A(t) - 松澤・岡田研究室

1
電気・電子システムと複素数
東京工業大学
大学院理工学研究科
電子物理工学専攻
松澤昭
2014/4/3
講演の狙い
電気電子工学や制御工学では「複素数」がやたら多く出てくる。
複素数を使うと，複雑なことが簡単になるのだが，「虚数」という
一見存在しないような数を使うので，最初はとまどってしまう。
そこで，なぜ電気電子工学では複素数を使うのか，
どんな意味があるかについて説明したい。
今後学習を進めるための参考にしてほしい。
この資料は，http://www.ssc.pe.titech.ac.jp
のLecture にありますので，興味のある方はダウンロードしてください
2014/4/3
2
電気電子工学に現れる複素数
e
j
 cos   j sin 
3
オイラーの公式：解析学３学期
工学上，最も重要な公式
iは電流を表すので工学での虚数はiではなくjが用いられる。
V (t )  V0e jt
F ( ) 



電圧・電流の複素表示：線形回路３学期
回路理論 4学期
f (t )e
 jt
電気回路，電力工学などの基本。
dt
フーリエ変換：フーリエ変換とラプラス変換３学期
時間領域関数の周波数領域関数への変換
通信，信号処理などに用いられる。
F (s ) 



st
f (t )e dt
Sは複素数
s    j
2014/4/3
ラプラス変換：フーリエ変換とラプラス変換３学期
時間領域関数の複素周波数領域関数への変換
微分方程式の解法，回路解析，制御における
システム設計や安定解析などに用いられる。
３種類の電気素子
4
電気素子としてはこの３種類しかない。
この３種類の素子の性質を知ろう
容量 C
2014/4/3
抵抗 R
インダクタ L
抵抗の性質
5
抵抗では電圧と電流は比例関係にあり，エネルギーを消費する
抵抗 R
コンダクタンス：G
電流: I
V  RI
電圧は電流に比例する（比例係数はR)
1
G
R
V
I 
 GV
R
電圧: V
電流は電圧に比例する（比例係数はG)
P  I  V  GV  RI
2
消費電力は電圧の２乗もしくは電流の２乗に比例する
WR   Pdt
消費エネルギーは消費電力の時間積分
2014/4/3
2
容量の性質
容量では電圧と電流は時間微積分関係にあり，
電気エネルギーを蓄積する。電荷が本質的働きをする。
Q  CV
容量 C
電荷は電圧に比例する（比例係数はC)
電流: I
Q 1
V 
  I dt
C C
電圧: V
電圧は電流の時間積分に比例する（比例係数は1/C)
dQ
dV
I 
C
dt
dt
電流は電圧の時間微分に比例する（比例係数はC)
2
Q
1
1
1
WC  CV 2  QV 
2
2
2 C
電気エネルギーは電圧の２乗に比例し，これを蓄積する
2014/4/3
6
インダクタの性質
インダクタでは電圧と電流は時間微積分関係にあり，
磁気エネルギーを蓄積する。
インダクタ L
電流: I
dI
V L
dt
電圧は電流の時間微分に比例する（比例係数はL)
電圧: V
1
I   V dt
L
電流は電圧の時間積分に比例する（比例係数は1/L)
1 2
W L  LI
2
電気エネルギーは電流の２乗に比例し，これを蓄積する
2014/4/3
7
抵抗，容量，インダクタのまとめ
Q  CV
容量 C
（保存）
W R  G  V 2dt
 R  I 2dt
インダクタ L
電圧
V
（保存）
電流
V  RI
I 
V
 GV
R
（消失）
1 2
W L  LI
2
2014/4/3
dQ
I 
dt
各素子の電圧と電流の関係
1
V   I dt
C
dV
I C
dt
エネルギー
1
WC  CV 2
2
抵抗 R
8
V L
I 
dI
dt
1
V dt

L
I
容量と抵抗の時間応答
9
電荷が溜まっている容量を抵抗で終端した場合
V0
スイッチを閉じた瞬間，容量の電圧Voと抵抗の電圧V(t)は
等しいので，
S
V (t  0)  V0
+Q0
抵抗の電圧V(t)は電流I(t)が流れることで生じるので，
C
R
V0
I (t  0) 
R
-Q0
V0
C
容量から電荷ΔQが抜けていく。このことによる容量側の
電圧変化と抵抗側の電圧変化ΔVは等しいので
I(t)
S
V(t)
R
Q
 I  R
V 
C
全ての項を時間変化Δtで割ると
V
1 Q
I

R
t
t
C t
2014/4/3
容量と抵抗の時間応答の答え
V0
C
I(t)
V
1 Q
I

R
t
t
C t
S
V(t)
I (t )  I 0e
答えは
2014/4/3
t
これより
指数関数を仮定して解いてみる
微分方程式
I (t )  I 0e
t
I
e
dI
 I 0e t   0
dt


  
t

電荷と電流は
Q
 I
t
dI
I

RC
dt
I
1 Q
I
 R
C t
C
t
R
10
V (t )  RI (t )  V0e

t

1

  RC
これを時定数という
指数関数の性質
11
指数関数は値が一定の比率で時間とともに増減する関数である
リニア表示
対数表示
1
1
0.8
0.1
e
 x 0.6
e x
0.4
0.01
0.2
0
1
2
3
時間 t
x
2014/4/3
4
5
110
3
0
1
2
3
x
時間
t
4
5
インダクタと抵抗の回路の時間応答
12
最初にスイッチS1が閉じられ，S2は開いておりインダクタLには電流I0が流れていた。
次にS1を開きt=0でS2を閉じると，電圧，電流はどうなるか
R0
S1
S2
インダクタに蓄積されている磁気エネルギーWLは
V
V0
I0
L
I
R
WL 
1 2
LI 0
2
このエネルギーWLは急には変化できないので
電流Iは-I0になる。したがって初期電圧は，
V  RI 0
dI
V


L
インダクタの電圧電流関係は，電流の向きを考慮して
dt
抵抗側では V  RI
dI R

 I
dt L
微分方程式
2014/4/3
インダクタの電圧と抵抗の電圧は等しいので，
容量の場合と同様に
指数関数になる
I  I 0e

t

L
 
R
V  RI  RI 0e

t

容量とインダクタの回路の時間応答
容量Cに初期電荷があり，その電圧をV0とする。Sを閉じるとLC回路では
S
V
V0
インダクタ側の方程式
容量側の方程式
dV (t )
I (t )  C
dt
I
２階の微分方程式にすると
電流は等しいので
容量: C
インダクタ：L
1
I (t )   V (t )dt
L
dV (t ) 1
C
  V (t )dt
dt
L
1
d 2V (t )
V (t )


2
LC
dt
指数関数を想定して微分方程式を解いてみる
2
dV (t )
2
t d V (t )
t

A
e
 A0e ,

0
dt 2
dt
V (t )  A0e t
  A0e
2
t
A0 t

e
LC
したがって
2014/4/3
 
1
j

LC
LC

V (t )  A0 e
jt
e
指数の肩に虚数が現れた
 jt


1
LC
13
容量とインダクタの回路の時間応答

V (t )  A0 e
jt
e
 jt

t=0でV0なので
dV (t )
から電流を求める
I (t )  C
dt
 je jt  je  jt
dV (t )
I (t )  C
 CV 0 
dt
2

 e jt  e  jt
V (t )  V 0 
2

14



C  e jt  e  jt
V0 
I (t ) 
L 
2j

 e jt  e  jt
  CV 0 
2j


三角関数を用いて微分方程式を解いてみる




C  e jt  e  jt
 
V 0 
L 
2j

V (t )  A0 cos ' t   



と置くと
dV (t )
d 2V (t )
2
  ' A0 sin ' t   , 



A0 cos ' t   
'
2
dt
dt
1
d 2V (t )
V (t )


2
dt
LC
2
なので  ' A0 cos ' t    
t=0でV(t)=V0なので
I (t )  C
2014/4/3
A0
1
cos ' t   ,   '    
LC
LC
V (t )  V0 cos t
dV (t )
d
V0 cos t   CV0 sin t  C V0 sin t
 C
dt
dt
L
指数応答と正弦波応答の関係
15
指数関数に虚数を導入すると三角関数になる
jt
指数関数から求めた答え
三角関数から求めた答え
 e jt  e  jt
V (t )  V 0 
2




V (t )  V0 cos t
C  e jt  e  jt
I (t ) 
V 0 
L 
2j



C
I (t ) 
V0 sin t
L
本来は同じ答えなので
 jt
e
 cos t
2
e jt  e  jt  2 cos t
e jt  e  jt
jt
 e  jt  2 j sin t
 sin t e
2j
e
一般化すると
e
j
 cos   j sin 
有名なオイラーの公式
2014/4/3
e jt  cos t  j sin t
指数関数と三角関数
を結びつける公式
で複素数で表される
オイラーの公式の複素平面での表現
複素数の極形式
虚軸：j
e
j sin 
16

cos 
e
j
j
 cos   j sin 
角度θを位相角という
実軸
大きさが１
オイラーの公式はZ平面（複素平面）
上の大きさ１，で位相角θの点を表し単位円上にある。
実軸成分がcosθ，虚軸成分がjsinθである
LC回路の電圧と電流
17
LC共振回路における電圧と電流の関係は等速円運動上
の水平軸への投影と垂直軸の投影と考えることができる
e jt  cos t  j sin t
1
電流 I
V0
I 
C
V 0 sin 
L
  t
0.5
V( x)
I( x)
V0 cos 
電流
波形
0
電圧 V
 0.5
電圧と電流
電圧
波形
1
0
2
4
6
x
時間（位相）
2014/4/3
8
10
電気エネルギーと磁気エネルギーの交換
18
LC共振回路では電気エネルギーを磁気エネルギーに，
磁気エネルギーを電気エネルギーに，互いに交換している。これが振動である。
Wtot
全エネルギーは一定
1
Wc  CV 2
2
V (t )  V0 cos t
1
 WC  W L  CV02
2
容量: C
初期電圧V0
電流：I
インダクタ：L
I (t ) 
1
1
CV 2  CV02 cos 2 t
2
2
1
 CV02 1  cos 2t 
4
1
Wc  CV02 1  cos 2t 
4
2014/4/3
1 2
LI
2
C
V0 sin t
L
1
1
W L  LI 2  CV02 sin2 t
2
2
1
 CV02 1  cos 2t 
4
電圧：V
Wc 
電気エネルギー
WL 
磁気エネルギー
WL 
1
CV02 1  cos 2t 
4
エネルギー交換から生じる電気振動
19
電気的振動は電気エネルギーと磁気エネルギーの交換から生じる
電気エネルギーと磁気エネルギー
赤：電気エネルギー
青：磁気エネルギー
磁気エネルギー
1
CV02 1  cos 2t 
4
1
W L  CV02 1  cos 2t 
4
Wc 
1
WL
WC 0 sin 
WC 0
WC
  t
0.8
0.6
)
WC 0 cos 
WC 0 
WL 
C
V0
2
1
CV 02 sin2 t
2
WL 
C
V 0 sin t
2
0.4
0.2
電気エネルギー
Wc 
1
CV02 cos2 t
2
Wc 
C
V0 cos t
2
0
0
2
１周期
x
4
6
抵抗・容量・インダクタの回路
20
各素子の電圧Vは同一で，電流の和はゼロであるので
S
IC
IL
V
V0
抵抗: 1/G
容量: C
IR
dV
dt
I R  GV
1
I L   Vdt
L
インダクタ：L
したがって
V(t )  A0et とすると
dV
 V
dt
d 2V
2


V
2
dt
C2  G 
IC  I R  I L  0
IC  C
1
0
L
C
G  G  4
L

2C
2
流れ出る電流の和はゼロ
1
dV
C
 GV   Vdt  0
dt
L
d 2V
dV V
C

 0
G
2
dt
dt
L
C
のときは
L
C
G  j 4 G2
L

2C
G2  4
抵抗・容量・インダクタの回路の時間応答
回路の応答はλが実根の場合は振動成分が生ぜず，
λが複素根のときに振動成分が発生する
C
のときは
L
C
G  j 4 G2
L

2C
G2  4
C
G  G  4
L

2C
2
V (t )  A0e t
複素根の場合は
V (t )  A0e t  A0e   j t  A0e   j t
 A0e
t
e
jt
t=0でV(t)=V0なので
e
 jt

 

jt
 jt

e

e
V (t )  V 0e t 
2

G
2C
C
2
G2
1
G


L



2C
LC  2C 
 4

  V 0e t cos t

減衰項
2014/4/3
振動項
21
時間応答の違い
22
微分方程式が実根の場合は減衰するだけで振動成分は発生しない。
複素根の場合は振動成分が発生し，減衰振動になる。
t
V (t )  e cos t
減衰振動波形
  0 複素平面上の動き
1.2
青：実根の場合
0.8
0.8
0.6
赤：複素根の場合
0.4
0.4
電圧
0.2
f3( x1)
0
V(1)@R
V(
0
-0.4
f ( x1)
-0.8
0
2014/4/3
50u
100u
150u
TIME (s)
時間
200u
250u
300u
電気回路の応答の基本
23
電気回路の応答は，微分方程式の根（ラプラス変換の極）
の複素平面上の位置で決まる
j
共役複素根
s p1    j p
２重根
G2  4
p 
 
s p1    j p
x
定常振動
（発振）
不安定
C
L
共役複素根
減衰振動
x
xx
2014/4/3
c 
1
LC
G
2C
1 G 


LC  2C 
2
 安定
電気回路と複素数
24
電気素子(RCL)は電圧・電流の関係が比例・積分・微分(PID) の関係にあり，
その応答は２次の微分方程式で表される。解は複素数の指数関数となる。
電気エネルギーと磁気エネルギが交換されるときの解は虚数を含み，
正弦波の振動を発生させる。解の実数部分は電磁エネルギーの減衰を表す。
V0
V
IC
抵抗: 1/G
容量: C
IR
複素数は電気回路の基本
IL

G  G2  4
インダクタ：L
C
L
2C
t
  jt
V(t )  Ae  Ae
dV
IC  C
dt
I R  GV
D:微分項
d 2V
dV V

 0
C
G
2
L
dt
dt
P:比例項
V(t )  Aet
1
I L   Vdt I:積分項
L
1
C  G    0
L
2
なぜ複素数で電気信号を表すのか？
25
実数だけを用いると，振動現象の背後にある電気エネルギーと磁気エネルギー
の交換を表せない。複素数を用いることにより，総エネルギー量（絶対値）と
電気エネルギーと磁気エネルギーの比率（位相）が表現でき，振動の本質を
表すことができる。
V 0e jt  V 0 cos t  j sin t 
電流 I
V0
C
I 
V0 sin 
L
電流：I
電圧：V
  t
V0 cos 
電圧 V
容量: C
電圧と電流
2014/4/3
電気エネルギー
インダクタ: L
磁気エネルギー
超高速無線通信
26
複素数は電気電子工学，特に通信や信号処理の基本である。
ここでは，高周波信号に情報を載せる変調技術への応用を示す。
関数の直交性から信号を複素数で捉え，同一周波数で２つの
独立した（複素）情報をおくることができるため，古典的な変調技術
に比べ，同一帯域で２倍の情報を送ることができる。
研究室ではこの技術を用いて，28Gbpsの世界最高速無線通信
が可能な60GHz帯無線トランシーバー集積回路を開発した。
2014/4/3
60GHz CMOSトランシーバーの開発
27
研究室で開発した，超高速無線伝送用集積回路
K. Okada and A. Matsuzawa, et al.,
ISSCC 2012
2013/1/25
A. Matsuzawa, Tokyo Tech.
アンテナ内蔵パッケージと電波の放出
2013.08.12
Tokyo Tech
28
性能測定系
29
RF chip
with 6dBi antenna [3]
BB chip
BB board
RF board
Absorber
RF board
Power supply
Control
(FPGA)
BB PHY
I/Q
BB board
Power supply
Tx mode
Rx mode
RF board
RF board
I/Q
Control signals
I/Q
BB PHY
Control
(FPGA)
I/Q
Control signals
Laptop PC
Laptop PC
2013/1/25
BB chip
A. Matsuzawa, Tokyo Tech.
超高速無線通信
30
世界最高速の28Gbps 無線通信を実現
超高速無線通信ではダントツの世界一
Data rate [Gb/s]
30
松澤・岡田研の成果
25
20
15
10
5
Univ. of Toronto
UCB
SiBeam
UCB
NEC
CEA-LETI
IMEC
Broadcom
Panasonic
Toshiba
Toshiba
0
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
2014/4/3
研究室の高周波特性評価装置
110GHzまでの最新の高周波評価装置が揃っている
2013/1/25
A. Matsuzawa, Tokyo Tech.
31
トランシーバー開発メンバー
修士学生が中心の開発メンバー若い力が未来をつくる
2011年1月
2013/3/12
32
変調技術
33
どのようにして無線信号に情報を載せるか？
これらの古典的な変調方法は効率が悪い!
高周波信号
y (t )  A(t )  cos(t )  t   (t )
(1) 振幅変調： A(t)
(2) 周波数変調： ω(t)
(3) 位相変調：θ(t)
(1) 振幅変調; AM
(Amplitude modulation)
2014/4/3
正弦波の３つのパラメータを
データに応じて変化させれば良い
(2) 周波数変調; FM
(Frequency modulation)
(3) 位相変調; PM
(Phase modulation)
直交という概念
34
関数の直交性
２つの関数f(x), g(x) が区間αからβにおいて、

 f (x )  g (x )dx  0
となる関数は互いに直交している関数である。例えば、
cos x
と
sin x
は区間-πから+πにおいて、
1 
cos x  sin xdx  2 sin 2x  0 であるので、直交している。

複素数の直交性
複素数の実部と虚部は独立しており，直交性を有する。
z1  a1  jb1
z 2  a 2  jb2
101030
z1  z 2  a1  a 2   j b1  b2 
A. Matsuzawa
34
直交変調
35
sin波とcos波は直交しているため、
同一周波数でも2つの独立した情報が送れる
変調
Da
Db
復調
 cos c t
 sin c t
フィルタ後
送信波
元のデータが再現できる
101030
A. Matsuzawa
35
複素変調
（直交変調）
36
QAM( Quadrature Amplitude Modulation)
位相と振幅の両方に情報を有し、狭帯域でも多くの情報を送れる。
複素数としての取り扱いが可能である。
虚数
(1100)
jb
(1000)
極形式
(0100)
A(t )
(1101)
(1001)
(0101)
 (t )
(0000)
直交加算 y(t )  a (t ) cos t  jb(t ) sin t
(0001)
a
(1110)
(1111)
101030
(1010)
(1011)
(0110)
(0111)
y(t )  A(t )e  jt  (t )
(0010)
(0011)
A. Matsuzawa
実数
cos波とsin波を重みを付けて
加えることで，複素形式となる
A(t )  a (t )2  b(t )2
b 
a 
 (t )  tan1  
36
超高速無線通信機の構成
直交発振器とミキサを用いることで複素変復調が可能になる
この技術で
通信速度を上げた
a (t ) cos c t
直交ミキサ（乗算器）
a(t)
フィルタ
送信機
cos c t
直交発振器
発振器
a (t ) cos c t  b(t ) sin c t
A(t ) cosc t   (t )
電力
増幅器
sin c t
フィルタ
b(t )sinct
受信機
b(t)
a(t)
フィルタ
cos c t
発振器
sin c t
低雑音
増幅器
2014/4/3
b(t)
フィルタ
37
複素平面で考えよう
38
複素平面の価値観
人間性
１次元の価値観
高い
勝ち組，負け組
偏差値
お金
偏差値
低い
2014/4/3
高い
低い
高い
低い
複素の価値で考えると
情報（ソフトウエア）
エンターテインメント
電気電子（ハードウエア）
エネルギー
2014/4/3
39

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