟩ = 1 + x2 , ⟨i∂x ⟩ = 1 − ∂x2 . また p = 2 のときは, Hm,s と書き, さらに s = 0 のときは Hm と記号を簡略化して書く. 斉次 Sobolev 空間 ˙ m を以下で定義する : H } { ( )m ˙ m = ϕ ∈ S′ ; ∥ϕ∥ ˙ m = −∂ 2 2 ϕ H < ∞ . x H L2 主結果について述べる前に (1) を一般化した方程式 : { utx = u + (f (u))xx , x ∈ R, t > 0, u (0, x) = u0 (x) , x ∈ R, (2) について知られている結果を紹介する. ここで, ρ が非整数のときは, f (u) = |u|ρ−1 u, ρ が整数のときは f (u) = uρ , あるいは f (u) = |u|ρ−1 u とする. 文献 [3] において, ρ ≥ 4 で ρ が整数のとき, 初期条件が H5 ∩ H13,0 の意味で小さければ, 時間大域解が一意に存在し, 1 1 さらに時間減衰評価 ∥u(t)∥Lr ∼ t−( 2 − r ) , 2 ≤ r < ∞ を満たすことが示されている. 文献 [1] では, 初期条件に [3] より強い条件を仮定することにより, ρ ≥ 3 + 32 において時間大域解の存在と解の漸近挙動を得ている. また [1] では, short pulse 方程式 (ρ = 3) の場合に, いわゆる”Almost global existence” が成り立つことも示されている. 今回, 初期条件に関して [1] よりも強い仮定を用いることにより, short pulse 方程式での時間大域解の存在と, 解の漸近挙動を得ることが出来たので, これを紹介する. 2 主結果主結果を述べるために, 記号の準備をする. short pulse 方程式の自由発展群を U(t) = it F と定義する. ここで, F, F −1 はそれぞれ, フーリエ変換, フーリエ逆変換である. また作用素 J を J = U(t)xU(−t) で定義する. さらに, 以下の関数空間を導入する : − F −1 e ξ } ϕ ∈ L2 ; ∥ϕ∥X0 < ∞ , { } ( ) = u (t) ∈ C [0, T ) ; L2 ; ∥u∥XT < ∞ , X0 = XT { ここでノルムは, ∥ϕ∥X0 ∥u∥XT = ∥ϕ∥H9+µ + ∥xϕx ∥H4 + ∥ϕ∥H˙ −1 , 1 ( ) = sup ⟨t⟩−ϵ 6 ∥u (t)∥H9+µ + ∥J ux (t)∥H4 + ∥u (t)∥H˙ −1 t∈[0,T ) 1 + sup ⟨t⟩ 2 (∥u(t)∥L∞ + ∥ux (t)∥L∞ ) . t∈[0,T ) とし, µ, ϵ > 0 は小さい正数とする. 以上の準備の下で結果を述べる. Theorem 2.1. 初期条件を u0 ∈ X0 とし, ∥u0 ∥X0 ≤ ϵ で ϵ は十分小さいとする. このとき, 方程式 (1) の時間大域解 u ∈ X∞ が一意に存在して, 時間減衰評価 ∥u (t)∥H1∞ ≤ C ⟨t⟩− 2 1 を満たす. さらに, W ∈ H∞ , 実数値関数 Ψ ∈ L∞ が一意に存在し, 次の漸近挙動が x ∈ R に関して一様に成り立つ : ( ( )) ( 1 ) √ √ √ 2t π 2 − 12 + + 3 2πχ |W (χ)| log t − 3 2πΨ (χ) +O t− 2 −δ u (t) = t 2ℜθ(x)W (χ) exp −i χ 4 √ t t → ∞. ここで δ ∈ (0, 41 ), χ = −x , x < 0 のとき, θ(x) = 1, x ≥ 0 のとき θ(x) = 0. 0,1 参考文献 [1] N. Hayashi, P. I. Naumikin and T. Niizato. Asymptotics of solutions to the generalized Ostrovsky equation, J. D. E., 255 (2013), pp. 2505-2520. [2] T. Sch¨afer and C.E. Wayne, Propagation of ultra-short optical pulses in cubic nonlinear media, Physica D, 196 (2004), pp. 90-105. [3] A. Stefanov, Y. Shen and P.G. Kevrekidis, Well-posedness and small data scattering for the generalized Ostrovsky equation, J. D. E., 249 (2010), pp. 2600-2617.