分数関数の式の変形

分数関数の式の変形
〔y
cx  d
ax  b
を
y
k
q
x p
の形に変形する方法〕
１．まず、(分子)÷(分母)を計算し、（すなわち、( cx  d )÷( ax  b )を計算し）
商と余りを求める。
２．商を A 、余りを B とすると、
(割られる式)＝(割る式)×(商)＋(余り)より、
cx  d  (ax  b) A  B
が成り立つ。
（ここで、 ax  b も cx  d も共に 1 次式であるから、 A と B は共に定数で
ある。）
３． cx  d  ( ax  b) A  B
y
を
y
cx  d
ax  b
に代入し、変形していく。
cx  d
ax  b

(ax  b) A  B
ax  b
（ cx  d  ( ax  b) A  B を代入した）

(ax  b) A
B

ax  b
ax  b
（分数を 2 つに分けた）
 A

B
ax  b
B
A
ax  b
B
 a A
b
x
a
B
a

A
 b
x  
 a
（１つ目の分数を約分した）
（並べ替えた）
割り算の結果の余りが分子に、商が
分数の後ろに来ていることに注目しよう
（上の式の分数の分母と分子を a で割った）
（
b
 b
    とした）これで変形が終了した。
a
 a
（問題１） y 
3x  1
x2
を
y
k
q
x p
の形に変形しなさい。
また、漸近線の方程式を求めなさい。
（解答）
3x  1
x2
3( x  2)  7

x2
7

3
x2
y
また、漸近線は x  2 、 y  3 である。
（解説）
商
(分子)÷(分母)、すなわち、 (3 x  1)  ( x  2) を計算すると、
商が 3、余りが７であるから、
3 x  1  3( x  2)  7
3x  6
7
3x  1
と表される。これを y 
に代入して、
x2
y
3x  1
x2
余り

3( x  2)  7
x2
（ 3 x  1  3( x  2)  7 を代入した）

3( x  2)
7

x2
x2
（分数を 2 つに分けた）
 3

7
x2
7
3
x2
3
x  2 3x  1
（1 つ目の分数を約分した）
（並べ替えた）
また、漸近線は x  2 、 y  3 となる。
割り算の結果の余りが分子に、商が
分数の後ろに来ていることに注目しよう
（解説 2）割り算を使わずに暗算による方法
①係数に着目する
分母の x の係数は１、分子の x の係数は３なので、
まず、分母を 3 倍すれば、 3 x が出てくる、と分かる。
3( x  2)
x2
②分子の定数項を考える
3( x  2)
x2
3x  6
x2
の分子を展開すると
分子に７を足すことで
となり、元の式の
3x  6  7 3x  1

x2
x2
となり、元の式と同じになる。
すなわち、
3( x  2)  7
x2
とすれば、元の式の
3x  1
x2
になる。
③分数を 2 つに分け、一方を約分する
y

3( x  2)  7
x2
3( x  2)
7

x2
x2
 3

7
x2
7
3
x2
（分数を 2 つに分けた）
（1 つ目の分数を約分した）
（並べ替えた）
ゆえに、漸近線は x  2 、 y  3 となる。
3x  1
にはならないが、
x2
（問題２） y 
4x  2
を
2x 1
y
k
q
x p
の形に変形しなさい。
また、漸近線の方程式を求めなさい。
（解答）
4x  2
y
2x 1

2(2 x  1)  4
2x 1

2(2 x  1)
4

2x 1
2x 1
 2



2
2x 1 4x  2
4x  2
4
商
余り
4
2x 1
4
2
2x 1
2
2
1
x
2
2
2
 1
x  
 2
また、漸近線は、 x  
割り算の結果の余りが分子に、商が
分数の後ろに来ていることに注目しよう
上の式の分数の分母と分子を 2 で割った
1
 1
    とした
2
 2
1
、 y  2 である。
2

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