━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 計測コラム emm68 号用 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 波形と FFT−6 6.フーリエ級数・フーリエ変換 (1) フーリエ級数 フーリエ係数 a0 + a1 cos x + b1 sin x + a 2 cos 2x + b2 sin 2x +・・・ 2 f (x ) = M = ∑ (a m cos mx + bm sin mx ) m =0 am = bm = 1 π 1 π 2π ∫ f (x ) cos mxdx 0 2π ∫ f (x ) sin mxdx 0 (2)1 周期を T としたフーリエ級数 フーリエ係数 上記(1)の x を x = 2πft = ωt、1 周期 2π = T と置き換えて; f (t ) = a0 + a1 cos ω t + b1 sin ω t + a2 cos 2 ωt + b2 sin 2ω t +・・・ 2 M = ∑ (a m cos mω t + bm sin mω t ) m =0 2 T 2 bm = T am = T 1、・・・ ∫ f (t ) cos mω tdt m = 0、 0 T 1、 2、・・・ ∫ f (t ) sin mω tdt m = 0、 0 (3)複素フーリエ級数・複素フーリエ係数 オイラーの公式 e jθ + e − jθ 2 jθ e − e − jθ sin θ = 2j cos θ = を考慮して(2)は; -1- f (t ) = a0 M ⎧ 1 1 ⎫ jmω t + + (am + j bm ) e − jmω t ⎬ ⎨ (am − j bm ) e 2 2 m =1 ⎩ 2 ⎭ ∑ M ∑ = C m e jmω t M → ∞ m=−M C 0 = Cm = 1 T T a0 a − j bm a + j bm 、 C m = m 、 C - m = m 2 2 2 ∫ f (t) e 0 − jmω t dt <補足> 1 T 1 f (t ) e − j ( − m ) ω t dt = T 0 T 一方、f (t )は実関数なので C−m = * ⎛ 1 C m =⎜ ⎝T よって ∫ ∫ T 0 * 1 ⎞ f (t ) e − jmωt dt ⎟ = T ⎠ ∫ T ∫ T 0 0 f (t ) e jm ω t dt ( ) f*(t ) e − jmωt dt = * 1 T ∫ T 0 f (t ) e jmωt dt * C−m = Cm 実関数の複素フーリエ係数は Cm、m = 1 ∼ M を計算すれば、あとは複素共役 Cm* をとればよいことになります。 なお、 Cmの実数部と虚数部は、複素フーリエ級数展開することにより、正負の周波数 の 1/2となります。 成分にわかれ、フーリエ係数 am、bm (4)フーリエ変換、フーリエ逆変換 T を無限大に拡大することで、周期性のない波形【非周期関数】でもフーリエ級数 に展開できるようにしたものです。 フーリエ係数 Cm を求める式も 1 つの関数と考え、これをフーリエ変換といいます。 f (t)はフーリエ変換の逆の計算をする関数と考えて、フーリエ逆変換といい、フー リエ変換、フーリエ逆変換を一対の式として考えます。 -2- フーリエ変換 F (ω ) = ∫ ∞ −∞ f (t ) e − jω t dt = ∫ ∞ −∞ f (t ) cos ωtdt − j ∫ ∞ −∞ f (t )sin ωtdt = Re[F (ω )] + j Im[F (ω )] フーリエ逆変換 f (t ) = 1 T ∫ ∞ −∞ F (ω ) e jω t dω 実部 Re 、虚部 Im は Re[F(ω )]= ∞ 1 T ∫ Im[F (ω )] = − 1 T f (t ) cos ω tdt −∞ ∫ ∞ f (t )sin ω tdt −∞ (5)離散的フーリエ変換 フーリエ逆変換 実用性を考えると T は有限をとることになります。また、FFT アナライザでは AD 変換してサンプリングされたデータ列の有限個 N をとり、フーリエ変換が実行さ れます。サンプリングすると【離散的】 (連続していない飛び飛びの値)になります から、T = Nh(h はサンプリング間隔の時間)より T の代わりに N 個とすると、離散 的フーリエ変換、フーリエ逆変換の第k項を考える(周波数は kωになるので) 。 ∫ ∞ −∞ N −1 は ∑ 、t は nh に置き換えて; n =0 F (kω ) = 1 N N −1 ∑ f (nh ) e − jkω nh n =0 = N −1 1 N −1 f (nh ) cos kωnh − j f (nh )sin kωnh N n =0 n =0 fk ( nh ) = 1 N ∑ ∑ N −1 ∑ F (kω ) e jkω nh n =0 実部 Re 、虚部 Imは Re[F (kω )] = 1 N Im[F (kω )] = − N −1 ∑ f (nh )cos kωnh n =0 1 N N −1 ∑ f (nh )sin kωnh n =0 -3- (6)離散的フーリエ級数、フーリエ係数 サンプリングされた離散値でフーリエ係数を求めるには、上記(5)を展開して次 式で計算します。フーリエ級数、フーリエ係数と実部、虚部の関係を対比して記 します。 <フーリエ級数、フーリエ係数> f (t ) = a0 + a1 cos ω t + b1 sin ω t + a2 cos 2 ωt + b2 sin 2ω t +・・・ 2 = M −1 ∑ (a m cos mω t + bm sin mω t ) m =0 2 T 2 bm = T am = T 1、・・・ ∫ f (t ) cos mω tdt m = 0、 0 T 1、 2、・・・ ∫ f (t ) sin mω tdt m = 0、 0 第k項のフーリエ係数は; ak = bk = 2 N 2 N N −1 ∑ f (nh )cos kωnh n =0 N −1 ∑ f (nh )sin kωnh n =0 第 k 項のフーリエ変換をフーリエ係数 an、bn に一致するように 2/N で考えると; F (kω ) = Re[F (kω )] + j Im[F (kω )] Re[F (kω )] = 2 N Im[F (kω )] = − N −1 ∑ f (nh ) cos kωnh = a k n =0 2 N N −1 ∑ f (nh ) sin kωnh = −b k n =0 第 k 項のフーリエ係数の式または Re [ F (kω) ]、Im [F (kω)]の式を使うと表計算ソ フトで計算することができます。 ω = 2πfo の fo は1周期 T の逆数です。T = Nh、N はサンプル数、h はサンプル時 間間隔ですから、h が一定なら N は周波数分解能 fo に関係します。 -4- (7)フーリエ係数の計算例 前号で 10Hz と 20Hz の cos を合成した; f (t ) = f ( nh ) = cos (20π n h + θ ) + cos (40π n h + φ ) 30 × 2π ( rad) θ = 30 (deg) = 360 45 × 2π φ = 45 (deg) = ( rad) 360 のサンプルデータを作ってみました。 f (t)の式から時系列データを作り、f (t)の 10Hz のフーリエ係数の計算をするにあた り、次のような数値を代入し計算してみましょう。 ・ サンプル周波数 1000Hz、 ・ サンプル時間h = 1/1000 (s)、 ・ サンプル数 N = 2048 ・ t = nh ・ n = 0、1、2、・・・2047 として n、nh、f (nh)、cos (20πnh)、sin (20πnh)、f (nh) cos (20πnh)、f (nh) sin (20πnh)を 順に A ∼ G 列で計算します。 そして; a (10Hz) = b (10Hz) = 2 N 2 N N −1 ∑ f (nh )cos(20π nh ) ( F列の合計から計算する ) n =0 N −1 ∑ f (nh )sin(20π nh ) ( G列の合計から計算する ) n =0 にて 10Hz のスペクトル a、b を N = 500(n = 0 ∼ 499)と N = 2048(n = 0 ∼ 2047) の場合を求めると; N = 500(Nh = 0.5s)の場合 a = 0.866 b = -0.500 N = 2048(Nh = 2.048s)の場合 a = 0.853 b = -0.508 -5- Microsoft-EXCEL での計算の様子 f (t)の式から 10Hz のスペクトルは; a = cos 30 deg = 0.866 b = sin 30 deg = 0.5 であることがわかっていますから、N = 500 のときは一致しますが、N = 2048 では 少し差があります。これはフーリエ級数の仮定である「周期性」によります。 N = 500(n = 0 ∼ 499 間で 0.5 s 間)の場合は 10Hz のちょうど 5 周期分になりま すが、N = 2048 では 10Hz の整数倍になっていません。 -6- 次図 A のようにちょうど 1 周期(またはその整数倍)になるように N をとると、 同じ波形が連続で続いて描くことができますが、1周期(又はその整数倍)とな らない N では不連続になります(図 B)。 不連続点があると、その中間点をとることで連続となりますから、中間点で滑ら かに繋がった波形として近似計算がおこなわれます。 MUXO <H5A + QN 0* DXODKL3J 0+ CY7@[VCBIF;2 A8?TIP=>G[VCBIF;2 R. `] `\ R/ `] + QN?EB4 0, DXODKL3J 0- CY7@Z[V@BI1Z[VW 6S:>9F4F;2 Z[V Z[V `_ Z[V `^ Z[V `_ -7- さて、10Hz のフーリエ係数; a = 0.866 b = -0.5 より、 f10 Hz (t ) = 0.866 cos (2π × 10t ) − 0.5 sin (2π × 10t ) となります。さらに、この式は又、Re = 0.866、Im = -b = 0.5 より; C = a 2 + b 2 = 0.866 2 + 0.52 = 1 Im 0.5 π (30 deg ) = tan −1 = Re 0.866 6 π⎞ ⎛ f10 Hz (t ) = cos⎜ 2π × 10t + ⎟ 6⎠ ⎝ θ = tan −1 であることがわかります。 同様に、他の周波数成分を求めると、観測波形 f (t)は; f (t ) = ∑f n となります。 これが、FFT アナライザの概念です。 -8- (t )
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